Teoria da Computação

1. UNIPÊ – Centro Universitário de João PessoaCurso de Ciências da Computação Teoria da Computação REVISÃO– FUNÇÕES Fabrício Dias fabriciounipe@ig.com.br

2. Agenda • Funções • Definições • Propriedades das funções • Função sobrejetiva • Função injetiva • Função bijetora • Composição de funções (função composta)

3. Funções • Definição: Função é um objeto que estabelece um relacionamento de entrada e saída • Ou seja, toma uma entrada e produz uma saída • Em toda função a mesma entrada sempre produz a mesma saída • Obs.: função pode ser também ser chamada de mapeamento.

4. Exemplos de função • f(x) = 5 (Função constante) • y = x + 1 (Função do 1° grau) • f(x) = x2 + 2 (Função do 2° grau) • f(x) = xy (Função exponencial) • y = x-1 (Função inversa)

5. Funções • Sejam S e T conjuntos. Uma função (ou aplicação) f de S em T, denotada f : ST, é um subconjunto de SxT onde cada elemento de S aparece exatamente uma vez como primeiro elemento de um par ordenado • S é o domínio e T é o contradomínio da função • Se (s,t) pertence à função, então t é denotado por f(s), ou seja, f(s) = t • t é a imagem de s por f e dizemos que f leva s em t.

6. Propriedades das funções • Seja f: S  T. Então, o conjunto I = {f(s) : s S},ou I = f(S), é dito ser o conjunto imagem de f, ou simplesmente a imagem de f.

7. Propriedade das funções • Seja f: S  T. Então, o conjunto I = {f(s) : s S},ou I = f(S), é dito ser o conjunto imagem de f, ou simplesmente a imagem de f. • Propriedade das funções • Função sobrejetiva • Uma função f : S  T é uma função sobrejetiva se a imagem de f, f(S), é igual ao contradomínio de f, ou seja, f(S) = T. • Função injetiva • Uma função f : S  T é injetiva, ou um-a-um, se nenhum elemento de T for imagem de dois elementos distintos de S, ou seja, não existe t T tal que f(s1) = f(s2) = t e s1 s2. • Função bijetiva • Uma função f: S  T é uma função bijetiva se for ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.

8. S T U f(s) g(f(s)) s Função Composta • Suponha que f e g são funções tais que: f : S  T e g : T  U • Então, para qualquer s S, f(s) T • Assim, f(s) pertence ao domínio de g • Então, aplicando g à f(s), produz g(f(S))  U.

9. Função Composta • Seja f : S  T e g : T  U. Então, a composição de f com g é uma função (função composta) de S em U, denotada por g  f, ou seja, g  f : S  U, e definida por: g  f (s) = g(f(s)) Exemplo: Tome f(x) = x +2 g(x) = x2 + 1 f(g(x)) = ?

10. Função Composta • Seja f : S  T e g : T  U. Então, a composição de f com g é uma função (função composta) de S em U, denotada por g  f, ou seja, g  f : S  U, e definida por: g  f (s) = g(f(s)) Exemplo: Tome f(x) = x +2 g(x) = x2 + 1 f(g(x)) = (x2 + 1) + 2

11. Função Composta • Seja f : S  T e g : T  U. Então, a composição de f com g é uma função (função composta) de S em U, denotada por g  f, ou seja, g  f : S  U, e definida por: g  f (s) = g(f(s)) Exemplo: Tome f(x) = x +2 g(x) = x2 + 1 f(g(x)) = (x2 + 1) + 2 g(f(x)) = ?

12. Função Composta • Seja f : S  T e g : T  U. Então, a composição de f com g é uma função (função composta) de S em U, denotada por g  f, ou seja, g  f : S  U, e definida por: g  f (s) = g(f(s)) Exemplo: Tome f(x) = x +2 g(x) = x2 + 1 f(g(x)) = (x2 + 1) + 2 g(f(x)) = (x + 2) + 1

13. Dúvidas??