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Statistische Methoden II SS 2003

Statistische Methoden II SS 2003. Vorlesung : Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit: Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45) Ort: Hörsaal Loefflerstraße. Übungen Gruppe 1: 414 Andreas Matz Di 9.15 - 10.45 Gruppe 2: 414 Melanie Hinz Di 11.15 - 12.45

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Statistische Methoden II SS 2003

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Presentation Transcript

  1. Statistische Methoden II SS 2003 Vorlesung: Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit: Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45) Ort: Hörsaal Loefflerstraße Übungen Gruppe 1:414 Andreas Matz Di 9.15 - 10.45 Gruppe 2:414 Melanie Hinz Di 11.15 - 12.45 Gruppe 3: 414Andreas MatzMi 7.15 - 8.45 Gruppe 4:301 Melanie Hinz Do 7.30 - 9.00 Gruppe 5:301 Birte Holtfreter Do 9.15 - 10.45 Gruppe 6: 301Birte HoltfreterDo 11.00 -12.30 Ort:Diagnostikzentrum in den Räumen 301 und 414

  2. Maximum-Likelihood-Schätzer (diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

  3. Maximum-Likelihood-Schätzer (diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

  4. Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

  5. Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poisson- verteilter Stichprobenvariablen (Intensität: ) M-L-Schätzer für  oder

  6. Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

  7. Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwarungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

  8. Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt

  9. Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unbekannt

  10. Übersicht

  11. Beispiel Gewicht vonÄpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

  12. Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index  , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

  13. Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

  14. Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Erwartungswert bekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

  15. Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Erwartungswert unbekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

  16. Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: ist erwartungstreu

  17. Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt ist erwartungstreu

  18. Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unbekannt ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

  19. Übersicht erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu erwartungstreu

  20. Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit. eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

  21. Die Ungleichung von Tschebyschev

  22. Niveau Das Niveau  wird „klein“ gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen  = 0.05 oder  = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammen- hang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter

  23. Beispiel Gewicht vonÄpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von 

  24. Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängigenormalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

  25. Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

  26. In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von  = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich: und

  27. Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

  28. Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde nicht in Erwägung gezogen Kauf würde in Erwägung gezogen 572 1428

  29. Der Zentrale Grenzwertsatz

  30. Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau 

  31. Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachungfür großes n (n  100)

  32. Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

  33. Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

  34. Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

  35. Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

  36. Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

  37. Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

  38. Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

  39. Beispiel Gewicht vonÄpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

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