Des outils pour penser l’enseignement et l’apprentissage

1. Des outils pour penser l’enseignement et l’apprentissage • Notion d’O.M. : organisation mathématique ponctuelle • Le modèle praxéologique • Que devront savoir, et surtout savoir faire les élèves une fois l’enseignement achevé ?

2. Notions de praxéologie ponctuelleet d’organisation mathématique ponctuelle

4. Une tâche problématique • Soit t la tâche suivante : résoudre dans R+, l’équation  : X2 +10X=39

5. Une technique  pour la tâche t « résoudre dans R+ : X2 + 10X = 39 » • Une technique • Diviser 10 par 4 2,5 • Elever 2,5 au carré et multiplier par 4  25 • Ajouter 25 à 39  64 • Prendre la racine carré de 64  8 • Enlever à 8, 2 fois 2,5 : vous trouvez 3 !

7. Une technologie permettant de produire, justifier, comprendre la technique • Diviser 10 par 4  2,5. • Elever 2,5 au carré et multiplier par 4  25 • Ajouter 25 à 39  64 • Prendre la racine carré de 64  8 • Enlever à 8 , 2 fois 2,5 : vous trouvez 3 !

8. Exercice 1 : Résoudre dans R+, les équations suivantes : X2 + X = 2 X2 + 2X = 15 X2 + 3X = 6,75 Exercice 2 : Résoudre dans R+ X2 - 10 X = 39 Des exercices

9. Autre exercice • Comment justifier la technique paléobabylonienne ? • J’ai additionné la surface et mon côté de carré : 45 • Tu poseras 1, la wasitum. • Tu fractionneras la moitié de 1 : 30 • Tu multiplieras 30 et 30 : 15 • Tu ajouteras 15 à 45 : 1 • 1 en est la racine carré • Tu soustrairas le 30, que tu as multiplié, de 1 : 30 • 30 est le côté du carré ??

10. Remarques sur les techniques et les tâches • 1° Portée d’une technique  domaine d’application. Ex : X2 + 10X = 39 Recherche d’entiers solutions : un tel entier doit diviser 39 donc c’est 1 ou 3 ou 13 ou 39….. • 2° Reconnaissance institutionnelle de techniques. Comparer 13/22 et 14/23 • 3° La technique permet de réaliser toutes les tâches du type « résoudre dans R+ax2+ bx = c (a, b et c > 0) » ; soit ce qu’on nomme un type de tâches, noté T.

11. La notion d’organisation mathématique ponctuelle • La technologie  peut être justifiée : discours sur la mesure des aires, sur les isométries par exemple ; ce discours est appelé théorie, notée  • Remarque : les discours technologico-théorique [ / ] peuvent ne pas exister ou relever de justifications non mathématiques • Le quadruplet (T, , , ) est une organisation mathématique ; dans ce cas ponctuelle car relative à un seul type de tâches T.

12. La notion d’organisation didactique • Nous venons d’effectuer une première rencontre avec la notion d’organisation mathématique ponctuelle, ou encore avec le type de tâches « définir une organisation mathématique ponctuelle », dans le cas particulier de la tâche « définir l’organisation mathématique autour du type de tâches : résoudre dans R+ ax2+ bx = c (a, b et c > 0)  » • Y a-t-il une technique pour ce type de tâches ?

13. La notion d’organisation didactique (suite) • Une tâche ou un type de tâches sont définis par un verbe d’action à l’infinitif : « Déterminer à quoi est égale la différence 5 - 7 », « Démontrer que deux droites sont parallèles », « Calculer la somme des carrés des n premiers entiers naturels », etc. Ce qui permet de repérer et désigner les tâches et leurs types dans des observations de classe, par exemple. • « Calculer », « Démontrer » ne sont pas des types de tâches ; ce sont des genres de tâches

14. La notion d’organisation didactique (suite) • Moment de la (première) rencontre avec T :« Définir une organisation mathématique ponctuelle » • Moment de l’exploration de T (explorer plusieurs spécimens de tâches du même type)et de l’émergence de la technique (repérer, dans une institution donnée, les types de tâches, les techniques associées, les discours tenus sur les techniques, etc.)

15. La notion d’organisation didactique : exemple dans l’enseignement des mathématiques • Type de tâches T : « déterminer combien de cercles par n points » • Moments de l’étude : • Première rencontre avec T • Exploration de Tet émergence d’une technique valable pour n = 2 et n = 3 • Construction d’un bloc technologico-théorique [, ]

16. La notion d’organisation didactique : exemple dans l’enseignement des mathématiques (suite) • Institutionnalisation de l’OM [T,, , ] • Travail de l’OM et notamment des techniques • Evaluation de l’OM et de son rapport à l’OM.

17. La notion d’organisation didactique : exemple dans l’enseignement des mathématiques (suite) • Groupe I (Activités d’étude et de recherche [AER]) 1. Moment de la (première) rencontre avec T; 2. Moment de l’exploration de Tet de l’émergence de la technique; 3. Moment de la construction du bloc technologico-théorique [, ]

18. La notion d’organisation didactique : exemple dans l’enseignement des mathématiques (suite) • Groupe II (Synthèses) 4. Moment de l’institutionnalisation de [T,, , ] • Groupe III (Exercices & problèmes) 5. Moment du travail de l’organisation mathématique (et en particulier de la technique). • Groupe IV (Contrôles) 6. Moment de l’évaluation.

19. Retour sur les notions de technique et de technologieNon seulement l’arbre peut être utilisé à des fins heuristiques mais peut être considéré comme élément de preuve  • le programme indique qu’un arbre de probabilité peut constituer une preuve; cela signifie sur cet exemple que l’encadré ci-dessous constitue une réponse parfaitement justifiée à la question posée • Q: quelle est la probabilité pour que une personne ayant un test positif soit atteinte de la maladie A ?

20. Une technique : composition d’une urne

21. Rôle des technologies • Technologies Discours «rationnel » dont les fonctions sont : • 1° Justifier l’adéquation de la technique à la tâche • 2° Contrôler une technique • 3°Rendre intelligible une technique, l’expliquer, l’éclairer • 4° Produire des techniques. • Remarque : il est parfois difficile d’opérer la distinction entre «techniques » et «technologies » car la technique embarque du discours. • Ex : Sachant que 8 sucettes valent 10F, combien valent 24 sucettes ? « Si 8 sucettes valent 10F, 24 sucettes soit 3 fois 8 sucettes valent 3 fois 10F soit 30F. »

22. La notion d’organisation mathématique locale : exemple 1. Enoncé de Thalès relatif au triangle. • Connaître et utiliser dans une situation donnée le théorème de Thalès relatif au triangle et sa réciproque. • Savoir construire une quatrième proportionnelle. • Application à des problèmes de construction (moyenne géométrique…).

23. La notion d’organisation mathématique locale : exemple • T1 : calculer des longueurs dans des triangles en « situation de Thalès » • T2 : construire un segment de longueur fois la longueur d’un segment donné • T3 : Reconnaître si deux droites sont ou non parallèles

24. La notion d’organisation mathématique locale : exemple • L’organisation mathématique qui en découle, résultant de l’agrégation de différentes organisations mathématiques ponctuelles autour de l’élément technologique  = « théorème de Thalès » • On la note [Ti / i/  / ] avec i {1, 2, 3}, c’est une organisation mathématique locale autour du thèmedu théorème de Thalès.

25. La notion d’organisation mathématique régionale : exemple

26. La notion d’organisation mathématique régionale • OM régionale [Tij / ij / j/ ] Secteur OM régionale (Tij, ij, j, ) Thème OM locale (Ti, i, , ) Sujet OM ponctuelle(T, , , ) 

27. La notion d’organisation mathématique globale : exemple dans Les fondements de la géométrie de D. Hilbert Chapitre I. Les cinq groupes d’axiomes 1. Les notions fondamentales de la géométrie et les cinq groupes d’axiomes 2. Premier groupe d’axiomes : appartenance 3. Deuxième groupe d’axiomes : ordre 4. Conséquences des axiomes d’appartenance et d’ordre 5. Troisième groupe d’axiomes : congruence 6. Conséquences des axiomes de congruence 7. Quatrième groupe d’axiomes : parallèles 8. Cinquième groupe d’axiomes : continuité

28. Organisation mathématique globale : [Tijk/ijk/jk/k]

29. Les différents types d’organisations mathématiques Domaine OM globale (Tijk, ijk, jk, k) Secteur OM régionale (Tij, ij, j, ) Thème OM locale (Ti, i, , ) Sujet OM ponctuelle(T, , , ) 

30. Un exemple dans le programme de 2de • Discipline k(Tijk, ijk, jk, k)  « Mathématiques » • Domaine OM globale (Tijk, ijk, jk, k) « statistique en 2de » • Secteur OM régionale (Tij, ij, j, ) « statistique inférentielle » • Thème OM locale (Ti, i, , ) « simulation, fluctuation d’échantillonnage» • Sujet OMponctuelle(T, , , ) « déterminer un intervalle de confiance »

31. Rechercher des questions à fort pouvoir générateur d’étude et de recherche qui permettent de motiver et produire des parties du (des) programme(s) à enseigner Un schéma : Rechercher des QFPGE en remontant aux niveaux des secteurs et domaines Et non pas en cherchant des sujets