Braquistócrona vs. Geodésica

1. Braquistócrona vs. Geodésica Um problema de Cálculo de Variações Hugo Araújo Luso 2006

2. 1. Cálculo de Variações Objectivo: • Procurar mínimos ou máximos de funcionais. • Funcional: • Exemplo: Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e .

3. Seja de classe Cálculo variacional minimiza funcionais da forma onde e Diz-se que: minimiza a funcional se

4. 1.1. Equação de Euler-Lagrange Pretende-se minimizar a funcional: Assume-se que é de classe Condição necessária para mínimo: Eq. de Euler-Lagrange Uma curva ao longo da qual é verificada a eq. de Euler-Lagrange chama-se de extremal.

5. 1.1.1. Casos Particulares da eq. de E-L. 1º Caso - Se F não depende explicitamente de y, isto é, ou equivalentemente, , a equação de E-L escreve-se: 2º Caso - Se F não depende explicitamente de x, isto é, ou equivalentemente, , a equação de E-L implica: Eq. da energia

6. 1.1.2. Demonstração do 2º caso particular Seja Logo, qualquer qualquer extremal verifica a eq. da energia. Nota 1: O recíproco é verdadeiro se é de classe e

7. 1.2. Cálculo de Variações - Exemplo • Exemplo: Comprimento de arco da curva entre e é dado pela seguinte funcional: Como , e a eq. de E-L é: As extremais para este problema chamam-se geodésicas.

8. 2. Braquistócrona no plano • O problema da Braquistócrona foi proposto em 1696 por Johann Bernoulli. • Este problema consiste em encontrar a curva que minimiza o tempo de queda, entre dois pontos num mesmo plano vertical, de um corpo largado do ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade. • A publicação da solução deste problema em 1697, assinala o inicio do cálculo de variações.

9. Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade. Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva Assumimos que ao longo desta curva se tem Pelo Teorema da Conservação da Energia Assumindo que y é função de x: Tempo de percurso entre e ao longo de

10. Seja Pretende-se minimizar a seguinte funcional: Como , utiliza-se a eq. da energia. Eq. da energia para o problema da Braquistócrona. Resolução da equação diferencial Utilize-se a seguinte mudança de variável: Pelo teorema da função implícita:

11. A curva paramétrica satisfaz a eq. da energia . Esta curva tem o nome de ciclóide. • Nota 2:É possível mostrar que: • A ciclóide define com função de (expressão difícil de obter); • Essa função é de classe e • Pela nota 1 satisfaz a eq. de E-L, pelo que é uma extremal; • A ciclóide é a única extremal. • Usando técnicas de controlo óptimo é ainda possível mostrar que a ciclóide minimiza o tempo de percurso.

12. e 2.1. Braquistócrona vs. Geodésica Vai-se comparar o tempo de queda do corpo pela ciclóide com constante entre os pontos e o tempo de queda do corpo pela geodésica entre os mesmos pontos.

13. Tempo de queda do corpo numa curva paramétrica. Como já anteriormente tínhamos visto: Tempo de percurso na curva paramétrica. Consideremos a ciclóide com constante entre os pontos e

14. Substituindo, Tempo de percurso pela ciclóide. Tempo de queda do corpo pela recta entre os pontos e Tempo de percurso pela geodésica. Verifica-se que o caminho mais rápido é pela ciclóide, com o tempo de aproximadamente 1,064.

15. 2.2. Tautócrona

16. Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e Considere-se a ciclóide: Analogamente ao que foi feito anteriormente, o tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e , é obtido por: Tempo de percurso entre e , largado em

17. Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e com , onde Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade. Analogamente ao efectuado anteriormente, pelo teorema da conservação da energia, Formula para o tempo de percurso entre e , largado em Ao longo da ciclóide tem-se:

18. Utilize-se as seguintes igualdades trigonométricas: Para concluir que: Tempo de percurso entre e , largado em

19. 3. Braquistócrona no cilindro vertical Comece-se por parametrizar o cilindro vertical no plano Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e A curva no cilindro terá por coordenadas paramétricas . Assuma-se que é função de Proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no plano. Tempo de percurso entre e ao longo da curva

20. De forma análoga ao efectuado no plano obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro vertical: Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução:

21. 4. Braquistócrona no cilindro horizontal Analogamente ao problema para o cilindro vertical comece-se por parametrizar o cilindro horizontal. Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e Assuma-se que e proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no cilindro vertical. Tempo de percurso entre e ao longo da curva

22. Analogamente obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro horizontal: Utilize-se agora a seguinte mudança de variável: , i. e. Nota 3: Quando , logo o ponto de partida verifica-se para Pelo teorema da função inversa: Obtem-se que:

23. Realize-se agora a seguinte mudança de variável i. e. Obtem-se que: Se Se

24. Como devemos ter , determina-se a constante , e obtem-se a solução paramétrica. Se Se

25. Finalmente obteve-se a seguinte curva como solução: Se Se

26. 4.1. Braquistócrona crescente no cilindro horizontal Se é ou não possível estender a braquistócrona para além de ? Defina-se o seguinte ramo direito para a Braquistócrona:

27. Nota 4: Mostrámos que a curva paramétrica estendida tem as seguintes propriedades: • Define com função de • satisfaz a eq. da energia • é de classe • Logo pela nota 1 a eq. de Euler-Lagrange é satisfeita; Logo conclui-se que a curva ainda é uma extremal do problema da braquistócrona no cilindro horizontal.

28. Curva paramétrica para :

29. Bibliografia • Clegg, J. C., “Calculus of variations”, Oliver & Boyal, 1968. • Davis, F. Soares, “O cálculo variacional clássico e algumas das suas aplicações à física matemática”, EDP - Eletricidade de Portugal, 1986. • Makaremko, G. I. e Kiseliov, A. I., “Calculo Variacional: (Ejemplos y problemas)”, MIR, 1976. • Hector J. Sussmann and Jan C. Willems, “300 Years of Optimal Control: from the Brachystochrone to the Maximum Principle”.