MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 9 08.05.2009 r

1. MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 9 08.05.2009 r

2. Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne • a – wielka półoś • e – mimośród • Ω – długość węzła wstępującego • I – nachylenie orbity do płaszczyzny • odniesienia • ω – długość perycentrum w orbicie • T – czas przejścia przez perycentrum • = Ω+ω – długość perycentrum • λ=M+ – długość średnia • u=ω+υ – argument szerokości orbita płaszczyzna odniesienia ognisko Ω ω perycentrum I węzeł wstępujący kierunek odniesienia

3. Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne • Przejście od układu współrzędnych • związanego z orbitą do układu • odniesienia polega na obrocie • wokół trzech osi: • obrót wokół osi z o kąt ω, wtedy oś x pokrywa się z linią węzłów • obrót wokół osi x o kąt I, obie płaszczyzny pokrywają się • obrót wokół osi z o kąt Ω orbita płaszczyzna odniesienia ognisko Ω ω perycentrum I węzeł wstępujący kierunek odniesienia

4. Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Każda z transformacji jest reprezentowana przez odpowiednią macierz obrotu: Wtedy przejścia między układami dokonuje się poprzez: Ponieważ wszystkie macierze obrotu są ortogonalne więc macierze odwrotne są po prostu macierzami transponowanymi

5. Orbita w przestrzeni Elementy orbitalne Jeżeli ograniczymy się do współrzędnych w leżących w płaszczyźnie orbity: Obrót nie zmienia długości stąd wielka półoś i mimośród nie zmieniają się

6. Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych Mając dane elementy orbitalne możemy wyznaczyć jej współrzędne w dowolnym układzie odniesienia. Przykład: wyznaczenie współrzędnych heliocentrycznych Jowisza na dzień 25 września 1993 r, 6:32 UT 1. Parametry orbity: Murray, C.D. i Dermott, S.F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press

7. Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych • M=λ-=189 .̊495 3. Rozwiązując równanie Keplera dostajemy: E=189 .̊059 4. Korzystając ze wzorów: wyznaczamy współrzędne prostokątne Jowisza w płaszczyźnie jego orbity

8. Orbita w przestrzeni Położenie planety z elementów orbitalnych 5. Następnie używając wartości I, Ω,  wyznaczamy macierz, która pozwoli na przejście do układu odniesienia (ekliptycznego): skąd: X=-5.00336, Y=-2.16249, Z=0.121099

9. Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych Te przybliżone formuły pozwalają wyznaczyć perturbowane parametry orbitalne planet Układu Słonecznego z dokładnością rzędu 600’’ (w przedziale 1800 r. – 2050 r.) gdzie t jest czasem wyrażonym w stuleciach juliańskich począwszy od JD 2451545.0 (epoka 2000.0) stulecie juliańskie = 36525 dni Murray, C.D. i Dermott, S.F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press

10. Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych Dane dla Ziemi są w rzeczywistości parametrami orbity barycentrum układu Ziemia-Księżyc Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)

11. Orbita w przestrzeni Zmiany elementów orbitalnych Zmiany wielkiej półosi i mimośrodu są pomnożone przez 108, podczas gdy zmiany wielkości kątowych zostały podane w sekundach łuku na stulecie Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)

12. Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych Algorytm pozwalający z położenia (X,Y,Z) i prędkości (X,Y,Z) wyznaczyć elementy orbitalne a, e, I, Ω, ν, T. Zakładamy, że masy ciała centralnego i orbitującego są równe odpowiednio m1 i m2. Mamy (w układzie odniesienia): Wtedy:

13. Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych R – długość promienia wodzącego Ṙ – tempo zmian pr. wodzącego, znak Ṙ jest taki sam jak znak iloczynu ponieważ R jest zawsze dodatnie Potrzebne będą jeszcze rzuty momentu pędu: górny znak wybieramy jeśli cz>0, a dolny dla cz<0

14. Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych Możemy teraz przystąpić do wyznaczenia parametrów orbity (eliptycznej): • Wielką półoś wyznaczamy z równań: • skąd dostajemy:

15. Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych • mimośród wyznaczamy przy wykorzystaniu uzyskanego wyrażenia na a oraz • ze wzoru: • otrzymujemy: • Wyznaczamy nachylenie orbity, które jest kątem zawartym pomiędzy • wektorem momentu pędu a jego składową cz:

16. Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych • 4. Do wyznaczenia długości węzła wstępującego, Ω używamy: • skąd otrzymujemy: • znak wybieramy w zależności od znaku cz

17. Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych 5. Argument szerokości ω+υ otrzymamy z wyrażeń na Z/R oraz X/R (pamiętając, że r=R): czyli:

18. Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych 6. Następnie wyliczamy anomalię prawdziwą i długość perycentrum (w płaszczyźnie orbity) przy użyciu: wtedy:

19. Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych • Na koniec wyliczamy moment przejścia przez perycentrum, T. • Aby tego dokonać wyznaczamy E ze wzoru: • a następnie z równania Keplera i III prawa Keplera: • otrzymujemy:

20. Orbita w przestrzeni Wyznaczanie elementów orbitalnych Powyższa procedura pozwala uzyskać elementy orbitalne w przypadku orbity eliptycznej. Ze względów praktycznych warto jeszcze pozbyć się z równań czynnika G(m1+m2) poprzez wybór innych jednostek. Można tego dokonać skalując niezależną zmienną t przez czynnik i wprowadzając nową zmienną czasową, τ taką, że: Można zauważyć, że taki sam skutek odniesie założenie μ=1 w równaniu: jeśli dodatkowo przyjmiemy za jednostkę długości wartość wielkiej półosi, to mamy układ dwóch ciał, w którym mamy jednostkowy ruch średni i okres orbitalny równy 2π jednostek czasowych.

21. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg W rzeczywistości dokładnych rozwiązań w mechanice nieba (i nie tylko ) jest niewiele. Bardzo często posługujemy się rozwiązaniami przybliżonymi bazującymi na rozwinięciach w szeregi. W Układzie Słonecznym korzystamy często z faktu, że orbity różnią się niewiele od koła (rozwijanie względem małych e), tworzą małe kąty z płaszczyzną ekliptyki (małe I). Innym zagadnieniem, w którym często korzysta się z rozwinięć w szereg jest teoria perturbacji

22. Zagadnienie dwóch ciał Trygonometryczny szereg Fouriera Dana jest pewna funkcja okresowa f(x) bezwzględnie całkowalna w przedziale (-T/2, T/2), gdzie T jest okresem. Rozwinięcie f(x) w szereg Fouriera ma postać: współczynniki an i bn:

23. Zagadnienie dwóch ciał Trygonometryczny szereg Fouriera

24. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Napiszmy równanie Keplera w postaci: różnica E-M jest nieparzystą funkcją okresową stąd prawą stronę możemy rozwinąć w szereg Fouriera biorąc tylko wyrazy nieparzyste: gdzie: pierwszy czynnik w tym wyrażeniu jest równy 0.

25. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając znów z równania Keplera możemy napisać: wtedy: Pierwsza z tych całek jest równa 0, natomiast drugą można przekształcić (znów przy użyciu równania Keplera) do postaci: Całka występująca w tym równaniu może być zapisana przy użyciu funkcji Bessela pierwszego rodzaju.

26. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Dla dodatnich wartości s możemy napisać: ten szereg jest zbieżny dla wszystkich x. Funkcje Bessela dla s=1,…,5

27. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Możemy ostatecznie napisać rozwiązanie równania Keplera w postaci: szereg jest szybko zbieżny dla małych wartości e. W przypadku e>0.6627434 staje się jednak rozbieżny.

28. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Zależność między promieniem i wielką półosią daje: rozwijając czynnik ecosE dostajemy: po uwzględnieniu jawnej postaci funkcji Bessela mamy ostatecznie: To rozwinięcie będzie wykorzystywane m.in. w tzw. przybliżeniu „guiding centre” oraz przy analizie perturbacji.

29. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Przekształcając znów wyrażenie: dostajemy: Uwzględniając otrzymane wcześniej rozwinięcie r/a możemy wyznaczyć rozwinięcie cosE:

30. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Różniczkując równanie Keplera dostaniemy: prawa strona jest równa a/r. Różniczkując otrzymane wcześniej wyrażenie: otrzymujemy: stąd mamy rozwinięcie a/r w szereg przy użyciu funkcji Bessela

31. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając z otrzymanego rozwinięcia a/r możemy wyznaczyć: które jest przydatne przy analizie perturbacji planetarnych

32. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając z równania biegunowego elipsy: możemy napisać: które po uwzględnieniu rozwinięcia a/r daje:

33. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Rozwinięcie sinν otrzymujemy w nieco bardziej skomplikowany sposób. Równanie biegunowe elipsy zapiszemy w postaci: Różniczkujemy po M: korzystając z całki pól, definicji anomalii średniej i trzeciego prawa Keplera: otrzymamy:

34. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając z otrzymanego wyrażenia mamy: skąd: i ostatecznie: Te rozwinięcia są użyteczne przy badaniu rezonansu typu „spin-orbita” oraz przy badaniu perturbacji.

35. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Kolejne rozwinięcie dotyczy różnicy anomalii ν-M zwanego równaniem środka. Dzięki niemu jesteśmy w stanie wyrazić anomalię prawdziwą w funkcji czasu jaki upłynął od przejścia ciała przez perycentrum. Korzystamy z całki pól w postaci: Korzystając z: otrzymamy:

36. Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Uwzględniając w otrzymanym wyrażeniu wyznaczoną wcześniej postać dE/dM i całkując dostajemy: które będzie używane w przybliżeniu „guiding centre”.