Giochi su network di connessione

1. Pavia, 24 Marzo 2009 Almo Collegio Borromeo Giochi su network di connessione Stefano Moretti Istituto Nazionale per la Ricerca sul Cancro Email: stefano.moretti@istge.it Phone:010-5600500

2. Phd Thesis, Tilburg Univeristy, The Netherlands: http://arno.uvt.nl/show.cgi?fid=80868

3. Ricerca Operativa • Un decisore, guidato da unafunzione obiettivo, affronta un problema di ottimizzazione. • La teoria quindi si concentra sulla questione di come agire in maniera ottimale e, in particolare, sulla costruzione di algoritmi efficienti.

4. Teoria dei Giochi cooperativi • almeno due decisori interagenti (chiamati giocatori) • sono permessi accordi vincolanti • possono essere permessi anche pagamenti laterali (giochi a utilità trasferibile o TU-game, anche noti come giochi cooperativi in forma coalizionale)

5. RO e TdGORG • Struttura (discreta) di base di un grafo, network o sistema che soggiace a varie tipologie di problemi di ottimizzazione combinatoria. • Si assume che almeno due giocatori sono situati in corrispondenza di parti (es. vertici, lati, panieri di risorse, lavori) del sistema da ottimizzareecc.)

6. Esempio di Situazione di connessione • Un gruppo di persone le cui case sulla montagna non siano ancora connesse ad una rete fognaria; • Le loro acque reflue devono essere raccolte in un depuratore a valle; • Per tutti e’ sufficiente, ma non necessario, essere connessi autonomamente al depuratore; • Ci si puo connettere anche attraverso altre case; • “Alcune connessioni potrebbero anche essere impedite da barriere naturali (natural reef)”; • Costruire un tubo e’ costoso.

7. Come nasce il gioco? • Lavorando assieme, i giocatori possono realizzare guadagni extra o abbassare i costi in comparazione alla situazione in cui ciascuno ottimizza individualmente. • Il nuovo problema è: come dividere i guadagni extra o i risparmi?

8. Ricordo che Un gioco cooperativo dei costi e’ una coppia ordinata <N,c> dove N={1,2,…,n} e’ l’insieme dei giocatori c:2NIR+ e’ la funzione caratteristica del gioco che assegna ad ogni coalizione S2N un numeor reale c(S) e dove c()=0. Un vettore xIRn e’ chiamato allocazione Se un’allocazione e’ sia efficiente (iN xi=c(N)) che individualmente razionale (xi  c({i}) per ogni iN) allora e’ chiamata imputazione Un’imputazione e’ stabile se iS xi  c(S) per ogni coalizione S non vuota Il nucleo di un gioco <N,c> e’ l’insieme di tutte le imputazioni stabili ed e’ denotato da Core(N,c) 8

9. Problemi di connessione • fixed tree games, ovvero giochi derivanti da problemi di mantenimento di network già costruiti • minimum cost spanning tree games (giochi mcst), dove invece il network di connessione deve ancora essere realizzato.

10. 3 1 • I cui vertici rappresentano le case 2 80 20 30 50 40 • il vertice 0 e’ la sorgente 10 • I lati rappresentano le connessioni 0 sorgente • I numeri vicino ai lati rappresentano • il costo di connessione Minimum Cost Spanning Tree Situation Utilizziamo il modello del grafo pesato completo.

11. Minimum Cost Spanning Tree problem. Problema di Ottimizzazione: come connettere ogni nodo alla sorgente 0 in maniera tale che il costo di costruzione di del network di ricoprimento (che connette tutti i nodi direttamente o indirettamente alla sorgente 0) sia minimo?

12. Algoritmo di Prim 18 2 1 24 24 20 10 0 26 3 3 Esempio N={1,2,3} EN’={{1,0},{2,0},{2,1},{3,0},{3,1},{3,2}} Una funzione dei costi come indicata sul grafo Algoritmo di Kruskal 18 2 1 24 24 10 0 20 26

13. c(1)=24 c(2)=24 c(3)=26 c(1,3)=34 c(1,2)=42 c(2,3)=44 c(1,2,3)=52 3 Esempio: Il gioco cooperativo dei costi <{1,2,3},c>dato dalla situazione di connessione disegnata di seguito e’ tale che: 18 2 1 24 24 10 0 20 26 Il gioco <{1,2,3}, c> è detto gioco mcst

14. Come posso dividere il costo totale? • Il predecessore di 1 e’ 0: quindi l’allocazione di Bird assegna a 1 il costo di {1,0}. • Il predecessore di 2 e’ 1: quindi l’allocazione di Bird assegna a 2 il costo di {2,1}; • Il predecessore di 3 e’ 1: quindi l’allocazione di Bird assegna a 3 il costo di {1,3}. 18 2 1 24 24 10 0 20 26 3 w()=52 L’allocazione di Bird rispetto a (x1,x2, x3)=(24, 18 ,10) sta nel nucleo Core({1,2,3},c).

15. L’allocazione di Bird rispetto a questo albero di ricoprimento di minimo costo e’ (x1,x2, x3)=(24, 18 ,10) L’allocazione di Bird rispetto a questo albero di ricoprimento di minimo costo e’ (x1,x2, x3)=(18, 24 ,10) 18 2 1 24 24 20 10 0 26 3 3 18 2 1 24 24 10 0 20 26 Entrambe le allocazioni appartengono al nucleo del gioco mcst (ed anche la loro combinazione convessa).

16. 1 (52,0,0) (24,2,26) (24,24,4) (x1,x2,x3) I(N,c) (0,0,52) (2,24,26) x1+x2+x3=52 (0,52,0) 18 2 1 24 24 10 0 20 26 3 3 2

17. (24,24,4) I(N,c) (18,24,10) (24,18,10) Bird 1 Bird 2 Core(N,c) (8,24,20) (24,2,26) (2,24,26) (8,18,26) 18 2 1 24 24 10 0 20 26 3

18. Allocazione Bird • Regola di Bird: • Esiste sempre (dato un problema di connessione). • In genere non e’ unica (ce ne sono tante quante gli alberi di ricoprimento di minimo costo). • Tutte le allocazioni di Bird Stanno nel nucleo del gioco mcst.

19. Altre considerazioni per valutare i metodi di allocazione: andare a vedere cosa succede quando varia la struttura del network • Si immagini di utilizzare una certa regola per allocare i costi. • Può aumentare il costo dei lati: se il costo di una connessione aumenta nessuno dovrebbe venire a pagare di meno in base alla regola di allocazione in uso (monotonia sui costi); • Uno o più giocatori lasciano il network: nessuno dei rimanenti dovrebbe essere avvantaggiato dalla loro partenza (monotonia sui giocatori).

20. 3 2 1 5 4 3 2 3 0 4 1 5 8 6 3 0 4 8 3 3 La regola di Bird non soddisfa la monotonia sui costi. Monotonia sui costi: comportamento di Bird. Allocazione di Bird: (4, 3 ,3) Allocazione di Bird: (3, 5 ,3)

21. 5 2 1 1 5 7 7 3 3 0 0 7 6 6 3 3 La regola di Bird non soddisfa la monotonia sui giocatori. Monotonia sui giocatori: comportamento di Bird. Allocazione di Bird: (5, 5 ,3) Allocazione di Bird: (3, * ,6)

22. 3 2 1 8 4 4 0 5 2 3 Esercizio: • Si consideri la situazione mcst disegnata in figura. Determinare: • il corrispondente gioco mcst. • il nucleo del gioco mcst • le allocazioni date dalla regola di Bird