Recordando las áreas de figuras y cuerpos geométricos

1. Recordando las áreas de figuras y cuerpos geométricos

2. a Área de figuras planas: polígonos Rectángulo Cuadrado Paralelogramo Triángulo h A = b · h A = l2 A = b · h h h b b l b Polígono regular Polígono cualquiera Trapecio IV III b · II h I B p = perímetro El área de un polígono cualquiera es igual a la suma de las áreas de los triángulos que puedan formarse. En este caso, a la suma de las áreas I, II, III y IV.

3. AG =  · R2 Ap =  · r2 Área de figuras planas: figuras circulares Círculo Corona circular R · · r r A =  · r2 A =  · (R2 – r2) nº Sector circular

4. a · c b · c b · c a · c Área del ortoedro Las caras del ortoedro son rectángulos, siendo las caras opuestas iguales. a · b c b a a · b ATOTAL = 2ab + 2ac + 2bc El área total de un ortoedro es igual a la suma de las áreas de sus caras.

5. p AB Área del prisma regular Las caras laterales de un prisma regular son rectángulos, y sus bases son polígonos regulares. La suma del área de todos los rectángulos es el área lateral del prisma. ALATERAL = p · h El área total del prisma regular se obtiene sumando a la lateral la de los dos polígonos de las bases. ATOTAL = AL + 2 · AB

6. A´ A Área del prisma regular. Ejercicio Hallar el área total del prisma hexagonal adjunto. Datos: Lado = 0,8 cm; apotema = 0,7 cm; altura = 2,7 cm. Área lateral: p = 6 × 0, 8 = 4,8 cm; h = 2,7 cm AL = 4,8 × 2,7 = 12,96 cm2 Área de las base: Lado = 0,8 cm Apotema= 0,7 cm Perímetro = 4,8 cm Área total: AL + AB = 12,96 cm2 + 3,36 cm2 = 16,32 cm2

7. Apotema de la pirámide Apotema de la pirámide Área de la pirámide regular Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales, y la base un polígono regular. El área lateral de la pirámide regular es la suma de las áreas de los triángulos de sus caras. ALATERAL = 5 · área de un triángulo = El área total de la pirámide regular se obtiene sumando a la lateral el área de la base. ATOTAL = AL + AB

8. 0,7 cm base apotema Área de la pirámide regular. Ejercicio Calcular el área lateral y total de la pirámide de la figura adjunta Área lateral: Es la de cinco triángulos iguales. Base = 1 cm Altura = 3,1 cm AL = 1,55 cm2 × 5 = 7,75 cm2 Área de la base: Perímetro: 1 cm × 5 = 5 cm Apotema= 0,7 cm Área total: AL + AB = 7,75 cm2 + 1,75 cm2 = 9,5 cm2

9. Área del tronco de pirámide regular El área lateral de un tronco de pirámide regular es la suma de las áreas de los trapecios iguales de sus caras. En este caso son cinco trapecios. El área de cada uno de ellos es: ALATERAL = (p1 y p2 son los perímetros de la base mayor y menor, respectivamente.) El área total del tronco de pirámide se obtiene sumando al área lateral el área del polígono de la base mayor, B, y de la base menor, b. AT = AL + AB + Ab

10. 2r r El área lateral de un cilindro recto coincide con la del rectángulo del desarrollo. r ALATERAL = 2··r ·h h h r2 r Área de un cilindro: AL = 2  r h ATOTAL = AL + 2  r2 Ejemplo: Un bote de legumbres mide 12 cm de altura y 10 cm. de diámetro. Calcula el área lateral y el área total. Solución: Al = 377 cm2 ; Atotal = 377 + 157 = 534 cm2

11. Área del cono Área lateral del cono: AL =  r g ATOTAL = AL +  r2 Ejemplo: Calcula el área total de un cono de 10 cm. de radio y 20 cm. de generatriz. Solución: Alateral=628 cm2 Atotal= 628 + 314 = 942 cm2

12. Área del tronco de cono recto Un tronco de cono puede considerarse como un tronco de pirámide en el que el número de caras laterales ha crecido indefinidamente. Teniendo en cuenta la correspondencia (perímetro–longitud de la circunferencia y apotema–generatriz), el área lateral del tronco de cono será: ALATERAL = El área total del tronco de cono recto se obtiene sumando a la lateral el área de los dos círculos de las bases:  r12 +  r22 AT = AL +  r12 +  r22

13. 8,5 cm . Área de la superficie esférica Para calcular el área de la superficie esférica se aplica la fórmula: A = 4  R2. EJERCICIO RESUELTO Calcula la superficie de plástico necesario para fabricar una pelota de 17 cm de diámetro. Si el diámetro mide 17 cm, el radio vale la mitad: r = 8,5 cm.

14. r2 r1 Área de figuras formadas por composición de las anteriores (I) EJERCICIO RESUELTO La figura representa un cuerpo hueco fabricado con hojalata. Calcular la superficie de la hojalata que se ha necesitado para fabricarlo. (Las longitudes viene dadas en centímetros) El cuerpo está formado por una semiesfera y por un tronco de cono. Área de la semiesfera: Área lateral del tronco de cono: AL =  · (r1 + r2) · g = = 3,14 · (20 + 15) · 30 cm2 = 3297 cm2 Superficie total de hojalata: 1413 cm2 + 3297 cm2 = 4710 cm2

15. a Área de figuras formadas por composición de las anteriores (II) EJERCICIO RESUELTO Se desea pintar una caseta, cuya forma y dimensiones se indican en la figura. ¿Cuántos metros cuadrados de superficie hay que pintar? La caseta está formado por una pirámide y por un prima recto. Área de la pirámide: Apotema: Área del prisma: AL = 4 · 2 · 2 = 16 m2 15,15 m2 Hay que restarle la superficie de la puerta: 0,5 · 1,70 = 0,85 m2 Superficie total que hay que pintar: 10,76 m2 + 15,15 m2 = 25,91 m2

16. VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS