WARUNKI REALIZACJI STANU D LUB STANU P W MODELU t-J NADPRZEWODNIKA WT

1. WARUNKI REALIZACJI STANU D LUB STANU PW MODELU t-J NADPRZEWODNIKA WT Ryszard Gonczarek Mateusz Krzyżosiak Politechnika Wrocławska Instytut Fizyki

2. Mechanizm konkurencji MODEL 2D NWT: • stan singletowy stan tripletowy • d-sparowanie (S=0, M=0), p-sparowanie (S=1, M=0) • relacja dyspersji (k) – model t-J – model ciasnego wiązania z parametrami przeskoku t0, t1 i m = 2t1/ t0 od 0do 1.62 • transformacje krzywoliniowe przestrzeni odwrotnej (transformacja konforemna) • biegunowy układ współrzędnych - przestrzeń 2D [, ] • oddziaływanie parujące – izotropowe (on-site) i anizotropowe z najbliższymi sąsiadami • funkcje bazowe reprezentacji nieprzywiedlnych grupy C4v – harmoniki Fouriera • oddziaływanie parujące w bazie harmonik Fouriera – parametry zależą od  = 2t1/ t0 • konkurencja wpływu na Tc – parametry oddziaływania parującego, relacja dyspersji

3. Mechanizm konkurencji • Grupa symetrii kwadratu C4v • oś 4-krotna (r – obrót o /2), • 4 płaszczyzny symetrii – a, b, c, d, • grupa C4v = {e, r, r2, r3, a, b, c, d} – 8 elementów i 5 klas równoważności – {e}, {r2} oraz {r, r3}, {a, b}, {c, d} stąd 5 (=12+12+12+12+22) nieredukowalnych reprezentacji tj. 4 – jednowymiarowe, 1 dwuwymiarowa oraz 6 funkcji bazowych tworzy 4 jednowymiarowe podprzestrzenie {f1}, {f2}, {f3}, {f4} i 1 dwuwymiarową {f5, f6} – inwarianty grupy C4v.

4. Mechanizm konkurencji • Własności funkcji bazowych fi • A. g f1 = f1 dla g  {e, r, r2, r3, a, b, c, d}, • B. g f2 = f2 gdy g  {e,r2,a,b}, g f2 = -f2 gdy g  {r,r3,c,d}, • C. g f3 = f3 gdy g  {e,r2,c,d}, g f3 = -f3 gdy g  {r,r3,a,b}, • D. g f4 = f4 gdy g  {e,r,r2, r3}, g f4= -f4 gdy g  {a, b, c, d}, Es g f5 = f5 gdy g  {e, a}, g f5= -f5 gdy g  {r2,b}, g f5 = -(-1)sf6 gdy g  {r, d}, g f5= (-1)sf5 gdy g  {r3,c}, oraz g f6 = f6 gdy g  {e, b}, g f6= -f6 gdy g  {r2,a}, g f6 = -(-1)sf5 gdy g  {r3,d}, g f6= (-1)sf5 gdy g  {r, c}, gdzie s= 1 lub 2.

5. Mechanizm konkurencji • Własności składowych wektora k = [k1, k2] g k1 = k1 gdy g  {e, a}, g k1 = - k1 gdy g  {r2,b}, g k1 = k2 gdy g  {r, d}, g k1 = -k2 gdy g  {r3,c}, oraz g k2 = k2 gdy g  {e, b}, g k2 = - k2 gdy g  {r2,a}, g k2 = k1 gdy g  {r3,d}, g k2 = - k1 gdy g  {r, c}, ponieważ g fi (k) = fi (g k) stąd

6. Mechanizm konkurencji • Funkcje bazowe w przestrzeni wektora k = [k1, k2] dla nieredukow. reprezent. A. B. C. D. E. ale dla g  C4v g (cos k1 + cos k2) = cos k1 + cos k2 lub g cos k1 cos k2 = cos k1 cos k2, g (1cos k1cos k2)-1= (1cos k1cos k2)-1 więc

7. Mechanizm konkurencji • Funkcje bazowe w k = [k1, k2] c.d. R. Gonczarek, M. Gładysiewicz M. Mulak, phys. stat. sol. (b) 233 (2002) 351 A. B. C. D. E. A. (1- cos kXcos kY)-1 B. (1- cos kXcos kY)-1 C. (1- cos kXcos kY)-1 D. (1- cos kXcos kY)-1 E. (1- cos kXcos kY)-1

8. Mechanizm konkurencji • Funkcje bazowe w k = [k1, k2] c.d. • WNIOSKI: • wybór zbioru funkcji bazowych niejednoznaczny, • przestrzeń zupełna funkcji dla funkcji bazowych dla repr. grupy C4v posiada nieskończoną bazę, • w zupełnej przestrzeni funkcji istnieje nieskończenie wiele zbiorów funkcji bazowych dla reprezentacji grupy C4v, • należy rozważyć wszystkie takie zbiory

9. Mechanizm konkurencji • Biegunowy układ współrzędnych [, ] • własności współrzędnej kątowej  • zupełny układ funkcji bazy – harmoniki Fouriera 1, cos n i sin n gdzie n = 1, 2, 3, … - wówczas

10. Mechanizm konkurencji

11. Mechanizm konkurencji

12. Mechanizm konkurencji Zbiór zupełny funkcji bazowych grupy C4v w bazie harmonik Fouriera • f1 = cos 4i i = 0, 1, 2, 3, … • f2 = cos(2 + 4i) i = 0, 1, 2, 3, … • f3 = sin(2 + 4i) i = 0, 1, 2, 3, … • f4 = sin 4i i = 1, 2, 3, … E1. f5 = cos(1 + 4i) , f6 = sin(1 + 4i) i = 0, 1, 2, 3, … E2. f5 = cos(3 + 4i) , f6 = sin(3 + 4i) i = 0, 1, 2, 3, …

13. Mechanizm konkurencji Funkcje bazowe grupy C4v w dla pierwszych harmonik Fouriera • f1 = 1 sym. izotropowa „s” • f2 = cos 2 = cos2 - sin2 sym. x2 – y2 „d” • f3 = sin 2 = 2sin  cos  sym. xy „d” • f4 = sin 4 sym. „g” E1. f5 = cos  , f6 = sin  sym. „p” E2. f5 = cos 3 , f6 = sin 3 sym. „f” ale f1’ = cos 4 sym. „g”

14. Mechanizm konkurencji Oddziaływanie w kanale parującym D.Y. Xing, M. Liu, Y-G, Wang, J. Dong, Phys. Rev.B 60 (1999) 9775 na węźle i z najbliższymi sąsiadami. Transformata Fouriera: V0, V1 amplitudy w kanale isotropowym i anisotropowym. Potencjał spinowo-singletowy

15. Mechanizm konkurencji Oddziaływanie w kanale parującym i relacja dyspersji Potencjał spinowo-tripletowy Relacja dyspersji – model ciasnego wiązania, 1 i 2 hopping WNIOSKI: - otrzymane formuły dają się wyrazić poprzez funkcje bazowe grupy C4v (przestrzeń wektora falowego) • bazy tych funkcji dla potencjału parującego i relacji dyspersji są różne!

16. Mechanizm konkurencji Rozwiązywanie zagadnienia dla nadprzewodnika WT Podstawa – formalizm funkcji Greena Równanie na szczelinę nadprzewodzącą: równanie dla potencjału chemicznego gdzie

17. Mechanizm konkurencji Metoda – transformacje przestrzeni pędów do przestrzeni [, ] gdzie jądroK(,) – jakobian przejścia oraz gęstość stanów N() = K(,) SKŁADANIE TRANSFORMACJI: I. kx = arccos(1 – 2x) ky = arccos(1 – 2y)

18. Mechanizm konkurencji SKŁADANIE TRANSFORMACJI: • Transformacja konforemna (uogólniona) relacja dyspersji: równanie transformacji: rozwiązanie: jakobian przejścia: gdzie

19. Mechanizm konkurencji SKŁADANIE TRANSFORMACJI: III. Przejście do współrzędnych biegunowych [, ] gdzie oraz jakobian przejścia:

20. Mechanizm konkurencji SKŁADANIE TRANSFORMACJI - WYNIK: Jądro gęstości stanów: gdzie:

21. Mechanizm konkurencji Postać jądra gęstości stanów K(z,)dla wybranych wartości parametru  = 2t1/t0 w układzie [, z] (z=(-)/2t0) Wartości:  = 0.1, 0.4,  = 0.7, 1.0,  = 1.3, 1.6

22. Mechanizm konkurencji Potencjał parujący w bazie harmonik Fouriera w układzie [,] Potencjał separowalny, czyste sparowanie: „s” – „d” – „g” – „p” –

23. Mechanizm konkurencji Potencjał parujący c.d., efektywny potencjał parujący gdzie:  1 Efektywny potencjał parujący < V1 lub << V1 oraz

24. Mechanizm konkurencji Współczynniki potencjału parującegol(,) • = 2t1/t0 z=(-)/2t0 stany s ~ 0.1 p ~ 0.8 d ~ 0.6 g ~ 0.1

25. Mechanizm konkurencji Stan układu WNIOSKI: V0 >> V1 stan izotropowy s • V1 >> V0 - stan anizotropowy d lub p (rysunki) • Współczynniki oddziaływania parującego: V1< 2,9 eV • Ul() = V1 [l()]2 • oraz unormowane współczynniki vl(, ) = l(, ) / l() < vl(, ) > =1 wolnozmienne funkcje vl(, )  1

26. Mechanizm konkurencji Parametr porządku – stan układu Parametr porządku: gdzie s p d g

27. Mechanizm konkurencji Współczynniki Ul(), średnia gęstość stanów 0() i temperatura przejścia Tc0(l,) ~exp[-2/0()Ul()] • dominujący stan singletowy (S=0) d-wave (stany s i g) • stan dominujący – tripletowy (S=1, M=0) p-wave • przybliżenie typu BCS vl(, )  1 ½V10(0) = 0.43 ½U2(0)0(0) = 0.21

28. Mechanizm konkurencji Oszacowania: R. Gonczarek, M. Krzyzosiak, M. Mulak J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004 ) 4899 R. Gonczarek, M. Krzyzosiak, Physica C, Superconductivity & its appl. (2005 ) Temperatura krytyczna - (  = T/ t0 , c = 0.1 ) Liczba cząstek – potencjał chemiczny z = z0 - ()/2t0

29. Mechanizm konkurencji Oszacowania: Skok ciepła właściwego ciepło właściwe fazy normalnej

30. Mechanizm konkurencji Oszacowania c.d.: Efekt izotopowy: Wykładnik gdzie

31. Mechanizm konkurencji Własności funkcji I2n(z,l,): ( z = /2t0 ) <K(z,,)> = (z,) oraz < (z,)>z = 0() _ D(, l) = √2 cos(l ) oraz D(, 0) = 1 zatem (z,) = I0(z,)0()

32. Mechanizm konkurencji Nierównoważność podejść w scenariuszu Van Hove’a i rozszerzonym scenariuszu Van Hove’a Przybliżenie - scenariusz Van Hove’a stąd formuły dla Tc(l,) i (l,) jednakowe i zachowują zależności jak w przybliżeniu typu BCS

33. Mechanizm konkurencji Temperatury krytyczne Tc(l,) i stany realizowane w modelu t-J dla różnych  ½V10(0)= 0.43 ½V10(0.255)= 0.28 ½V10(1.6)= 0.14 ½U2(0)0(0)= 0.21 ½V10(0.255)= 0.12 ½V10(1.6)= 0.046 Stan d (singletowy) , gdy 0 <  < 0.255 dla > 0.255 stan p (trypletowy) Tu maksymalne Tc dla  = 0 Tc(2,0)  50 K Tc(1,0)  22 K Tc(2,0)  13 K przybliżenie VHS Tc(2,0.255) = Tc(1,0.255)  2.5 K

34. Mechanizm konkurencji Maksymalne temperatury krytyczne Tc(l,0) realizowane w modelu t-J dla różnych V1 < 2.87 eV 0.26 < ½V10(0) 0.81 0.13 < ½U2(0)0(0) < 0.41 Maksymalne Tc dla ½U2(0)0(0) = 0.41 Tc(2,0)  151 K Tc(1,0)  90 K Tc(2,0)  66 K przybliżenie VHS Tc(2,0.3) = Tc(1,0.3) < 1 K

35. Mechanizm konkurencji Efekt izotopowy (l, ) dla różnych  ½V10(0)= 0.43 ½V10(0.255)= 0.28 Stan d , gdy 0 <  < 0.255 dla > 0.255 stan p (trypletowy) dla BCS  = 0.5 Punkty charakterystyczne (2,0) = 0.23 (2,0.091) = 0.345 (2,0.255) = 0.338 (1,0) = 0.348 (1,0.255)  0.5

36. Mechanizm konkurencji Skok ciepła właściwego C(Tc(l,))/1(l,)Tc(l,) dla różnych  ½V10(0)= 0.43 ½V10(0.255)= 0.28 Stan d , gdy 0 <  < 0.255 dla > 0.255 stan p (trypletowy) BCS – 9.38 d – stan p – stan Rzędu 5.3 ± 0.1

37. Mechanizm konkurencji Postać współczynnika v() = 0(), i(), i(), i(), (zależy od )

38. Mechanizm konkurencji Podsumowanie: • Baza zupełna funkcji – harmoniki Fouriera • Przestrzeń rozważań – układ biegunowy [, ] z jądrem K(,) gęstości stanów (osobliwości typu VH) • Oddziaływanie parujące (separowalne) opisane w bazie harmonik Fouriera – podwójny szereg Fouriera, różne współczynniki rozwinięcia Ul() • Realizowany stan o najwyższej temperaturze przejścia – konkurencja pomiędzy współczynnikami rozwinięcia Ul() a osobliwościami jądra K(,) • Stan anizotropowy, gdy dominuje oddziaływanie z najbliższymi sąsiadami; dla < 0.255 stan d (singletowy), dla >0.255 stan p (trypletowy) • Scenariusz Van Hove’a tylko dla przypadków izotropowych • Harmoniki rozwinięcia dla n > 4 pomijalne.