Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

1. Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych

2. Rozwiązywanie równań różniczkowych Metody klasy Rungego-Kutty

3. Zalety metod klasy Rungego-Kutty • Brak konieczności stosowania dodatkowych algorytmów do obliczenia punktów początkowych • Możliwość zmiany kroku w trakcie obliczeń

4. Zasada metod klasy Rungego-Kutty Bezpośrednie zastosowanie rozwinięcia wymaga użycia trudnych do obliczenia pochodnych wyższych rzędów Metody klasy R-K polegają na podzieleniu odcinka h na N części i wykorzystaniu tylko pochodnych 1-go rzędu z zachowaniem założonej dokładności.

5. Zasada metod klasy Rungego-Kutty Przyrost k aproksymuje się wyrażeniem liniowym o budowie zależnej od rzędu metody R-K Dla metody drugiego rzędu wyrażenie to ma postać: w którym: Parametry: a, b, m, n to stałe tak dobrane by błąd aproksymacji k przez K miał rząd 3 Składniki równania na K należy rozwinąć w szereg Taylora z 1 pochodną wokół punktu F(x0,y0)

6. Zasada metod klasy Rungego-Kutty F(x0,y0) tośrodek rozwinięcia, możliwe jest tylko rozwiniecie k2: Po podstawieniu do wzoru na k2: I ostatecznie do wzoru na K

7. Zasada metod klasy Rungego-Kutty Ponieważ: Aby wyznaczyć parametry a, b, n, m trzeba porównaćz rozwinięciem k

8. Zasada metod klasy Rungego-Kutty Można „dowolnie” przyjąć 1 wartośćPrzyjmijmy m=1otrzymamy: b = ½ a= ½ n = 1

9. Zasada metod klasy Rungego-Kutty Ogólnie:

10. Metoda Rungego-Kutty rzędu 4-tego (Rungego-Simpsona)

11. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.

12. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu. Wektor wartości w kroku i -tym

13. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu. Funkcja wektorowa (prawe strony równań)

14. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu. Wektory współczynników

15. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Podstawmy

16. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Funkcja wektorowa: i-ty wektor wartości

17. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Wektory współczynników:

18. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Wektory współczynników:

19. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.

20. Metoda Rungego-Kutty algorytm • Czytaj punkt startowy x0, y0, xk i ilość podziałów n • h=(xk - x0)/n. • Przyjmij i=0 • Oblicz k1=hF(xi,yi), k2=hF(xi+1/2h,yi+1/2k1), k3=hF(xi+1/2h,yi+1/2k2), k4=hF(xi+h,yi+k3) • Oblicz K=1/6(k1+2(k2+k3)+k4) • Oblicz yi+1=yi+K • xi+1 = xi+h • Zwiększ i o 1 • Jeżeli i<n idź do punktu 4 • Przyjmij i=0 • Drukuj xj, yj • Zwiększ i o 1 • Jeżeli i<=n idź do punktu11 • Koniec