CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG • Học xong chương này yêu cầu HS phải đạt được các kiến thức và kĩ năng sau : • Nắm vững khái niệm nguyên hàm ; • Nhớ bảng các nguyên hàm cơ bản ; • Nhớ các tính chất cơ bản của nguyên hàm ; • Nhớ định nghĩa tích phân ; • Phương pháp tính tích phân nhờ đổi biến số và tích phân từng phần ; • Ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của tích phân trong hình học. • - I Mục tiêu của chương 1. Về kiến thức 2. Về kĩ năng Biết vận dụng các tính chất cơ bản của nguyên hàm, phương pháp đổi biến số và phương pháp tìm nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của các hàm số không quá phức tạp.

2. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2. Về kĩ năng • Biết vận dụng các tính chất cơ bản của tích phân, phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân các hàm số không quá phức tạp . • Biết ứng dụng tích phân trong các bài toán tính diện tích các hình và tính thể tích các vật thể có hình dạng không quá phức tạp. 3. Về thái độ Giúp cho HS thấy được khái niệm tích phân ra đời xuất phát từ nhu cầu giải các bài toán thực tiễn, cụ thể là bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán tìm quãng đường đi được của một vật. Sau khi ra đời và phát triển, phép tính tích phân đã có nhiều ứng dụng to lớn trong khoa học kĩ thuật. Đây là một minh chứng rất rõ cho luận điểm triết học : "Toán học xuất phát từ thực tiễn rồi lại quay trở về ứng dụng vào thực tiễn". Từ đó giúp HS thấy thêm yêu thích học môn Toán.

3. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Nội dung của chương gồm 6 bài được dự kiến thực hiện trong 20 tiết, phân phối cụ thể như sau : §1. Nguyên hàm 2 tiết §2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm 2 tiết Luyện tập 1 tiết §3. Tích phân 3 tiết §4. Một số phương pháp tính tích phân 2 tiết Luyện tập 2 tiết §5. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 2 tiết §6. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể 2 tiết Luyện tập 2 tiết Ôn tập và kiểm tra chương 2 tiết Ngoài ra trong chương có : Bài đọc thêm : "Tính gần đúng tích phân và khái niệm tổng tích phân" Em có biết : Bài 1 :Nguồn gốc kí hiệu nguyên hàm và tích phân. II Cấu tạo chương

4. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 2 : 1. Ai là người phát minh ra phép tính tích phân. 2. Vài nét về cuộc đời và sự nghiệp của Niuton và Lepnit. Chú ý : * Tiết Luyện tập nhằm mục đích : Ôn tập một số bài đã học trước đó và rèn luyện kĩ năng vận dụng, giải bài tập của HS. * Sự khác nhau giữa SGK theo chương trìnhnâng cao và SGK theo chương trình chuẩn chủ yếu ở phần kĩ năng. Trong khi SGK theo chương trình nâng cao yêu cầu HS có kĩ năng tìm nguyên hàm, tính tích phân của các hàm số không quá phức tạp, tính diện tích các hình và thể tích các vật thể có hình dạng không quá phức tạp thì SGK theo chương trình chuẩn chỉ yêu cầu HS có kĩ năng tìm nguyên hàm, tính tích phân của các hàm số đơn giản, tính diện tích các hình và thể tích các vật thể có hình dạng khá đơn giản.

5. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG a.Trong SGK chỉ có những bài toán cơ bản vềtìm nguyên hàm, các bài tập có tính chất mẹo mực đều bị loại bỏ. GV không nên yêu cầu HS giải các bài toán tìm nguyên hàm phức tạp, phải sử dụng các mẹo mực, tiểu xảo. b.Trước đây, trong SGK2000 và trong sách thí điểm, kí hiệu dùng để chỉ họtất cả các nguyên hàm của f(x). Trong SGK 12 ban Tự nhiên, kí hiệu còn dùng để chỉ một nguyên hàm bất kì của f, tức là là một hàm số thông thường chứ không phải là một tập hợp nữa. Nói cách khác, coi hai hàm số sai khác nhau một hằng số là một hàm số. Khi đó nguyên hàm của f là duy nhất và được kí hiệu bởi III NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 1 Nội dung

6. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Do vậy nếu F là một nguyên hàm của f thì = F(x) + C với C là hằng số. Điều này cũng tương tự như trong lượng giác : Nếu  là số đo của một góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov thì sđ(Ou,Ov) =  + k2 , trong đó k là số nguyên. Cách hiểu kí hiệu như vậy có những ưu điểm sau : - Viết = F(x) + C là hoàn toàn chính xác. - Chứng minh được dễ dàng công thức trong Định lí 2 §1 , công thức lấynguyên hàm từng phần. - Ta dùng được kí hiệu rất trực quan và tiện lợi là : Sử dụng kí hiệu này từ công thức đổi biến số và công thức lấy nguyên hàm từng phần cho ta ngay lập tức các công thức tương ứng trong tích phân 1 Nội dung

7. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG d.Việc không đưa vào tổng tích phân làm cho HS không thấy được bản chất đích thực của phép tính tích phân, từ đó phải thừa nhận hàng loạt những ứng dụng của tích phân như tính diện tích, thể tích, quãng đường đi được của một vật. Đồng thời cũng khó cho GV giải thích cho HS lại dùng các kí hiệu , để chỉ nguyên hàm và tích phân trong khi nếu khái niệm tích phân được định nghĩa bằng tổng tích phân đúng như lịch sử ra đời của nó thì các kí hiệu nguyên hàm và tích phân xuất hiện rất tự nhiên. 1 Nội dung c.Về mặt lịch sử, khái niệm tích phân được định nghĩa thông qua giới hạn củatổng tích phân và độc lập với khái niệm nguyên hàm. Công thức Niuton – Lepnitthiết lập mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm được gọi là định lí cơ bản củatích phân. Vì lí do sư phạm nên trong SGK đã trình bày theo một trìnhtự "ngược ”so với lịch sử hình thành của phép tính tích phân. Tích phân đượcđịnh nghĩa thông qua nguyên hàm, nhờ công thức Niuton - Lepnit.

8. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 Nội dung Để phần nào khắc phục điều này, SGK có Bài đọc thêm . "Tính gần đúng tích phân và khái niệm tổng tích phân", từ đó giải thích cho HS nguồn gốc của các kí hiệu nguyên hàm và tích phân trong bài Em có biết : nguồn gốc kí hiệu nguyên hàm và tích phân". Tổng tích phân trình bày ở đây chưa phải là tổng Riman như định nghĩa tích phân trong các giáo trình ở trường đại học vì tổng này chỉ là tổng Riman ứng với phân hoạch đều và với các điểm chọn là đầu mút trái. Vì chúng ta chỉ làm việc với hàm liên tục nên giới hạn của dãy tổng tích phân này chính là tích phân của hàm số. Thông qua bài đọc thêm này HS một lần nữa lại thấy được tầm quan trọng của khái niệm giới hạn và tính gần đúng.

9. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2. Phương pháp a. Sự thay đổi chủ yếu trong SGK lần này là đổi mới phương pháp. SGK cố gắng quán triệt phương châm : Lấy HS làm trung tâm, tăng cường tính chủ động của HS, giảm lí thuyết kinh viện, tăng thực hành, gắn với thực tiễn. Tránh áp đặt kiến thức. Trước khi trình bày một khái niệm mới, SGK đều có ví dụ dẫn dắt, nêu Bài toán mở đầu, tạo tình huống để HS thấy nhu cầu, sự cần thiết phải có các khái niệm đó. Với mỗi khái niệm, SGK cố gắng cho HS thấy nó từ đâu đến và nó dùng để làm gì. b. Để HS chủ động và tích cực trong học tập, tạo cơ hội cho sự thảo luận và đối thoại giữa GV và HS tại lớp, khắc phục căn bệnh "thầy đọc - trò ghi", SGK đã thiết kế các câu hỏi và hoạt động xen kẽ trong bài học. Các hoạt động này đều nhằm một mục đích xác định (có nêu trong SGV). Chúng là cần thiết, không được bỏ qua. Tuy nhiên, nội dung hoạt động trình bày trong SGK chỉ có tính chất gợi ý. Căn cứ trên mục đích này, tùy theo khả năng của GV, năng lực của HS, hoàn cảnh cụ thể của lớp học, GV có thể sáng tạo ra các hoạt động khác tương tự cho phù hợp hơn. GV cho HS một khoảng thời gian cần thiết (khoảng 5 phút) để suy nghĩ và khuyến khích HS mạnh dạn trả lời. Trả lời đúng cho điểm tốt nhưng trả lời sai thì không bị điểm kém.

10. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2. Phương pháp c. Cũng để tránh nạn học vẹt, tăng khả năng tự học và thực hành của HS, trong chương này có nhiều bài tập. GV cần dành nhiều thời gian cho HS làm bài tập ở nhà. Cái gì các em tự làm lấy, tự khám phá sẽ ở lại với các em lâu bền. Tuy nhiên không nhất thiết yêu cầu HS làm hết bài tập trong SGK. Đối với HS khá, GV có thể hướng dẫn các em làm thêm bài tập trong Sách Bài tập (SBT). Khác với trước kia, các bài toán trong SBT đều khác với các bài toán trong SGK. Không nên quan niệm rằng, chỉ ở tiết Luyện tập HS mới làm bài tập. Mỗi buổi dạy GV đều nên dành 15 phút gọi HS lên bảng kiểm tra việc làm bài tập ở bài trước, chỉ ra các chỗ sau (nếu có) của HS. GV chữa mẫu những bài quan trọng. Tiết Luyện tập có vai trò như một chặng dừng chân, ôn tập củng cố kiến thức và rèn kĩ năng trước khi đi tiếp. Trong tiết Luyện tập, GV cần kiểm tra kiến thức cần nhớ, kĩ năng vận dụng kiến thức đó vào giải các bài toán. Đối với mỗi bài toán, GV cần phân tích chi tiết lời giải, chỉ ra các chỗ sai (nếu có) của HS. GV chú ý để HS được thực hành và hoạt động nhiều, cố gắng chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, không làm thay HS. Tôn trọng và khuyến khích các cách giải của HS khác với đáp án. Có thể dành kiểm tra viết 15 phút trong tiết Luyện tập.

11. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG IV. Nội dung từng bài cụ thể §1 NGUYÊN HÀM ( 2 tiết ) I Mục tiêu Học xong bài này, yêu cầu HS cần đạt được các kiến thức và kĩ năng sau : 1. Về kiến thức + Nắm được định nghĩa của nguyên hàm, các tính chất cơ bản của nguyên hàm + Nhớ được nguyên hàm của các hàm số thường gặp. 2. Về kĩ năng Biết vận dụng được các tính chất cơ bản của nguyên hàm và nguyên hàm của các hàm số thường gặp để tìm được nguyên hàm của các hàm số khác phức tạp hơn. II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý Ngoài những điều lưu ý chung của chương đã nói ở phần trước, trong bài này cần lưu ý thêm một số điểm sau :

12. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 3.Công thức dx = ln + C cần được làm rõ như sau : Nếu F(x) là một nguyên hàm của trên các khoảng xác định của nó, tức là trên các khoảng (-; 0) và (0 ; + ) thì thường mắc sai lầm cho rằng F(x) = lnlxl + C với C là hằng số. Thực ra ta có F(x) = lnx + C1 trên khoảng (0 ; + ) và F(x) = ln(-x) + C2 trên khoảng (- ;0), trong đó C1, C2 là hai hằng số nào đó. Hai hằng số C1 và C2 không nhất thiết bằng nhau (Sai lầm ở trên cho rằng C1 = C2 ). Chẳng hạn hàm số II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 1.Định lí 2 có thể diễn đạt bằng lời như sau : Để tìm một nguyên hàm của f + g ta lấy một nguyên hàm của f cộng với một nguyên hàm của g. Để tìm một nguyên hàm của kf, ta lấy k nhân với một nguyên hàm của f ( với k là hằng số ). 2.Ta thừa nhận một định lí quan trọng là : Mọi hàm số liên tục trên K (trong đó K là một khoảng, một nửa khoảng hay một đoạn) đều có nguyên hàm trên K. Trong SGK các hàm số đang xét đều liên tục trên mỗi khoảng (nửa khoảng hay đoạn) mà chúng xác định, do đó chắc chắn có nguyên hàm trên đó.

13. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4.Công thức + C (trong đó là số thực  khác -1) được hiểu là : + C là nguyên hàm của hàm sốxα trên khoảng (0 ; +). Đối với hàm số luỹ thừa với số mũ là số thực bất kì thì miền xác định của hàm số đó chỉ giới hạn ở khoảng ( 0 ; + ) . Trong trường hợp số mũ là số tự nhiên thì miền xác định của hàm số mới là toàn bộ trục số (- ; + ). Chẳng hạn, hàm số f(x) = có nguyên hàm là hàm số F(x) = trên khoảng xác định (0; + ). Tuy nhiên hàm số f(x) =có miền xác định là toàn bộ trục số (- ; + ), do đó nguyên hàm của nó là hàm số F(x) = trên toàn bộ trục số (- ; + ). là nguyên hàm của hàm số y = trên các khoảng xác định của nó. II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý Chẳng hạn hàm số

14. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG III GỢI Ý VỀ DẠY HỌC 1.Phân phối thời gian:bài nầy gồm 2 tiết . Tiết đầu giới thiệu định nghĩa. Tiết còn lại giới thiệu nguyên hàm của một số hàm thường gặp; hai tính chất cơ bản của nguyên hàm và cách vận dụng hai tính chất đó để tìm nguyên hàm của các hàm số phức tạp hơn 2.Đồ dùng dạy học :Giáo viên chuẩn bị bảng các nguyên hàm của các hàm số thường gặp và treo trong giờ học. 3. Gợi ý về hoạt động trên lớp: Bài toán mở đầu có mục đích cho học sinh thấy sự cần thiết của khái niệm nguyên hàm.

15. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ LUYỆN TẬP ( 3 tiết) I Mục tiêu Học xong bài này, yêu cầu HS cần đạt được các kiến thức và kĩ năng sau : 1. Về kiến thức Nắm vững hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm : Phương pháp đổi biến số và phươngpháp tìm nguyên hàm từng phần 2. Về kĩ năng + Vận dụng được hai phương pháp này để giải các bài toán tìm nguyên hàm tương đối đơn giảntương tự với các ví dụ trong SGK. + Củng cố và nâng cao kĩ năng tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng các tính chất cơ bản của nguyên hàm và áp dụng phương pháp đổi biến số hay phươngpháp lấy nguyên hàm từng phần.

16. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 1. Khi giải bài toán tìm nguyên hàm ta không có một quy tắc chung để biết khi nào dùng phương pháp đổi biến, khi nào dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Thậm chí nếu biết rằng phải dùng phương pháp đổi biến thì cũng không rõ nên đổi biến theo cách nào. Tuy nhiên trong phạm vi chương trình phổ thông ta chỉ xét những bài toán tìm nguyên hàm với cách đổi biến đơn giản, trong đó biểu thức dưới dấu tích phân có thể viết dưới dạng f(u(x))u’(x)dx. Trong trường hợp này ta đổi biến u = u(x), coi u’(x)dx là vi phân d[u(x)]. Công thức đổi biến có dạng sau = F(u) + C = F[u(x)] + C 2. Đối với ban Tự nhiên, với các bài toán cần phép đổi biến hơi phức tạp một chút thì cần gợi ý cho HS cách chọn biến mới u = u(x). Đối với ban Cơ bản, chỉ yêu cầu các phép đổi biến rất đơn giản. Đối với mỗi bài tập cần luôn luôn chỉ cụ thể phép đổi biến. Không cho các bài tập kiểu như phải đặt x = sint hay x = tant vì học sinh không có học hàm ngược.

17. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 3.Công thức nguyên hàm từng phần được diễn đạt bằng lời như sau : Để tìm một nguyên hàm của uv’ ta lấy uv trừ đi một nguyên hàm của u’v. Nghệ thuật sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần là : Để tìm nguyên hàm của f ta viết f(x) dưới dạng u(x)v'(x). Có nhiều cách chọn hàm u(x) và v'(x) sao cho f(x)= u(x)v'(x) nhưng ta phải khéo chọn u(x) và v’(x) để : + v’(x) là hàm mà ta dễ tìm được nguyên hàm v(x) + Việc tìm nguyên hàm của v(x)u’(x) đơn giản hơn so với việc tìm nguyên hàm của f(x). Do đó việc tìm nguyên hàm của f sẽ quy về việc tìm nguyên hàm của v’ và vu’. Đối với ban Tự nhiên, với các bài toán dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần phức tạp thì GV cần gợi ý cách chọn u(x) và v'(x). Đối với ban Cơ bản, phương pháp lấy nguyên hàm từng phần nói chung cần luôn luôn chỉ ra cho HS cách chọn u(x) và v'(x).

18. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 4.Vài gợi ý về tìm nguyên hàm từng phần : Một số dạng nguyên hàm sau đây được tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần : a. b. c. d. Trong các nguyên hàm trên (a. b. c. ) ta đặt u = xn, khi dùng công thức lấy nguyên hàm từng phần sẽ dẫnđến nguyên hàm cùng một dạng nhưng với số mũ nhỏ hơn. Sau n lần áp dụng cách làm này ta sẽ đi đến một trong các nguyên hàm cơ bản , , . Riêng nguyên hàm d. , ta đặt u = lnx.

19. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG III GỢI Ý VỀ DẠY HỌC 1.Phân phối thời gian: bài nầy gồm 3 tiết . Tiết đầu dành cho phương pháp đổi biến số , tiết thứ hai dành cho phương pháp tìm nguyên hàm từng phần, tiết còn lại cho phần luyện tập 2.Đồ dùng dạy học :Giáo viên chuẩn bị bảng các nguyên hàm của các hàm số thường gặp và treo trong giờ học. 3. Gợi ý về hoạt động trên lớp: + Các hoạt động trong bài nầy có chung mục đích là hình thành kỹ năng tìm nguyên hàm bằng các phương pháp đã học. + Giáo viên yêu cầu học sinh chuẩn bị bài tập ở nhà, Giáo viên kiểm tra vở bài tập của học sinh và chữa một số bài tập tiêu biểu ( không nhất thiết phải chữa hết ).

20. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §3. TÍCH PHÂN ( 3 tiết ) I Mục tiêu Học xong bài này HS cần đạt được các kiến thức và kĩ năng sau : 1. Về kiến thức - Nắm vững định nghĩa của tích phân. Hiểu được hai ứng dụng quan trọng trong hình học và cơ học của tích phân là tính diện tích hình thang cong và quãng đường đi được của một vật . - Hiểu và nhớ được các tính chất cơ bản của tích phân. 2. Về kĩ năng - Biết tính tích phân từ định nghĩa ; - Biết áp dụng các tính chất cơ bản của tích phân để tính tích phân ; - Giải các bài toán tính diện tích hình thang cong và tìm quãng đường đi được của vật bằng tích phân.

21. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG • 1. Khi tích tích phân bằng định nghĩa cần chú ý rằng, hàm dưới dấu tích phân phải liên tục và xác định trên đoạn lấy tích phân. Nếu không lưu ý tới điều này mà cứ áp dụng máy móc định nghĩa thì sẽ dẫn đến một điều vô lí. • Ví dụ : Tính I = dx • Nếu áp dụng máy móc định nghĩa ta sẽ được: I = = Đây là điều vô lí vì hàm dưới dấu tích phân là dương ( x ≠ 4) nên tích phân không thể âm được. Lí do là vì hàm f(x) = không xác định tại x = 4; do đó không xác định trên đoạn [0; 5]. II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý Ngoài những điều lưu ý chung của chương đã nói ở phần trước, trong bài này cần lưu ý thêm một số điểm sau :

22. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2. Khi tính tích phân mà hàm dưới dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt đối ta cần phân đoạn lấy tích phân thành những đoạn con mà trên đấy hàm có một dấu không đổi. Ví dụ : Tính I = . Trên đoạn [0; 2] ta có x2 -1 = x2 -1 nếu x ≥ 1 và x2 -1 = -x2 +1 nếu 0 ≤ x ≤ 1 nên = 2 II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 3. Khi tính tích phân mà hàm dưới dấu tích phân là hàm bậc nhất f(x) = ax + b thì việc tính tích phân quy về tính diện tích hình thang. Do đó ta dùng công thức tính diện thang thì nhanh và đơn giản hơn là thông qua nguyên hàm

23. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG III GỢI Ý VỀ DẠY HỌC 1.Phân phối thời gian:bài nầy gồm 3 tiết . Tiết 1: Bài toán tính diện tích hình thang cong và quãng đường đi của vật. Tiết 2, 3: Định nghĩa của tích phân và các tính chất cơ bản của tích phân trong đó 1,5 tiết dành cho các tính chất cơ bản của tích phân 2.Đồ dùng dạy học :Giáo viên chuẩn bị hình vẽ của hình thang cong

24. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ( 2 tiết ) I Mục tiêu Học xong bài này, yêu cầu HS cần đạt được các kiến thức và kĩ năng sau : 1. Về kiến thức - Hiểu và nắm được các công thức (l) : và công thức (2) - Hiểu và nắm được các công thức (l) : và công thức (2) - Hiểu và nắm được các công thức (l) : và công thức (2) là cơ sở cho hai phương pháp tính tích phân - Hiểu và nắm được các công thức (l) : và công thức (2) là cơ sở cho hai phương pháp tính tích phân - Vận dụng được phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần để giải cácbài toán tính tích phân với mức độ khó tương tự với các ví dụ trongSGK. 2. Về kĩ năng - Nắm vững hai phương pháp cơ bản để tính tích phân : Phương pháp đổi biến số và phươngpháp tính tích phân từng phần.

25. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý Ngoài những điều lưu ý chung của chương đã nói ở phần chung , trong bài này cần lưu ý thêm một số điểm sau : Với tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số ta có hai cách : Cách 1là nhìn công thức (l): . ( 1) từ trái sang phải (ta còn gọi là đổi biến số thuận). Ta viết biểu dưới dấu tích phân dưới dạng f(x)dx = g(u(x))u’(x)dx rồi đặt u = u(x). Khi đó tích phân được quy về tích phân với  = u (a),  = u (b).

26. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Cách 2là nhìn công thức ( 1 ) từ phải sang trái (ta còn gọi là đổi biến số nghịch). Ta đặt x = x(u).Biểu thức dưới dấu tích phân được biến đổi thành f(x)dx = f(x(u))x'(u)du = g(u)duvới g(u) = f(x(u))x'(u). Khi đó tích phân được quy về tích phân với cận mới ,  thỏa mãn a= x() và b = x() II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý Chú ý : a) Để tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số ta chỉ có một cách (do không giới thiệu khái niệm hàm ngược). Cách này tương ứng với cách 1. Với công thức đổi biến GV nhắc lại cho HS rằng giá trị của tích phân không phụ thuộc vào kíhiệu ta dùng làm biến số lấy tích phân.

27. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b)Bản chất của của phương pháp tích từng phần như sau : Giả sử ta cần tính . Ta chọncác hàm u(x) và v'(x) sao cho f(x) = u(x)v'(x). Khi đó theo công thức tích phân từng phần việc tínhquy về tính . Có nhiều cách chọn hàm u(x) và v'(x) sao cho f(x) =u(x)v'(x) Nhưng ta phải khéo chọn u(x) và v (x)để : - Có thể tìm dễ dàng v(x) từ v'(x). - Việc tính tích phân đơn giản hơn so với việc tính Đó Chính là nghệ thuật sử dụng phương pháp tích phân từng phần. II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý Trong chương trình Phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần chỉ có tích chất giới thiệu cho HS bước đầu làm quen. Vì vậy các ví dụ về bài tập trong bài này đều khá đơn giản, nhất là đốivới HS ban Cơ bản GV không cần thiết phải trang bị cho HS các mẹo mực, tiểu xảo trong vấn đểtính tích phân.

28. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §5, 6. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ ( 4 tiết ) I Mục tiêu 1. Về kiến thức - Nắm được các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và hai đường thẳng vuông góc với trục hoành - Nắm được công thức thức tính thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay 2. Về kĩ năng Vận dụng được các công thức vào việc giải các bài toán cụ thể II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý Ngoài những điều lưu ý chung của chương đã nói ở phần chung , trong bài này cầnlưu ý thêm một số điểm sau :

29. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1. Công thức tính diện tích hình phẳng : II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý

30. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 2.Cho hàm số y = f(x) không âm. Giả sử đồ thị của hàm số f(x) cắt trục hoành tại x = a. Hình giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và đường thẳng x = b (a < b) gọi là tam giác cong. Tam giác cong cũng được xem là một trường hợp riêng của hình thang cong (cạnh đáy nhỏ bằng 0) do đó diện tích cũng được tính bởi công thức S =. Để tìm giao điểm A của đồ thị f(x) với trục hoành ta phải giải phương trình f(x) = 0

31. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 3. Cho hai hàm y = f(x) và y = g(x) liên tục có đồ thị cắt nhau tại ba điểm A,B, C. Giả sử a, b, c tương ứng là hoành độ các giao điểm A, B, C (a < c < b). Khi đó diện tích hình phẳng nằm giữa hai đồ thị ấy bằng S = II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý

32. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Để tìm các giao điểm A , B và C của hai đồ thị f(x) và g(x) ta phải giải phương trình f (x) = g(x). Để tính tích phân S = ta phải xét dấu của f(x) - g(x) trên[a ; b]. Chẳng hạn nếu f(x) ≥ g(x) trên [a ; c] và f(x) ≤ g(x) trên [c ; b] thìS = II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 4. Khi giải các bài toán tính diện tích và thể tích nếu không yêu cầu thì HS không nhất thiết phải vẽ hình, nhưng GV khuyến khích HS vẽ hình nếu có thể. Đặc biệt với các bài toán tính thể tích của vật thể thì không yêu cầu HS vẽ hình.

33. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 5. Đường cong có phương trình F(x, y) = 0 được hiểu là tập các điểm (x, y) trong mặt phẳng thoả mãn đẳng thức F(x, y) = 0. Ta cần giải phương trình F(x, y) = 0 theo x (coi x là tham số) để được y = f(x) hoặc giải theo y (coi y là tham số) để được x = g(y).Trong một số bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong, đối với ban Tự nhiên GV có thể giới thiệu cách thứ hai : Coi hình đang xét giới hạn bởi các đường cong x = g(y) và x = h(y). Cách tính này nhiều khi cho kết quả nhanh chóng hơn là cách thông thường. Tuy nhiên đối với ban Cơ bản thì không cần giới thiệu thêm cách thứ hai này.

34. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 6.Công thức tổng quát tính thể tích vật thể :

35. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 7. Công thức tính thể tích khối tròn xoay quay xung quanh Ox

36. CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý 8. Công thức tính thể tích khối tròn xoay quay xung quanh Oy