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Complejidad

Complejidad. Programación II 10-11 de febrero de 2009. Eficiencia de algoritmos. ¿Cómo determinar si un algoritmo es mejor que otro? Fácil a implementar Fácil a entender Fácil a modificar Usa menos memoria Menor tiempo de ejecución. Tiempo de ejecución.

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  1. Complejidad Programación II 10-11 de febrero de 2009

  2. Eficiencia de algoritmos • ¿Cómo determinar si un algoritmo es mejor que otro? • Fácil a implementar • Fácil a entender • Fácil a modificar • Usa menos memoria • Menor tiempo de ejecución

  3. Tiempo de ejecución • El tiempo de ejecución de un programa depende de varios factores: • Los datos de entrada • La calidad del código generado por el compilador • La máquina donde se ejecuta el programa • La complejidad del algoritmo en que se basa

  4. Complejidad • Complejidad: número de operaciones elementales en función de la entrada • Si n es la medida de los datos de entrada, T(n) denota el tiempo de ejecución • T(n) no tiene unidad • Hace referencia al caso peor (otras opciones: caso promedio, caso mejor)

  5. Operaciones elementales • Operaciones aritméticas (adición, sustracción, multiplicación, división, módulo) • Asignación de valores a una variable • Comparaciones • Devolución del resultado

  6. Composición de la complejidad • Secuencia: la complejidad se suma • Condicional: la complejidad en el caso peor es el máximo de las dos opciones • Bucles: la complejidad es el producto del número de iteraciones y la complejidad interior del bucle (incluida la condición)

  7. Ejemplo: Factorial • Calcular T(n) para la versión iterativa de Factorial(n) funcion Factorial(n:natural) devuelvenatural resultado := 1; mientras (n > 0) hacer resultado := resultado * n; n := n – 1; fmientras devuelve resultado; ffuncion

  8. Notación asintótica • Mide la velocidad de crecimiento de una función • Una función T(n) es O(f(n)) (O-grande de f(n)) si T(n) crece como f(n) • Por ejemplo, la función T(n) = 5n + 3 es O(n), es decir, crece como n • En general, es igual al término más grande (constantes excluidos)

  9. Definición matemática O(f(n)) = {T(n) : c,N, n>N, T(n) < c*f(n)} c*f(n) T(n) f(n) N n

  10. Funciones típicas

  11. Velocidad de crecimiento

  12. Ejemplo: ordenación • Complejidad en notación asintótica de los algoritmos de ordenación básicos • Algoritmo de la burbuja (Bubble Sort) • Ordenación por inserción (Insertion Sort) • Ordenación por selección (Selection Sort)

  13. Doble bucle • ¿Cuál es la complejidad de la suma 1+2+3+…+n? • Ejemplo del Principio de Inducción: 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 • ¿Notación asintótica?

  14. Funciones recursivas • Establecer la ecuación de recurrencia: • Complejidad en el caso base • Complejidad en el caso recursivo • Expandir la complejidad en el caso base en función del número de llamadas recursivas hechas • Encontrar el número de llamadas necesarias para estar en el caso base

  15. Ejemplo: Factorial • Ecuación de recurrencia: • T(n) = a, n = 0 • T(n) = b + T(n-1), n > 0 • Expandir en el caso recursivo:

  16. Ejemplo: Factorial • T(n) = kb + T(n-k) • Para eliminar la dependencia de T(), escoger k tal que estamos en el caso base • Si k=n, T(n-k) = T(0) = a • Si substituimos k=n en la expresión, obtenemos T(n) = bn + a • ¿Notación asintótica?

  17. Ejemplo: Búsqueda binaria funcion BB(V:vector; i,d,k:natural) devuelvebooleano si (i = d) entonces devuelve (V[i] = k); sinosi (V[(i+d)/2] < k) entonces devuelve BB(V, (i+d)/2 + 1, d, k); sino devuelve BB(V, i, (i+d)/2, k); fsi ffuncion

  18. Ejemplo: Búsqueda binaria • Ecuación de recurrencia (medida n=d – i): • T(n) = a, n = 0 • T(n) = b + T(n/2), n > 0 • Expandir en el caso recursivo:

  19. Ejemplo: Búsqueda binaria • T(n) = kb + T(n/2k) • Para eliminar la dependencia de T(), escoger k tal que estamos en el caso base • Problema: n/2k = 0 => 2k =  • Idea: escoger n/2k = 1  k = log(n) • T(n) = b*log(n) + T(1) = b*log(n) + b + a • ¿Notación asintótica?

  20. Ejemplo: Mergesort • Medida: n = D – E • Depende de la complejidad de Combina • Los bucles de Combina se repiten un número de veces igual al número total de elementos de V1 y V2 • Ecuación de recurrencia: • T(n) = a, n = 0 • T(n) = b + c*n + 2T(n/2)

  21. Ejemplo: Mergesort • n/2k = 1  k = log(n) • T(n) = bn + cnlog(n) + an • ¿Notación asintótica?

  22. Un experimento • Ordenar mil millones de elementos • Procesador con frecuencia 1GHz • Tiempo de ejecución aproximado • Bubble (Insertion, Selection) Sort: O(n2) • Mergesort: O(nlog(n)) • log(109)  30 • 109 segundos  ¡32 años!

  23. Ejemplo: Quicksort • Caso mejor: como Mergesort • Caso peor: ¡como Bubble Sort! • Caso promedio: como Mergesort

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