Planer i rummet

1. Planer i rummet Herunder bevis for punkt-plan afstandsformlen

2. Planens ligning Et plan er fastlagt ved en normalvektor og et punkt P0 Vi har en normalvektor: De punkter der opfylder at: Udgør en plan flade, og ved at indsætte koordinaterne og udregne prikproduktet får vi planens ligning:  Illustration s. 175

3. Parameterfremstilling for en plan Parameterfremstillingen bliver fastlagt ud fra et punkt P0 i planen og to retningsvektorer, der IKKE er parallelle. Udfra punktet P0 afsættes to retningsvektorer, og hvis vi ganger med s og t får vi vektoren: Når s og t gennemløber alle mulige reelle tal vil P blive til et ”løbende punkt”. Stedvektoren til P bestemmes ved indskudsreglen: Indsætter vi koordinaterne får vi planens parameterfremstilling: Illustration s. 176

4. Afstand fra punkt til plan Sætning: Afstanden fra et punkt P0(x0,y0,z0) til en plan α med ligningen: er givet ved: Illustration s. 179

5. Afstand fra punkt til plan - 1 Bevis: først finder vi et vilkårligt punkt i planen P(x,y,z) og afsætter en vektor herfra til P0 = Ud fra punktet P har vi tegnet en normalvektor, denne skal projiceres ned på, for at finde , der må være den samme som s, afstanden fra punktet til planen. Vektor er altså givet ud fra projektionsformlen:

6. Afstand fra punkt til plan - 2 Nu skal vi så blot finde længden af vektor , der må være længden af s. Vi indsætter nu koordinaterne:

7. Afstand fra punkt til plan - 3 Nu udregner vi prikproduktet: Vi ganger ind i parantesen: Da P(x,y,z) ligger i planen passer punktets koordinater i planens ligning, dvs planens omskrevne ligning kan indsættes:

8. Afstand fra punkt til plan - 4 Den omskrevne planens ligning indsættes: Og sætningen er bevist! Anvendelsesmetoder: • Til at finde afstand fra punkt til plan • Til at bestemme radius på en kugle med centrum og tangentplan

9. Skæring mellem linje og plan En linje og en plan, der ikke er parallelle skærer hinanden i et punkt. Man skal bruge planens ligning og linjens parameterfremstilling: Indsættes x,y og z fra parameterfremstillingen i planens ligning fås en værdi for t. Denne værdi indsættes i parameterfremstillingen og resultatet er skæringspunktet Eksempel s. 180

10. Vinkel mellem linje og plan Man skal gøre sig klart hvilken vinkel man udregner. Vi tegner en normalvektor for planen og en retninsvektor for linjen ud fra skæringspunktet P. Vinklen mellem kaldet u, kan bestemmes ved: Her skal man gøre sig klart hvilken vinkel man udregner! Hvis i kigger på tegning 2= v=90-u Hvis i kigger på tegning 3 = v=u-90 Illustration s. 181

11. Vinkel mellem planer To planer α og β skærer hinanden i linjen l. I et tilfældigt punkt på linjen har vi afsat planens to normalvektorer, og vinklen mellem planerne kan bestemmes ud fra dem: Illustration s. 182