Teorie her

1. Teorie her Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz , www.median-os.cz, 2010 Téma 5

2. Obsah 5.1 Teorie her jako součást mikroekonomie 5.2 Základní pojmy teorie her a typologie her 5.3 Základní pojmy teorie her a typologie her 5.4 Hry s konstantním součtem – smíšené strategie 5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra 5.6 Modelové hry – příklady nekooperativních dvou-maticových her s nekonstantním součtem

3. Teorie her je jednou z nejvíce se rozvíjejících vědních disciplín v posledních desetiletích. Je tomu tak proto, že tato teorie dokáže popsat mnoho reálných rozhodovacích (konfliktních) situací a poskytnout návody na jejich řešení. Praktické využití z teorie her lze aplikovat na celou řadu situací a to zejména v sociálních vědách a ekonomii, v politologii a mezinárodních vztazích. Aplikovatelnost bychom nalezli i v biologii. 5.1 Teorie her jako součást mikroekonomie

4. Rovnováha firmy kdy průměrné příjmy jsou nižší než průměrné náklady, ale vyšší než průměrné variabilní náklady Firma se musí připravit na to, aby, pokud se situace nezmění, v dlouhém období z daného odvětví odešla.

5. Teorie her se obecně zabývá situacemi, kdy jednání nějakého subjektu závisí na jednání ostatních subjektů, přičemž zároveň platí, že jednající subjekt svým jednáním působí na jednání jiných subjektů. 5.2 Základní pojmy teorie her a typologie her

6. Teorie her se zabývá konfliktními rozhodovacími situacemi s více účastníky. Pracuje nejméně se dvěma účastníky, přičemž není nutné, aby 2. účastník byl člověk. Může jím být například losovací stroj nebo příroda sama. 5.2 Základní pojmy teorie her a typologie her

7. Jsou-li zájmy hráčů v přímém protikladu, hovoříme o antagonistickém konfliktu. Pokud hráč hájí své zájmy, nemusí být nutně v rozporu se zájmy ostatních hráčů, pak mluvíme o neantagonistickém konfliktu. Ty dělíme na kooperativní a nekooperativní. 5.2 Základní pojmy teorie her a typologie her

8. 5.2 Základní pojmy teorie her a typologie her

9. Existují dva nejdůležitější matematické modely teorie her: • Hra v normálním tvaru – také označována jako strategická hra. V takovéto hře se všichni hráči rozhodují najednou (současně). • Hra v rozvinutém (explicitním) tvaru- v této hře se hráči rozhodují postupně – nejprve se rozhodne a jedná (udělá tah) nějaký hráč, potom se rozhodne a jedná (udělá tah) další hráč, atd. 5.2 Typologie her

10. Počet hráčů • Racionalita • Spolupráce • Informace • Strategie • Výhra • Počet tahů 5.2 Faktory pro dělení her

11. Teorie her předpokládá, že • každý z hráčů maximalizuje svůj užitek, • oba hráči rovnocenní, mají stejné schopnosti a informace. Hráče dále dělíme na • inteligentní, chovají se dle zásad racionality • „neinteligentní“, jsou reprezentováni náhodným rozhodovacím mechanismem (automat, příroda). 5.2 Racionalita

12. U kooperativních her předpokládáme spolupráci (tj. hráči se mohou domlouvat a spolupracovat, a mohou si mezi sebou rozdělit výplaty, tj. mohou se dohodnout, že to, co jednotliví hráči ve hře mohou získat, si mezi sebe nějak rozdělí.) Ke spolupráci a dohodě dojde jen pokud je to pro jednotlivé hráče výhodné, tj. pokud spoluprací získají více než když nebudou spolupracovat. 5.2 Spolupráce

13. Teorie her rozlišuje hry • s konstantním • nekonstantním součtem. Hry s konstantním (nulovým) součtem předpokládají, že vítěz bere vše, pak tedy platí, že hráč, který prohrál, nemá nic. Hry s nekonstantním součtem naopak předpokládají, že vyhrát může více hráčů. 5.2 Výhra

14. množina hráčů {1, 2, 3,…, N}. • množina prostorů strategií {X1 , X2 , X3, …, XN}. Kde Xi(i nabývá hodnot od 1 do N) zobrazuje prostor strategií i-tého hráče. • množina výplatních funkcí {f1(x1, x2, x3, …, xN)}, …, {fN(x1, x2, x3, …, xN)} – ty jsou definovány na kartézském součinu prostoru strategií, u hry dvou hráčů postačí označení f1(x, y) pro výplatní funkci prvního hráče, a f2(x, y) pro výplatní funkci druhého hráče. 5.3 Hry s konstantním součtem v normálním tvaru

15. Jde o součin dvou množin, např. A * B. Kartézský součin obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny, která v součinu stojí na 1. místě, a druhá položka je prvkem množiny, která v součinu stojí na druhém místě. 5.3 Co je to kartézský součin?

16. Není komutativní!! 5.3 Kartézský součin.

17. inteligentní (racionální) hráči; • dokonalá informovanost všech hráčů; • antagonistický konflikt; • hra s konstantním součtem • f1(x,y) + f2(x,y) = 0 (konst.) 5.3 Předpoklady

18. Hráč, který se ve hře s konstantním součtem, (nulovým součtem) odchýlí od optimálních strategií, si nemůže polepšit. To je princip, na kterém je založena Nashova rovnováha, nebo též Nashovo rovnovážné řešení, nebo také rovnovážná strategie. 5.3 Nashovo rovnovážné řešení.

19. 5.3 Znázorněníá hry. V této matici hry s konstantním součtem řádky reprezentují i-té strategie hráče 1 a sloupce j‑té strategie hráče 2. Model je proto nazýván maticová hra.

20. Řešením je nalezení sedlového prvku matice A. Sedlový prvek znamená nejlepší řešení pro oba hráče. Sedlový prvek (Nashovo rovnovážné řešení) najdeme tak, že určíme maxima ve sloupcích a minima v řádcích. 5.3 Řešení.

21. Pokud 2. hráč zvolí svoji j-tou strategii, jaká je pro mne nejlepší odpověď? 1. hráč se snaží na každou j-tou strategii 2. hráče najít takovou svoji i-tou strategii, při které je hodnota aij největší. 1. hráč tedy hledá maximum v příslušném sloupci – sloupec reprezentuje j-tou strategii druhého hráče. Každý řádek daného sloupce potom značí příslušnou odpověď 1. hráče. Ten maximalizuje svoji výhru, proto v daném sloupci hledá maximum. 5.3 Řešení.

22. Obecně mohou nastat tyto případy: • matice má jeden sedlový prvek, • matice má více sedlových prvků, • matice nemá žádný sedlový prvek 5.3 Řešení.

23. 5.3 Řešení – sedlový prvek. záleží na pořadí

24. Pokud se ve hrách s konstantním součtem nepodaří najít sedlový prvek, používá se k řešení smíšených „pravděpodobnostních“ strategií. Prostory strategií představují vektory – ty říkají, s jakou pravděpodobností budou jednotliví hráči volit své strategie. Opět platí, že ten, kdo se odchýlí od rovnovážné strategie, nemůže získat a naopak ztrácí. 5.4 Hry s nekonstantním součtem – smíšené strategie.

25. 5.4 Kámen nůžky papír Pokud by nějaký hráč hrál s větší než třetinovou pravděpodobností určitou strategii (např. první hráč by převážně hrál strategii „nůžky“), tak zbývající hráč má jednoznačnou strategii, jak maximalizovat svoji výhru

26. Každý hráč má svou výplatní matici. Matice A hráč 1 5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra . Matice B hráč 2

27. Spojená matice: Modrá max ve sloupcích mat.A Zelená max v řádcích mat.B 5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra

28. Dominantní (rovnovážná) strategie je situace, kdy hráč má pro sebe jako nejvýhodnější jednu strategii, ať zbývající hráč uplatní kteroukoliv svoji strategii. 5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra

29. Spojená matice: Modrá max ve sloupcích mat.A Zelená max v řádcích mat.B 5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra

30. Spojená matice: Modrá max ve sloupcích mat.A Zelená max v řádcích mat.B 5.5 Hry s nekonstantním součtem - nekooperativní dvou-maticová hra

31. The Prisoner’s Dilemma (Vězňovo dilema) • The Tragedy of Commons (Tragédie společenského vlastnictví) • The Free Rider (Černý pasažér) • Chicken (Zbabělec) • The Volunteer’s Dilemma (Dilema dobrovolníka) • The Battle of the Sexes (Manželský spor) • Stag Hunt (Lov jelena) 5.6 Modelové hry – příklady nekooperativních dvou-maticových her s nekonstantním součtem

32. základ pro vytvoření dvou-matice v podobě přesného popisu celé situace; • musíme přesně definovat hráče, proč jsou takoví, jací jsou, proč se chovají, jak se chovají; • stanovení dostupných strategií a zdůvodnění, daného prostoru strategií. • klíčovým prvkem je stanovení výplat vázaných na zvolenou strategii, a to pro každého hráče zvlášť. 5.6 Modelové hry – předpoklady nekooperativních dvou-maticových her s nekonstantním součtem

33. Jedná o situaci dvou vězňů, kteří spáchali nějaký trestný čin a byli dopadeni. Při výslechu jsou oba odděleni a mají na výběr dvě možnosti, buď se přiznat, nebo se nepřiznat. Pro řešení výběru jejich rozhodovací strategie použijeme dvou-matici. Vězňovo dilema

34. Vězňovo dilema

35. Mohou nastat situace, kdy se všechny osoby chovají určitým jednotným způsobem (mají jednoznačnou dominantní strategii) s cílem maximalizovat svůj užitek, však všichni jednající si pohorší. Pokud by jednotliví hráči zvolili jinou než pro ně dominantní strategii, tak by na tom byli lépe, než když všichni hráči tuto nejvýhodnější strategii zvolí. Vězňovo dilema

36. NK > KK > NN > KN, kde: 1. symbol znamená strategii nějakého hráče (jedno zda-li prvního nebo druhého), 2. symbol znamená strategii zbývajícího hráče; N znamená, že daný hráč nespolupracuje, čili používá nekooperativní strategii (přizná se); K znamená, že spolupracuje, tj. použije kooperativní strategii (nepřizná se). Vězňovo dilema

37. Nashova rovnováha v ryzích strategiích v této hře tedy existuje, ale je pro oba horší, než kdyby se nepřiznali(tj. spolupracovali). Vězňovo dilema

38. Se situací typu vězňova dilematu se lze setkat velmi často, např.: • Dvě firmy uzavřely kartelovou dohodu a mohou ji porušit, nebo dodržet. • Dvě politické strany uzavřely dohodu o tom, že jejich výdaje na volební kampaň nepřekročí určitou částku a mohou ji porušit, nebo dodržet. • Dvě velmoci uzavřely dohodu o snížení počtu zbraní a mohou ji porušit, nebo dodržet. Vězňovo dilema

39. Farmáři v Austrálii mají omezené používání vody, protože jsou zde častá sucha. V matici je jeden zemědělec a všichni ostatní. Pokud budou všichni spolupracovat (tj. omezí používání vody), bude užitek obou skupin 5 tun z akru půdy. V případě, že oba (jednotlivý zemědělec i zbývající zemědělci) zradí (neomezí používání vody) pak jen 2 tuny. Pokud zradí pouze samostatný farmář, získá 10 a ostatní 5 tun. V opačném případě získá farmář 1 tunu a ostatní 2 tuny. Tragédie společenského vlastnictví

40. Tragédie společenského vlastnictví

41. Farmáři v Austrálii mají omezené používání vody, protože jsou zde častá sucha. V matici je jeden zemědělec a všichni ostatní. Pokud budou všichni spolupracovat (tj. omezí používání vody), bude užitek obou skupin 5 tun z akru půdy. V případě, že oba (jednotlivý zemědělec i zbývající zemědělci) zradí (neomezí používání vody) pak jen 2 tuny. Pokud zradí pouze samostatný farmář, získá 10 a ostatní 5 tun. V opačném případě získá farmář 1 tunu a ostatní 2 tuny. Černý pasažér

42. Černý pasažér

43. Dva hráči volí strategii ustoupit od devastujícího rozhodnutí (kooperativní strategie), nebo neustoupit (nekooperativní strategie). Ten, kdo ustoupí, prohrává. Pokud ustoupí oba, nedojde k devastaci, žádný z hráčů však nic nezíská. Například rozhodnutí dvou hochů zamilovaných do stejné dívky, řešící (s jejím vědomím) svůj životní problém tím, že se proti sobě rozjedou autem vysokou rychlostí. Kdo uhne, dívku ztrácí. V případě, že neuhne žádný z nich, ztrácí ovšem oba svůj život. Kuře, ale spíše zbabělec

44. Kuře, ale spíše zbabělec

45. Je to obdoba modelu Kuře, avšak s více hráči. Jednotlivec proti skupině. Například krajní situaci, kdy je společně nějaká skupina lidí na záchranném člunu, do kterého zatéká. Pokud jeden z této skupiny skočí přes palubu, zachrání tím ostatní, ale sám zřejmě zahyne. Dilema dobrovolníka

46. Dilema dobrovolníka

47. Manželé mohou strávit večer společně, ale každý z nich má jiné představy o tom jak. Manžel chce jít na fotbalový zápas a žena na nákupy. Oba manželé spolu rádi tráví čas a mají alespoň nějaký (větší) užitek ze společného večera, i když není vybrána jejich preference, než z večera, kdy je každý z manželů sám. Každý z manželů se rozhoduje samostatně. Manželský spor

48. Manželský spor

49. Existují dvě rovnovážná řešení - celkem tedy dva sedlové prvky (1;1) a (2;2) s výplatami (2;1) a (1;2). Pokud bude muž teoreticky volit pro sebe výhodnější první sloupec, ale žena pro sebe výhodnější druhý řádek, tak bude paradoxně výsledkem výplata (0;0) Manželský spor

50. Jde o opačnou verzi Vězňova dilematu, kde kooperace je dominantní strategií, respektive, kde se ani jednomu z hráčů nevyplácí podvádět a volí spolupráci. Hráči mohou sami ulovit zajíce, nebo ve spolupráci jelena (jelena lze ulovit pouze spoluprací dvou hráčů). Jelen přitom přináší oběma hráčům (tj. každému z hráčů) větší užitek než zajíc. Lov na jelena