FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost

1. FI-07 Mechanika – pružnost a pevnost

2. Hlavní body • Úvod do nauky o pružnosti a pevnosti • Charakter meziatomových sil. • Napětí a deformace. Hookův zákon. • Namáhání normálové • Příčná deformace • Namáhání ve smyku • Tenzory napětí a deformace.

3. Úvod do pružnosti a pevnosti • Další přiblížení se realitě spočívá v tom, že nebudeme pokládat tělesa za dokonale tuhá: V souladu s realitou ale připustíme jejich deformace, naučíme se je popisovat a pochopíme, jakými se řídí zákony a jak je lze vysvětlit na mikroskopické úrovni. • Budeme se zabývat pevnými látkami, ale naše úvahy později rozšíříme i na kapaliny.

4. Charakter meziatomových sil I • Makroskopickéchování reálných látek je určeno silami, kterými na sebe působí jejich mikroskopickésoučásti. • U pevných látek to jsou zpravidla přímo atomy, které tvoří krystaly nebo amorfní látky. • U kapalin plynů se jedná spíše o molekuly • Existují ale molekulární i kapalné krystaly

5. Charakter meziatomových sil II • Nejsilnější (a nejdůležitější v anorg. ch.) druhy vazeb kovalentní a iontová, jsou založeny na sdílení valenčních elektronů vázanými atomy. • U kovalentních vazeb je sdílení téměř rovnoměrné. Vazby jsou směrové a saturují se. • U iontových strhává elektronegativnější atom elektrony k sobě a přitažlivost lze popsat jako elektrostatické působení.

6. Charakter meziatomových sil III • Krystaly mají uspořádání na dlouhou(makroskopickou-srůsty dvojčat)vzdálenost a motiv elementárníbuňky se pravidelně opakuje. Valenční elektrony jsou sdíleny celým krystalem a za určitých podmínek mohou být nosiči elektrického náboje. • Amorfní látky jsou uspořádané jen lokálně.

7. Charakter meziatomových sil IV • Aby se látky nezhroutily do sebe, musí existovat krátkodosahovéodpudivé síly. • Interakce je výhodné popisovat pomocí potenciálu, například Lennard-Jonesova: (r)={(r0/r)12-2(r0/r)6} • V závislosti energie na vzdálenosti atomů existuje jedno nebo několik minim. To jsou pravděpodobnérovnovážné vzdálenosti.

8. Pružnost I • Z předchozího je patrné, že tělesa nemohou být dokonale tuhá, ale jejich tvar odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil. • Změnou působení vnějších sil vznikají uvnitř síly, které se snaží vyrovnatúčinek této změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti. • Pro malé deformace se při návratu vnějších sil, vrátí i těleso do původní rovnováhy.

9. Napětí I • Ukazuje se, že pro deformační účinek je rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí: napětí • Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2

10. Napětí II • Odezva látek může být komplikovaná, ale i tanejjednodušší u látekizotropních a homogenních je rozdílná alespoň v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládatnapětí na normálové a tečné:

11. *Hookův zákon I • Mějme tyčku délky l a průřezu S o zanedbatelné vlastní hmotnosti, zatíženou silou Fn. Potom v každém průřezu tyčky bude stejné napětí n=Fn/S. • PřesnýHookův zákon: Nekonečně maládeformace je úměrná nekonečně malémunapětí a původnídélce: dl = k.l dn

12. *Hookův zákon II • Pro konečné napětí Hookův zákon bohužel obecně neplatí. Konečné prodloužení musíme získat integrací: tedy :

13. Hookův zákon III • U mnoha látek je k velmi malé (např. ocelk=5.10-12 m2N2). Potom můžeme v rozvoji zanedbat členy od kvadratického výše a Hookův zákon platí i pro konečná napětí: l = l,-l = k.l n • Prodeformaci, vyjádřenou jako relativní prodloužení , platí :

14. Hookův zákon IV • Napětí je tedy úměrnédeformaci. • E se nazývá Youngův modul pružnosti (v podélném prodloužení) : a popisuje schopnost látky vzdorovatdeformaci. • Naopak reciproké k znamená “poddajnost”, přesně: prodloužení na jednotku napětí.

15. Příčné zkrácení I • Podélné prodloužení je vždy doprovázenopříčným zkrácením (a naopak). Popisujeme jej relativnímpříčným zkrácením , které je (za podobných podmínek jako výše, tj. malá k1) též úměrnépodélnémunapětí:

16. Příčné zkrácení II • Míra změny v příčném směru musí být charakterizována dalším materiálovýmparametrem nebo m : • Poissonova konstanta: m=/ • Poissonovo číslo (poměr):  = 1/m = /

17. Příčné zkrácení III • Podélný a příčný rozměr po deformaci lze vyjádřit : • V případě tlaku by bylo možné a správnější uvažovat záporné parametry nebo změnit znaménka ve vztazích, což je bohužel historicky zděděný postup.

18. Tlaková deformace objemu I • Mějme krychliV=aaa, na kterou působí stejné napětí n ze všech směrů –hydrostatický tlak p. U změny rozměrů každé strany se uvažují podélné i příčné změny např.: a, = a(1-+2). Tedy V, = V(1-+2)3. Po zanedbání kvadratických a vyšších členů:

19. Tlaková deformace objemu II • Protože vlastně n = p, platí pro součinitelobjemovéstlačitelnosti: je to podíl relativního úbytku objemu dělený tlakem, který ji způsobil, tedy relativní úbytek objemu na jednotku tlaku.

20. Tlaková deformace objemu III • Předchozí definice naznačuje, že objemová stlačitelnost se řídí Hookovým zákonem a lze tedy opět definovat příslušný modul objemové pružnostiK : • Z této definice lze ukázat, meze v nichž musí ležet Poissonovo číslo .

21. *Tlaková deformace objemu IV • Z experimentu plyne, že K a E jsou kladné, protože délka se napětím prodlužuje a objem tlakem zmenšuje. Současně > 0, protože protažení vyvolává zúžení a naopak. Potom tedy musí být jmenovatel větší než nula a platí : 0 < < 1/2. • Ve skutečnosti je obvykle 1/4 < < 1/2. • Pro = ½by se jednalo o nestlačitelné, tedy dokonale tuhé těleso.

22. Deformace ve smyku I • Způsobí-li tečné napětí t =  odchylku u ve výšce b od pevné podložky, lze definovat relativní deformaci ve smyku jako : • Pro malé deformace lze opět pozorovat platnost Hookova zákona :

23. Deformace ve smyku II • V souladu s předchozími definicemi je • k3 ... součinitelem smykového posunutí a má význam poddajnosti materiálu a • G ... modul pružnosti ve smyku s významem odporu materiálu vůčideformaci ve smyku.

24. Deformace izotropních látek • Celkově je tedy možné charakterizovat elastické chování izotropních látek pomocí tří parametrů:například modulů G a E a Poissonovy konstanty m. • Ukazuje se, že z těchto parametrů jsou ale jen dvanezávislé. Platí totiž vztahy :

25. *Deformace neizotropních látek I • V obecném případě neizotropních těles je nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu  a . • ij je j-tá složka napětí působící na plošku kolmou k ose i. • pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru osy q.

26. *Deformace neizotropních látek II • Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako: ij = Cijpq pq • Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů. • Každá symetrie znamená i symetrií v C, tedy nějakou vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů. • Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě. • Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich dva parametry E a G.

27. Platnost Hookova zákona • Průběh namáhání látek se obvykle zobrazuje jako závislost napětí na deformaci. Má následující oblasti a meze: • úměrnosti ... zde platí Hookův zákon • elasticity ... návrat do původního tvaru • plasticity ... zůstává trvalá deformace • kluzu ... velká změna chování • pevnosti ... porušení materiálu

28. Tekutiny I • Důležitá část fyziky se zabývá mechanikou kapalin a plynů, které mají společné označení tekutiny. Z hlediska elastických vlastností je lze definovat následovně: • kapaliny ... E velké, G malé • plyny ... E malé, G malé

29. Tekutiny II • Pro odhalení základních mechanických vlastností kapalin a plynů je vhodné začít od ideálníkapaliny a později zavádět korekce, popisující jemnější chování například viskozitu a stlačitelnost. • Ideální kapalina má Enekonečné a Gnulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smykovánapětí ani deformace.