Zeitreihenanalyse M.Wagner

1. Zeitreihenanalyse M.Wagner

2. Einführung • Zeitreihe: • (zeitabhängige) Folge von Datenpunkten • Datenpunkte können 1- oder auch d- dimensional sein • Typische Zeitreihen weisen regelmäßiges (Trend, Saison) & zufälliges Verhalten auf monatlichen Zeitreihe der Anzahl der tödlichen Verkehrsunfälle in Deutschland Anfang 1991 Statistisches Bundesamt, Wiesbaden

3. Einführung • Zeitreihe: • Zeitlich komplex Komplexe Strukturen werden beschrieben durch Frage: • Beispiel: Verkehr

4. Einführung • Zeitreihe: • Räumlich komplex: Komplexe Strukturen können durch lokale Unordnung beschrieben werden, z.B. durch skalenabhängige Größen Inkrement q(l,x) • Beispiel: Turbulenz, Finanzmarkt

5. Einführung • Fokker-Planck-Gleichung D(1): Driftvektor; D(2): Diffusionsmatrix Beschreibt die zeitliche Entwicklung der Übergangswahrscheinlichkeit Zeitreihenanalyse Billeter/Vlach

6. Einführung • Langevin Gleichung D(1): Driftvektor; D(2): Diffusionsmatrix Beschreibt die Entwicklung einer möglichen Trajektorie Brown‘sche Bewegung

7. Stochastische Prozesse • Aus der Langevin-Gleichung erhält man mit X(t): Zustandsvektor des d-dimensionalen Phasenraums {x} N: (nichtlineare) Funktion • Integration über kleine, aber endliche Zeitinkremente t liefert Problem: t zwar klein, aber immer noch groß gegen Fluktuationen G

8. Stochastische Prozesse • Mit dem Zentralen Grenzwertsatz folgt: mit h(t): gaußverteilte, statistisch unabhängige Zufallsvariable mit Mittelwert 0 • Es bleibt also:

9. Stochastische Prozesse • Markov-Prozesse • Wichtige Klasse von stochastischen Prozessen • Wahrscheinlichkeit d. zukünftigen Zustandes unabhängig von der Vergangenheit des Systems • Wahrscheinlichkeit hängt nur von der Gegenwart ab • Damit ergibt sich für die N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsverteilung f: • Kenntnis der Übergangswahrscheinlichkeiten zusammen mit der Anfangswahrscheinlichkeitsverteilung reicht aus, um die N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen

10. Stochastische Prozesse • Bisher: Übergangswahrscheinlichkeit für infinitesimale Zeitdifferenzen ti - ti-1 = t • Frage: Übergangswahrscheinlichkeiten p(x,t | x‘,t‘) für t – t‘ >> t • Lösung: direkt aus der Fokker-Planck-Gleichung

11. Stochastische Prozesse • Es gilt: • Definition:

12. Stochastische Zeitreihenanalyse • Ziel: das zugrundeliegende deterministische System in Form von DGL zu bestimmen • In der Regel nicht möglich • Analyse von Zeitreihen von Stochastischen Systemen mit Markov-Eigenschaften wie folgt: • Überprüfen der Markov-Eigenschaften • Bestimmen der Übergangswahrscheinlichkeiten • Rekonstruktion der Daten

13. Stochastische Zeitreihenanalyse • Markov-Eigenschaften überprüfen • Im Allgemeinen schwer • Für kleine Inkremente t sind Markov-Eigenschaften oft verletzt • Rauschen korreliert • Messrauschen zerstört Markov-Eigenschaften • Dennoch gibt es verschiedene Methoden • Direkte Bestimmung • Überprüfen der Chapman-Kolmogorov Gleichung (notw. Bed.) • …

14. Stochastische Zeitreihenanalyse • Bestimmen der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung • Driftvektor & Diffusionsmatrix sind 1. & 2. Moment der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung • Diese lassen sich wie folgt direkt aus den experimentellen Daten bestimmen: • Daten im d-dimensionalen Phasenraum darstellen • Phasenraum in kleine, aber endliche d-dimesionale Volumina a um xa unterteilen • Bestimme alle x(tj+1) - x(tj) für jede Partition a

15. Stochastische Zeitreihenanalyse • Bestimmen der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung • Nun lassen sich Driftvektor und Diffusionsmatrix am Ort xa direkt bestimmen • Wie wir wissen, gilt: • Entsprechend für D(2) • Ergebnis hängt entscheidend von der Größe der Partitionen ab • Möglichst klein -> bessere Auflösung • Die Daten sollten einen „Limes t -> 0“ erlauben

16. Anwendungen • Verkehrsfluss • Viel-Teilchen-Problem • Theoretische Modelle basieren auf einem sog. fundamentalen Schema, das besagt q = Q(v) • Sehr viele Daten verfügbar • Gemessen werden Geschwindigkeit v & Frequenz q = pv • Messung an einer festen Stelle auf dem Highway • Annahme: Dynamik wird beschrieben durch stochastische DGL

17. Anwendungen • Bei Berücksichtigung der Daten aller drei Spuren: 2 stabile Fixpunkt, 1 Sattelpunkt • Die Daten sind ein Indiz für für die Existenz des fundamentalen Schemas q = Q(v) • Betrachtet man nun ausschließlich Vans (rechte Seite des Highways): 1 Fixpunkt und: • Ab ca. 80 km/h ist ein metastabiles Plateau erreicht, welches eine quasi interaktionsfreie Dynamik beschreibt. • Verkehrsfluss Deterministic dynamics of the twodimensional traffic states (q, v) given by the drift vector for (a) right lane of freeway with vans and (b) all three lanes.Bold dots indicate stable fixed points and open dots saddle points. Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

18. Anwendungen • Verkehrsfluss Deterministic dynamics of the twodimensional traffic states (q, v) given by the drift vector for (a) right lane of freeway with vans and (b) all three lanes.Bold dots indicate stable fixed points and open dots saddle points. Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

19. Anwendungen • Stromkreis mit Rauschen • Elektrischer Stromkreis mit chaotischem Verhalten • Dynamik wird beschrieben durch einen gedämpften Oszillator mit nichtlinearer Energiezufuhr und Rauschen • 100 000 Datenpunkte wurden analysiert und dann mit den errechneten verglichen. • Die Dynamik wird beschrieben durch

20. Anwendungen • Xi: Spannungsterm • Daten wurden analysiert • Die Dadurch bestimmte deterministische Dynamik entspricht einem Vektorfeld im 3 Dimensionalen Phasenraum • Für die Darstellung wurden 2d- und 1d-Schnitte gewählt • Stromkreis mit Rauschen Trajectory for the Shinriki oscillator in the phase space without noise Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

21. Anwendungen • Stromkreis mit Rauschen Trajectory for the Shinriki oscillator in the phase space without noise Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar Cuts of the function D(1)(x) reconstructed from experimental data of the electric circuit in comparison with the expected functions according to the known differential (eqn. (75),(76)). In part a the cut g1(X1,X2), g2(X1,X2,X3 = 0) is shown as a two-dimensional vector field. Thick arrows represent values determined by data analysis, thin arrows represent the theoretically expected values. In areas of the state space where the trajectory did not show up during the measurement no estimated values for the functions are obtained. Figure b shows the one dimensional cut g1(X1,X2 = 0). Crosses represent values estimated numerically by data analysis. Additionally, the affiliated theoretically curve is printed as well authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

22. Anwendungen • Skalen-Prozesse • Wahrscheinlichkeitsverteilung: • Oft multifraktales Verhalten • Haben die selbe Statistik • Wird durch multifraktale Skalierung beschreiben

23. Anwendungen • Turbulenz • Betrachte Inkremente • Statistische Beschreibung durch: • Für stationäre, homogene und isotrope Turbulenz:

24. Anwendungen • Von oben nach unten: • l = L0, 0.6L0, 0.35L0, 0.2L0 and 0.1L0 • Intermittenz • Für große l gaußverteilt • Bei kleinen l treten heftige Ereignisse öfter auf • Ähnliches Verhalten bei Finanzmarktdaten • Turbulenz Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

25. Anwendungen • Wechselkurs-Inkremente Dollar-DM 1992 & 1993 • q(t,t) =Y (t + t) − Y (t) • Von unten nach oben • t = 5120, 10240, 20480, 40960s • Bestimmung des zugrundeliegenden Prozesses ist ein ähnlich prominetes Rätsel, wie bei Turbulenz • Finanzmarkt Complexity in the View of Stochastic Processes authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

26. Anwendungen • Finanzmarkt • Berechnete Übergangswahrscheinlichkeiten stimmen gut mit den experimentellen Daten überein • Ab einer gewissen Schrittgröße können Turbulenz und Finanzmarkt-Dynamik als Markov-Prozess betrachtet werden • Drift und Diffusion sind Skalenabhängig und nichtstationär • Beschreibung von q(x,l) für festes l kein adäquates Mittel Comparison of the numerical solution of the Fokker-Planck equation for the conditional pdf p(q, l|q0, l0) denoted in this figure as p(v, r|v0, r0) with the experimental data. Cuts through p(v, r|v0, r0) for v0 = +σ∞ and v0 = −σ∞ respectively. Open symbols: experimental data, solid lines: numerical solution of the Fokker- Planck equation

27. Quellen • Importance of Fluctuations: Complexity in the View of Stochastic Processes R. Friedrich, J. Peinke, M. Reza Rahimi Tabar • Zeitreihenanalyse Kreiß, Neuhaus • Zeitreihenanalyse Billeter, Vlach

28. Ende