Formaln í axiomatické teorie

1. Formalní axiomatické teorie Teorie relací

2. Teorie • Formální teorie je dána • Jazykem • formální jazyk prvořádové teorie je jazyk důkazového kalkulu (množina dobře utvořených formulí – DUF) • Množinou axiomů • je podmnožinou DUF a skládá se z: • množiny logických axiomů (logicky pravdivé) • množiny speciálních axiomů (pravdivé v zamýšlené interpretaci) • Množinou dedukčních pravidel • množina dedukčních pravidel daného kalkulu • Formální teorie je množina všech formulí, které lze dokázat z axiomů teorie. Teorie relací

3. Teorie • Důkaz formule A v teorii T (T| A) je posloupnost kroků (DUF) takových, že: • poslední krok je formule A • každý krok důkazu je buď • logický axiom nebo • speciální axiom nebo • formule získána aplikací dedukčního pravidla na některou z předchozích formulí posloupnosti • Hilbertův kalkul a přirozená dedukce jsou speciální typy teorií (bez speciálních axiomů, pouze logické axiomy a korektní ded. pravidla) => dokazovat lze pouze logicky pravdivé formule. Teorie relací

4. Teorie • Nejdůležitější teorie • Teorie aritmetiky • Robinsonova aritmetika (Q), Peanova aritmetika (PA) • viz: minulá přednáška • Teorie relací • teorie uspořádání • teorie ekvivalence • Atd. • Algebraické teorie • teorie grup, okruhů a těles • teorie svazů • Atd. Teorie relací

5. Teorie ostrého uspořádání • Teorie ostrého uspořádání verze 1: speciální znaky: =, <binární predikáty • Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu • Speciální axiomy: • O1. x (x = x) reflexivita • O2. x y [(x=y)  (y=x)] symetrie • O3. x y z [(x=yy=z)  (x=z)] transitivita • O4. x y z [(x=yx<z)  (y<z)] • O5. x y z [(x=yz<x)  (z<y)] • O6. xy [(x<y) (y<x)] asymetrie • O7. x yz [(x<yy<z)  (x<z)] transitivita • O8. xy [x=yx<yy<x] • O9. x y [x<y] • O10.x y [y<x] • O11.xy [x<yz [x<zz<y]] Teorie relací

6. Teorie ostrého uspořádání • Teorie ostrého uspořádání verze 2 • speciální znaky =, < binární predikáty • Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu • Speciální axiomy: • V1. x y [x<y (y<x)]asymetrie • V2. x y z [(x<y  y<z) x<z] transitivita • V3. x y [x=y  x<y  y<x] • V4. x y [x<y] • V5. x y [y<x] • V6.xy [x<yz [x<zz<y]] • Teorie rovnosti: O1-O3 • Teorie ostrého uspořádání (O1-O7) nebo (V1-V2) • Teorie lineárního ostrého uspořádání: O1-O8 nebo V1-V3 • Teorie hustého uspořádání: O1-O11 nebo V1-V6 Teorie relací

7. Příklady, modely • Teorie rovnosti (ekvivalence) • O1. x (x = x) reflexivita • O2. x y [(x=y)  (y=x)]symetrie • O3. x y z [(x=yy=z)  (x=z)] transitivita Každá teorie T definuje množinu svých modelů, tj. interpretací, ve kterých jsou pravdivé axiomy teorie („teorie v kostce“). Příklad modelů: • Universum = množina přirozených čísel • Symbol ‘=‘ je interpretován jako identita čísel. • Universum = množina přirozených čísel • Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „modulo 5“ (mít stejný zbytek po dělení 5) • Universum = množina individuí • Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „být stejně vysoký“ • Universum = množina individuí • Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „být stejné hmotnosti“ • Universum = množina DUF jazyka PL1 • Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace ekvivalence formulí (tj. mít přesně stejné modely) • atd. Teorie relací

8. Příklady, modely • Teorie ostrého uspořádání • V1. x y [x<y (y<x)]asymetrie • V2. x y z [(x<y  y<z) x<z]transitivita Příklady modelů: • Universum = množina přirozených čísel • Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace ostře menší (<) • Universum = potenční množina 2M (kde M je libovolná množina, např. individuí) • Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace (být vlastní podmnožinou) • Universum = množina individuí • Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace „být potomkem“

9. Příklady, modely • Pro každou relaci R, která splňuje axiomy ostrého uspořádání, platí, že R je: • Ireflexivní (žádný prvek není v relaci sám se sebou) • Asymetrická (je-li R(a, b) pak není R(b, a)) • Transitivní • Důkaz, že ostré uspořádání je ireflexivní (rezoluční metodou): A1:x y [x<y (y<x)](asymetrie) --------------------------------------- x(x<x)(ireflexivita)  x(x<x) A1 x y [(x<y)(y<x)] 1. (x<y)(y<x) 3. (a<a) 4. (a<a) 1., 3. x/a, y/a 5. # 3., 4. Negovaný závěr je ve sporu s předpokladem, tedy původní závěr vyplývá, tedy v dané teorii je platná ireflexivita. Teorie relací

10. Příklady, modely • Pro každou relaci R, která splňuje axiomy ireflexivity a transitivity, platí, že R je asymetrická: • Tedy ostré uspořádání opravdu stačí definovat pouze dvěma z výše uvedených tří axiomů (transitivita je nutná, + ireflexivita nebo asymetrie) • Důkaz (rezoluční metodou): A1:x (x<x) ireflexivita A2: x y z [(x<y  y<z) x<z] transtitivita --------------------------------------- x y [(x<y)(y<x)] asymetrie důkaz rezoluční metodou: 1. (x<x) 2. (x<y) (y<z)  (x<z) 3. (a<b) negovaný 4. (b<a) závěr + skolemizace 5. (b<z)  (a<z) 2.,3.: x/a, y/b 6. (a<a) 4., 5.: z/a 7. Spor 1., 6.: x/a Negovaný závěr je ve sporu s předpoklady, tedy původní závěr vyplývá.

11. Částečné (neostré) uspořádání • Teorie částečnéhouspořádání • speciální znaky: binární predikát • Logické axiomy: axiomy Hilbertovakalkulu • Speciální axiomy: • PO1. x (x  x)reflexivita • PO2. x y [((x y)  (y  x))  x=y] anti-symetrie • PO3. x y z [((x  y)  (y  z))  (x  z)] transitivita ‘=’ znak pro identitu Každá struktura U, R, která je modelem této teorie, se nazývá částečně uspořádaná množina. Příklady: • N, , kde N je množina přirozených čísel a je relace menší nebo rovno na číslech. • 2M, , kde 2M je množina všech podmnožin dané množiny M a je relace být (vlastní či nevlastní) podmnožinou Teorie relací

12. Quasi uspořádání • Někdy se stává, že chceme zavést částečné uspořádání R na množině M, ale relace R není antisymetrická. Potom můžeme využít teorii quasi uspořádání: • speciální znaky: binární predikát • Logické axiomy: axiomy Hilbertovakalkulu • Speciální axiomy: • PO1. x (x  x) reflexivita • PO3. x y z [((x  y)  (y  z))  (x  z)] transitivita Struktura U, R, která je modelem této teorie, kde relace R není antisymetrická, se nazývá quasi-uspořádaná množina. Příklad: U = množina všech DUF, kde relace R je definována jako: F1, F2 DUF, R(F1, F2) =df F2|=F1 Tato relace není asymetrická, neboť, je-li F2|=F1 a F1|=F2, pak jsou sice formule F1, F2 ekvivalentní, F1 F2 (mají stejné modely), ale není pravda, že jsou identické. Např. formule p  q, p q jsou ekvivalentní, ale nejsou to identické formule. Teorie relací

13. Teorie ekvivalence • speciální znaky: binární predikát • Logické axiomy: axiomy Hilbertovakalkulu • Speciální axiomy: • Ek1. x (x  x)reflexivita • Ek2. x y [((x  y)  (y  x))]symetrie • Ek3. x y z [((x  y)  (y  z))  (x  z)] transitivita Příklad modelu: relace ekvivalence nad množinou DUF, kde F1  F2 právě když (F1, F2  DUF, F1 |= F2  F2 |= F1) Teorie relací

14. Rozklad na množině Jestliže máme quasi-uspořádanou množinu <M, >, a relace  není antisymetrická, pak můžeme částečně uspořádat dle  množinu ekvivalenčních tříd, neboť každá ekvivalence definuje rozklad na množině M: • Definice: rozklad na množině A je množina X = {Xi ; i  I } taková že: • XiA pro iI (Xijsou vzájemně disjunktní • Xi Xj= Ø pro i,j  I, i  j podmnožiny A) • Xi = A (sjednocení Xi pokrývá celou A) Xi – třídy rozkladu • Definice: Nechť je relace ekvivalence na množině A. Nechť [x] = {y A; y  x}. Pak A/ = {[x]; x A} se nazývá faktorová množina množiny A podle ekvivalence. • Věta: Množina A/je rozklad na množině A. Teorie relací

15. Faktorová množina, rozklad [1] [3] [4] [0] [2]

16. Rozklad na množině: příklad • Definujeme relaci ekvivalence 5(modulo 5) na množině celých čísel Z takto (5ZZ):5 = {(x,y); 5 dělí x-y }. (Ověřte, že je to ekvivalence!) • Pak Z/5 {[0], [1], [2], [3], [4]}, kde [0] = {…-5, 0, 5, 10, 15, …} [1] = {…-9, -4, 1, 6, 11, …} [2] = {... -8, -3, 2, 7, 12, 17, ... } [3] = {... -7, -2, 3, 8, 13, 18, ... } [4] = {... -6, -1, 4, 9, 14, 19, ... } Je rozklad na množiněZ. Teorie relací

17. Částečné uspořádání faktorové množiny • Příklad (pokračování): • Definujeme částečné uspořádání 5 na množině Z/5z předchozího příkladu: • [x] [y] iff (x/5)zb(y/5)zb, kde (i/5)zb= r a i=k*5+r; x, y je libovolný reprezentant dané třídy. • Důkaz, že definice je korektní (nesmí záviset na výběru reprezentantů): • [x]=[x’], [y]=[y’] a [x] [y] pak musí být[x’] [y’]: • Je-li [x]=[x’], pak x=k*5 + r1, x’=k’*5 + r1 • Je-li [y]=[y’], pak y=l*5 + r2, y’=l’*5 + r2 • Tedy [x] [y] iff [r1] [r2] iff [x’] [y’]. • Důkaz, že takto definovaná relace je částečným uspořádáním – cvičení.

18. Teorie relací, shrnutí příkladů • quasi uspořádání • „množiny X a Y jsou v relaci, pokud |X||Y| (kardinalita X je menší nebo rovna kardinalitě Y) • relace dělitelnosti na množině celých čísel • „nebýt starší“ na množině lidí • částečné uspořádání • relace množinové inkluze (  ) na množině množin • relace dělitelnosti na množině přirozených čísel • relace částečného uspořádání nad množinou DUF/  , kdy F1, F2  DUF, [F1]  [F2] právě když F2 |= F1 • ekvivalence • relace ekvivalence na množině DUF, kdy F1, F2  DUF, F1  F2 právě když F1 |= F2 a F2 |= F1. Teorie relací

19. Teorie relací • Obecně speciální axiomy zapisujeme ve tvaru: • xR(x,x) reflexivita • xR(x,x) i-reflexivita • x y [R(x,y) R(y,x)]symmetrie • xy [R(x,y) R(y,x)] asymmetrie • x y z [(R(x,y)R(y,x))x=y)] anti-symentrie • x y z [(R(x,y)R(y,z))R(x,z)] transitivita • R je zde binární relace a víme, že každý speciální axiom je pravdivý v zamýšlené interpretaci. • Ani jeden speciální axiom však není logicky pravdivá formule! (Snadné ověření v libovolném korektním kalkulu) Teorie relací

20. Dokazování v teorii • Dokazování v teorii • teorie je budována nad kalkulem, tedy samotné dokazování se provádí v daném kalkulu, kdy jako předpoklady klademe speciální axiomy teorie • Např.: Mějme teorii T={reflexivita, transitivita} • dokažte, že v dané teorii platí symetrie xR(x,x) xy z [(R(x,y)R(y,z))R(x,z)] --------- x y [R(x,y) R(y,x)] Teď již záleží nad jakým kalkulem (rezoluční, přirozená dedukce, Hilbertův kalkul) svou teorii budujeme a podle toho ověřujeme logickou platnost úsudku. Teorie relací

21. Dokazování v teorii xR(x,x)  xR(x,x) xyz[(R(x,y) R(y,z)) R(x,z)] xyz[R(x,y)R(y,z)  R(x,z)] --------- x y [R(x,y) R(y,x)] x y[R(x,y) R(y,x)] K důkazu použijeme rezoluční metodu 1. R(x,x) 2.R(x’,y’)R(y’,z’)  R(x’,z’) 3.R(a,b) 4.R(b,a) 5.R(a,y’)R(y’,b) 2., 4. x’/b, z’/a 6.R(a,b) 1., 5. x/a, y’/a 7. # Rezoluční metodou jsme dokázali, že negovaný závěr je ve sporu s předpoklady, tedy původní nenegovaný závěr log. vyplývá, tedy úsudek je platný. Teorie relací

22. Teorie funkcí • Funkce jako relace • každá n-ární funkce je (n+1)-ární relace F: a bc ([R(a,b)  R(a,c)]  b=c) Parciální F: ke každé n-tici prvků aM...M existuje nanejvýš jeden prvek bM. • pokud vezmeme formuli F jako speciální axiom, tak můžeme hovořit o teorii funkcí • příklady: modely budou interpretace splňující tuto formuli (R můžeme interpretovat jako relaci, kdy 2. prvek každé dvojice je výsledek po dělení prvků dvojice a.) {1,1,1,2,1,2,2,2 ,1,…,4,2,2, …} Teorie relací

23. Teorie funkcí • Funkce jako relace Totální funkce F: A  B:Ke každému prvku aA existuje právě jeden prvek bB takový, že F(a)=b: a b F(a,b)  abc [(F(a,b) F(a,c))  b=c] Modelem této teorie tedy bude interpretace splňující danou formuli (danou relaci F můžeme interpretovat jako množinu všech dvojic, kdy 2. prvek je následníkem prvku a), funkce sčítání, násobení, … Teorie relací

24. Teorie funkcí • Funkce (zobrazení) Zobrazení f :A  B je surjekce(zobrazení A na B), jestliže k libovolnému b  B existuje a  A takový, že f(a)=b. b [B(b)a (A(a)  F(a,b))]. • Zobrazení f :A  B je injekce(prosté zobrazení A do B), jestliže pro všechna aA, bAtaková, že a  b platí, že f(a) f(b). a b[(A(b)A(a)  (a  b))cd(F(a,c) F(b,d)cd)]. • Zobrazení f :A  B je bijekce(prosté zobrazení A na B), jestliže f je surjekce a injekce. Teorie relací

25. Isomorfismus vzhledem k relaci R • Definice (isomorfní množiny): • Uspořádané množiny (A, 1), (B, 2) se nazývají isomorfní, jestliže existuje bijekce f: A  B taková, že • x,yA: x 1y právě když f(x) 2f(y) Například množiny N a množina sudých kladných čísel jsou isomorfní vzhledem k uspořádání čísel dle velikosti – existuje funkce f (např. 2x) Dále bude isomorfismus nad (DUF/, ), kde, F1, F2  DUF, F1  F2 právě když F2|= F1 a funkce f bude identita. Teorie relací

26. Úplnost x neúplnost teorie Definice: teorie T je úplná, právě když rozhodujekaždou formuli F, tj. T | F nebo T | F Zároveň víme, že pro (např.) Hilbertův kalkul platí silná věta o úplnosti kalkulu (neplést úplnost teorie s úplností kalkulu!): A | F  T |F, kde A je množina speciálních axiomů teorie T. Tedy teorie dokazuje vše, co z ní vyplývá. Je-li teorie T neúplná, pak existují nezávislé sentence F (které T nerozhoduje). Pak ovšem F nemůže vyplývat z T. Tedy existuje model M teorie T, ve kterém F není pravdivá. Proto, V případě, že existují aspoň 2 neisomorfní modely (M1, M2) dané teorie T, pak existuje aspoň jedna nezávislá sentenceF, pro níž platí: M1| A a M1|F, M2| A a M2|F, pak je tato teorie T neúplná. Teorie relací

27. Úplnost x neúplnost teorie Teorie relací

28. Úplnost x neúplnost teorie Obecně: Pokud je teorie úplná, pak má všechny modely vzájemně izomorfní (vzhledem k axiomům teorie) • Teorie částečného uspořádání je neúplná. • Teorie lineárního uspořádání je úplná. Teorie relací