FI-0 9 Mechanika tekutin II.

1. FI-09 Mechanikatekutin II.

2. Hlavní body • Úvod do mechaniky kapalin a plynů • Hydrodynamika ideálních kapalin • Bernoulliho rovnice a její použití • Hydrodynamika viskózních kapalin • Vlastnosti Newtonovských kapalin • Zákony: Newtonův, Poiseuillův a Stokesův • Hydrodynamika krevního oběhu

3. Zachování energie I • Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování (hustoty)energie : • V praxi se vyjadřuje několika způsoby, například v rozměrech délkových :

4. Odvození Bernoulliho rovnice I • Uvažujme dvě různá místa, ohraničující určitý úsek jednénéproudovétrubice, která jsou popsána rychlostívi, tlakempi a výškouhi. • Působením tlakových sil se určitý objem V se přemístí za čas t z prvního místa do druhého. • Na oba objemy působí z vnějšku úseku tlakové síly opačné orientace Fi = Si pi. • Práce, kterou vykonají tyto síly za t se musí rovnat přírůstku celkové energie daného objemu.

5. Odvození Bernoulliho rovnice II • Tedy : • Po dosazení : • Aplikujme rovnici kontinuity :

6. Odvození Bernoulliho rovnice III • Tento vztah, vyjadřující zachování energie, bývá zvykem vydělit V a přeskupit podle uvažovaných míst : • Daniel Bernoulli 1700-1783, Švýcar • Celková energie proudící kapaliny má tedy tři složky : tlakovou, kinetickou a potenciální.

7. Použití Bernoulliho rovnice I • Bernoulliho rovnice lze použít jako prvníhopřiblížení při řešení řady praktických problémů. • Uvažujme například výtok kapaliny ze široké(nebo doplňované) nádoby malým otvorem umístěným v hloubce h pod hladinou. V Bernoulliho rovnici můžeme udělat několik úprav a zanedbání :

8. Použití Bernoulliho rovnice II • Oba tlaky jsou atmosférické : p1= p2. • Vyjádříme hloubku: h = z1 – z2 • Rychlost v1 můžeme zanedbat. • Po zkrácení a úpravě : Tento tzv. Torrichellio vzorec byl znám sto let před Bernoullim.

9. Použití Bernoulliho rovnice III • Není-li možné rychlost v1 zanedbat, použijeme rovnici kontinuity v1 = v2S2/S1 : • Po zkrácení ,zavedení hloubky a úpravě : (výraz má zjevně smysl jen pro S1 >S2)

10. Použití Bernoulliho rovnice IV • Uvažujeme-li místa o stejné výšce je z Bernoulliho rovnice patrná zajímavá vlastnost proudících tekutin a to, že v místech s většírychlostí je nižšítlak. Na tomto principu je založena řada jevů od bouchání dveří v průvanu, přes střílení rohového kopu ve fotbale, po létáníletadel. Protože jsou důsledky na první pohled překvapivé, je tento jev znám jako hydrodynamickýparadoxon. • Významné je jeho využití při měřenírychlosti.

11. Použití Bernoulliho rovnice V • Pitotova trubice (potřebuje fajfku) : • do měřené kapaliny jsou vnořeny dvě trubice, ústí jedné je kolmo, ústí druhé rovnoběžně s jejím proudem (fajfka)v2 = 0. • v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí

12. Použití Bernoulliho rovnice VI • Venturiho trubice (potřebuje zúžení) : • do měřené kapaliny jsou kolmo vnořeny dvě trubice, jedna v místě s průřezem S1, druhá S2. • v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí

13. Použití Bernoulliho rovnice VII • Z obou rovnic : • Pro rychlost v1 a průtok Q platí po úpravě :

14. Viskózní kapaliny I • Při proudění reálných tekutin se sousední vrstvy ovlivňujítečnýmnapětím, které závisí na vzájemnérychlosti vrstev a viskozitě tekutiny. • Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon:

15. Viskózní kapaliny II • (éta) je tzv. dynamická viskozita • [] = kg m-1s-1 =Nm-2s = Pa s • Starší jednotka Poise[P]=gcm-1s-1=0.1 Pas • Převrácená hodnota se nazývá tekutost:  = 1/ • Často se používá viskozita vztažená na hustotu, tzv. kinematická viskozita  = /

16. Viskózní kapaliny III • Dynamická a kinematická viskozita některých kapalin:  [Pa s]  [m2/s] • ETOH 1.210-3 1.51 10-6 • benzín 2.910-44.27 10-7 • rtuť 1.5 10-3 1.16 10-7 • olej 0.26 2.79 10-4 • voda 1.005 10-3 0.804 10-6

17. Viskózní kapaliny IV • Viskozita : • snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek) • způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální. • Zkusíme ukázat, že v proudovém vlákně kruhového průžezu je rozložení rychlosti na vzdálenosti od osy parabolické.

18. Viskózní kapaliny V • Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na • podstavy působí tlakové síly (p1> 0, p2 < 0) • plášť síla způsobená třením okolních vrstev. • Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící v rovnováze :

19. Viskózní kapaliny VI • Předpokládejme, že p1 >p2 a kapalina se pohybuje ve směru růstu souřadnice x. • Znaménko + znamená, že třecí sílu bychom považovali (jako obvykle) za kladnou, kdyby měla směr rychlosti. • Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy.

20. Viskózní kapaliny VII • Po zavedení p = p1–p2 a úpravě : • Po integraci :

21. Viskózní kapaliny VIII • Uvažujeme-li trubici o poloměru r. Obdržíme hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r)=0 : • a celkově dostáváme parabolickou závislost :

22. Viskózní kapaliny IX • Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní: • Celkovýprůtok obdržíme integrací : • To je známá Hagen-Poiseuillova rovnice.

23. Viskózní kapaliny X • Stokesův zákon: • Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla F = 6rv • Kulička o hustotě  bude po ustálení rovnováhy padat v kapalině 0konstantní rychlostí vt :

24. Viskózní kapaliny XI • Laminární proudění • brzdící síla je úměrná rychlosti • rychlost je úměrná r2 • střední rychlost vyplývající z H-P rovnice <v>=Qv/S je také úměrná r2 a tlakovémuspádu • Zamezí Stokesova zákona : • Často je brzdící síla úměrná v2 : Fd = CdSv2 • Cd je parametr, který závisí na tvaru

25. Viskózní kapaliny XII • Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se používá tzv. Reynoldsovo číslo. • pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí v • pro kapalinu pohybující se střední rychlostí <v> v trubici o poloměru r platí : • Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní (ve jmenovateli posledního výrazu je řecké  (ný), tedy kinematická viskozita!)

26. Dynamika krevního oběhu I • Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň -> komorapumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic). • Krev v aortě : • <v> = 0.3 ms-1 • r = 0.01 m •  = 1060 kg m-3 •  = 3.3 10-3 Pa s • R  970 proudění je těsně ještě laminární.

27. Dynamika krevního oběhu II • Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0.1 ms-1a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí <v> = 0.001 ms-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez • vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty • velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty

28. Dynamika krevního oběhu III • Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci : • aorta plicnice • systola 16 kPa (120 torr) 3.3 kPa • diastola 10.5 kPa (80 torr) 1.3 kPa

29. Dynamika krevního oběhu IV • Práce srdce bývá vyjadřována jako součet • statické – objemové dodávající tlakovou energii • kinetické – dodávající kinetickou energii odpovídající příslušné střední rychlosti : • Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je Wo= 0.93 J a Wk= 0.003 J, tedy W = 0.94 J

30. Dynamika krevního oběhu V • Práce pravé komory je asi jedna pětina práce komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J. • Při tepové frekvenci 70 min-1 je výkon srdce přibližně 1.3 W. • Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny.

31. Dynamika krevního oběhu VI • Celkový srdeční výkon je tedy 13 W, což představuje přibližně 13%celkového klidového výkonu organismu. • Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je : • 3 s výkonu Chvaletické elektrárny • Vyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest