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GEOMETRÍA ANALITICA

GEOMETRÍA ANALITICA. Presenta FERMÍN S. GRANADOS AGUSTÍN. La Parábola. La parábola es el lugar geométrico de puntos cuya distancia a un punto fijo (llamada foco ), es igual a la distancia a una recta fija D (llamada directriz ). y. P( x,y ). x.

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GEOMETRÍA ANALITICA

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Presentation Transcript

  1. GEOMETRÍA ANALITICA Presenta FERMÍN S. GRANADOS AGUSTÍN

  2. La Parábola • La parábola es el lugar geométrico de puntos cuya distancia a un punto fijo (llamada foco), es igual a la distancia a una recta fija D (llamada directriz).

  3. y P(x,y) x Por la definición se debe de encontrar todos los puntos del plano cartesiano que cumplan con las condiciones impuestas.

  4. y P(x,y) (f,0) x Situemos al punto fijo, denominado foco, sobre el eje de las abscisas, con coordenada (f,0).

  5. y P(x,y) Pf (f,0) x Se puede calcular ahora la distancia entre dichos puntos, Pf.

  6. y D P(x,y) Pf (f,0) x Se encuentra ahora la línea recta llamada directriz, D, la localización de dicha recta se puede determinar tomando en consideración el siguiente punto en particular.

  7. Considerando que el lugar geométrico tiene como uno de sus puntos el origen del plano cartesiano. Se debe cumplir que la distancia del origen al punto fijo (foco), y D Pf (-f,0) P(0,0) (f,0) x y la distancia del origen a la línea recta (directriz) deben ser las mismas, por lo tanto la ecuación de la recta es:

  8. y D Lo anterior se debe cumplir para cualesquier otro punto m(-f,y) P(x,y) m Pf (f,0) x sobre la directriz, de esta forma también se puede calcular esta distancia.

  9. y D mP P(x,y) m Pf (f,0) x

  10. y D También se puede observar que las condiciones anteriores tiene simetría, mP P(x,y) m Pf (f,0) x esto significa que las distancias anteriores se pudieron definir para un punto con coordenada negativas.

  11. Lo anterior es valido para otros puntos del plano cartesiano siempre y cuando se cumpla la igualdad de distancias. y D mP P(x,y) m Pf (f,0) x

  12. La igualdad de distancias también es simétrica. Elevando al cuadrado la igualdad anterior. y D mP P(x,y) m Pf (f,0) x Ahora desarrollando los binomios;

  13. y D mP m P(x,y) Pf (f,0) x Reagrupando términos;

  14. simplificando; y D mP m P(x,y) Finalmente la ecuación de la parábola es: Pf (f,0) x

  15. y x (-f,0) D Si el foco está a la izquierda de la directriz, la ecuación de la parábola es:

  16. y (0,f) x D Si el foco está localizado sobre el eje de las ordenadas positivas, la ecuación de la parábola es:

  17. y Si el foco está localizado sobre el eje de las ordenadas negativas, la ecuación de la parábola es: D x (0,-f)

  18. La Parábola fuera del origen • Consideremos ahora una parábola de vértice en el punto (h,k), de eje paralelo al de coordenadas ‘x’ y cuyo foco esté a una distancia f del vértice y a la derecha de él. La directriz para lela al eje ‘y’ y a una distancia 2f a la izquierda del foco. • La ecuación de la directriz es (ver figura):

  19. D • Entonces las distancias involucradas son: y P(x,y) M (h-f ,y) (h ,k) F (h+f ,k) x

  20. simplificando; • Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad;

  21. Desarrollando los cuadrados que involucran a la variable x; • Simplificando términos;

  22. Reagrupando los términos restantes; • Finalmente la ecuación que nos representa a la parábola de la figura es:

  23. De la misma forma las ecuaciones de las otras orientaciones de la parábola son;

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