Dr. Koncsos László egy. docens

1. KÖRNYEZETI RENDSZEREK MODELLEZÉSE Dr. Koncsos László egy. docens Matematikai modellezés

2. m1 m2 F F r Bevezetés – modell fogalma 1. Példa – Newton bolygómozgási modellje • egyik első modern modell – úttörő eredmény • két test probléma • kiterjedés nélküli testek • Nap + 1 bolygó • Kepler törvényeinek „elegáns” leírása • több-test probléma – jóval bonyolultabb feladat

3. Reagáló anyagok Hűtővíz Hűtővíz Termék és melléktermékek Bevezetés – modell fogalma 2. Példa – kémai reakció kevert reaktorban Törvények, hipotézisek • anyag- és energiamegmaradás trv • Fourier hővezetési trv. • irreverzibilis reakció • rendszerparaméterek állandóak • tökéletes keverés – homogén részrendszerek … n. a köpeny reagálása azonnali Több modell is készíthető • egyszerűsítések • kezelhetőség

4. Bevezetés – modell fogalma Modellalkotás • szabadságfoka gyakran igen nagy • gátló tényezők, lehetőségek figyelembe vétele • megfelelő stragtégia megválasztása Modellek alkalmazásával célunk • fizikai (biológiai,…) folyamatok előrejelzése, állapotváltozók jövőbeli alakulásának meghatározása • további kísérletek, megfigyelések módosítása • fogalmaink fejlesztése megértése • tervezési célok

5. Bevezetés – modell fogalma Modell – nehéz általánosan definiálni „Egy matematikai modell matematikai egyenletek (struktúrák) tetszőleges teljes és konzisztens halmaza, amelyet arra terveztek, hogy más tulajdonságok összességét, azok prototípusát írja le. A prototípus lehet fizikai, biológiai, társadalmi, pszichológiai vagy konceptuális (vázlatos) tulajdonság, vagy esetleg éppen egy másik matematikai modell.” [Aris, 1978]

6. Bevezetés – modell fogalma Modell – nehéz általánosan definiálni „A modellek a modern tudomány alapvető eszközei közé tartoznak.” [Frigg, Hartmann 2006] x időleges, célszerű, kényelmes megközelítés örök igazság kifejeződése x túl egyszerű / túl bonyolult hasznos / haszontalan igaz / hamis

7. …innentől matematikai modellek…

8. Légkör 1 - Reaeráció 2 - Alga-légzés 3 - Fotoszintetikus oxigén-termelés 4 - Szerves biodegradációoxigén-igénye 5 - Üledék oxigén-felvétele 6 - Nitrifikáció oxigén-felvétele 7 - Nitrifikáció 1. és 2. lépése 8 - Ülepedés 9 - Bentikus forrás 10 - Lebomlás 11 - Tápanyag-felvétel 12 - Alga-pusztulás Modellek elemei • állapotváltozók • függvénykapcsolatok • paraméterek

9. Modellek besorolása …származtatás alapján: • Determinisztikus • fizika (más tudományág) alaptörvényeire, igazolt összefüggésere alapul • ált. differenciál- és integrálegyenletek rendszereként írható le • Sztochasztikus • Valószínűség-elméleti törvényszerűségekre alapul • Empirikus • megfigyelések alapján felállított, de nem általános érvényű (~empirikus) összefüggésekre alapul • független megfigyelések segítségével • Hibrid • determinisztikus + sztochasztikus + empirikus elemek • biológiai, meteorológiai, … folyamatok leírása során hasznos

10. Dinamikus Statikus Input Input xout,1 xin,1 xout,1 xout,1 xin,2 xout,1 xin,2 xin,3 xin,3 xin,1 Output Output time time time time time time time time time time Modellek besorolása …időbeliség alapján:

11. Modellek besorolása … paraméterek alapján: • Időben • állandó paraméterű • változó paraméterű • Térben • „halmozott” (lumped), állandó paraméterű • osztott paraméterű

12. Modellalkotás folyamata • Identifikáció • alaptörvények, feltevések számbavétele • elégséges részrendszer kiválasztása • matematikai realizáció (papír-ceruza / szoftver) • Kalibráció • modellállandók beállítása • számítások és megfigyelések összevetésén alapul • Validáció • kalibrált modell igazolása • független megfigyelések segítségével

13. t=0 h d=2R x(t) t talaj rés Identifikáció – determinisztikus Szennyzőanyag szivárgási probléma Kérdés: x(0)=h x(t)=? Feltételezések • R=áll. • rfolyadék=áll. • talaj homogén, befogadóképessége állandó • Rések rendszere állandó Felírható modell: kifolyási sebesség ~ folyadék szint Szivárgási modell Térfogat t időpontban

14. p=1/2 p=1/2 Identifikáció – sztochasztikus Galton deszka Milyen lesz a golyók eloszlása a gyűjtőcellákban? • azonos golyók • n sor • n-1 ütközés • n+1 gyűjtőcella n x=0,1,2,…,n –tartály indexe A Moivre-Laplace tétel szerint: (a normális eloszlással közelíthető) n+1

15. t=0 h d=2R x(t) t talaj rés Kalibráció – szivárgási probléma Levezetett szivárgási modell • input (ftlen) t • output (függő) x(t) • paraméterek k,h, R Modellparaméter • matematikai modell közvetlenül nem mérhető paramétere • fizikai tartalommal, gyakran dimenzióval rendelkezik • meghatározása közvetett módon zajlik kalibráció

16. x [m] h t [s] 0 T Kalibráció – szivárgási probléma Kalibrációs feladat • x(t)n-szeri megfigyelése a {0;T} idő-intervallumban x=(xmért,1,xmért,2,…….,xmért,n) – mért idősor • x(t) számítása a {0;T} idő-intervallumban, különböző k értékekre x(k)=(xszámított,1,xszámított,2,…….,xszámított,n) – számított idősor • célfüggvény k-tól függő minimuma? • Modellparaméterek beállítása úgy, hogy a számított eredmények a legjobban közelítsék a valóságban megfigyelt értékeket • manuális • algoritmikus Mért értékek k=0.01 k=kopt k=100 Kiértékelés: r(k1) > r(k2) > … > r(kn)kopt=kn

17. Kalibráció – szivárgási probléma Távolság - hiba • absztrakt matematikai fogalom • jelentősége – célfüggvény felírása • általános összefüggések: • módosított alakú összefüggések: diszkrét függvényre folytonos függvényre folytonos függvényre diszkretizált súlyozott hibafüggvény

18. x [m] h t [s] 0 T Validáció – szivárgási probléma Validációs feladat • igazolni a modell és a kalibrált paraméter-vektor megfelelő voltát • a kalibrált modell optimalizációs időszakon kívüli egyeztetése a valósággal Mért értékek k=kopt