Théorie de l’information pour les systèmes finis: processus hors équilibre et transitions de phase

1. Théorie de l’information pour les systèmes finis:processus hors équilibre et transitions de phase • Physique statistique des systèmes finis • En taille • En temps • Longue portée (chargés) • Transitions de phase • Inéquivalences d’ensembles • Observables • Applications en physique nucléaire

2. Superfluidité dans les noyaux Siem-PRC65(2002)044318 1.2 (MeV) 172Yb 0.8 Brechignac et al, PRL81(98)4612 0.4 Temperature • L’ensemble évaporatif 0 0 1 2 3 4 5 6 Excitation Energy (MeV) Exemples A.Ono, PRC 59(98)853 • Collisions d’ions lourds rélativistes • Transition solide-liquide dans les agrégats Schmidt et al, PRL 79(1997)99 (eV/K) 0 0.8 0.4 Heat Capacity 0 200 100 300 400 Temperature (K) Z = Tr e –bH (?)

3. Physiquestatistique pour les systèmes infinis « Equilibrium is a macroscopic phenomenon….equilibrium is an unchanging state »(S.K.Ma, Statistical Mechanics) « If a closed macroscopic system is in a state such that in any macroscopic subsystem the macroscopic physical quantities are to a high degree of accuracy equal to their mean value, the system is said to be in statistical equilibrium (or thermal equilibrium) » (L.D.Landau, Statistical Physics)  Un système infini est un ensemble de sous-systèmes infinis une réalisation (événement) peut être en équilibre Z = Tr e –bH

4. Physiquestatistique pour les systèmes finis Les interfaces ne sont pas négligeables dans les systèmes finis une réalisation (événement) ne peut pas être en équilibre Nécessité d’un ensemble de repliques

5. p p • Ergodique • ∞ <>temps = <>espace des phases • Conditions aux bords? Etats dans le continuum? • Variables d’état: lois de conservation (E, J, P …) q q p • Mixing • Conditions initiales inconnues • Valable à un temps défini • Stochastique • Dynamique inconnue p p t -> q q q p • Complexe / min info (Jaynes – Balian) • Un nombre limité d’observables pertinentes <Al> => variables d’état (conservées ou non) • Valable à tous les temps; • Variables d’état arbitraires q Physiquestatistique pour les systèmes finis

6. Théorie de l’information pour les systèmes finis • Ensemble statistique: • Information (Shannon): • Observables: • Minimum bias :min I sous contrainte Multiplicateurs de Lagrange Probabilité pour chaque état Fonction de partition Contraintes = EOS

7. Théorie de l’information pour les systèmes finis • Pouvoir prédictif ? • L’équilibre est difficile à démontrer (ergodicité/reduction de l’information) • L’équilibre n’est jamais rigoureusement réalisé en nature • La distance de l’équilibre est une observable • Tr(DA)-Tr(DeqA)  0 moyennes exactes par construction • Tr(DA2)-Tr(DeqA2)  0 réalisation au niveau des variances • Tr(DlnD)  Tr(DeqlnDeq) estimation macroscopique • Tr(DDeq)-1  0 estimation microscopique pbl(E)  exp(-bE –lE2)) gaussian ensemble expq(-bE) = (1+(q-1)bE)-q/(q-1) Tsallis R.S.Johal et al.PRE(2003)

8. E Microcanonique <E> Canonique <R3> Isobare <Q2> Déformé <p.r> En expansion <A> Grand <L> En rotation Isochore V Théorie de l’information et ensembles statistiques • Contraintes (ext) • Lois de conservation • Observations (time odd) • Echantillonage

9. Microcanonique : • Shannon = Boltzmann: • Température (EOS): • Canonique : • Fonc. de partition = Laplace tr.: • Energie moyenne (EOS) • Entropie = Legendre tr.: • Mais Sc(<E>)canonique ≠ S(E) microcanonique • => EOS canonique ≠ EOS microcanonique ! Inéquivalence entre ensembles R. Balian « Statistical mechanics »

10. L.E. Reichl, Texas Press (1980) Transitions de phase dans les systèmes infinis Potentiel thermodynamique non analytique pour Thermodynamical potential Ordre de la transition: discontinuité dans Log Z Ehrenfest’s definition Temperature ßt Caloric curve EOS Premier ordre: E2 Energy E1 R. Balian, Springer (1982) Temperature ßt

11. Caloric curve Energy Temperature ßt Temperature ßt Caloric curve Energy Transitions de phase dans les systèmes finis Z analytique: “transition” arrondie inéquivalence des ensembles: Lagrange contrôlé: paramètre d’ordre contrôlé: Caloric curve Energy ßt Temperature

12. Lattice-Gas • Distribution canonique entropie micro • Monomodale • Le plus probable: • Moyenne: • EOS can ≈ EOS micro. Canonical • Bimodale: inéquivalence <E> Canonical (Most Probable) F. Gulminelli & Ph. Chomaz., PRE 66 (2002) 46108 Inéquivalence Gas 100 Liquid Entropy 10 Energy Distribution 1 bL bG 0.1 Lattice-gas Model Temperature Microcanonical • Le plus probable: coéxistence interdite

13. b sinh cosh Vers les systèmes finis: le théorème de Yang Lee C.N. Yong, T.D.Lee Phys.Rev.1952 Premier ordre Origine des non analyticités analytique La transition de phase est univoquement définie par la distribution des zéros de la fonction de partition

14. Energy E1 sinh cosh Yang Lee et Bimodalité Binder Landau 1984 K.C..Lee 1996 Fonction de partition et distribution de probabilité Distribution normale: pas de zéros Distribution bimodale P = P1+P2: double approximation de point selle ß E distribution at Energy E1 E2

15. Au+Au 80 A.MeV INDRA@GSI data "reservoir" Z2 Bimodalité dans la distribution des observables Z1 Z1 T 197Au 197Au paramètre d’ordre: asymétrie de charge Zbig-Zsmall Z1-Z2 O.Lopez et al. 2001, B.Tamain et al. 2003

16. Bimodalités et susceptibilités négatives D.J.Wales R.S.Berry 1994 • Pente inversée dans l’équation d’état associée au paramètre d’ordre • Une transition de phase correspond à une susceptibilité négative Probabilité Lagrange controlé Température paramètre d’ordre controlé énergie

17. T - 1 logW = ¶ g E 172Yb 1.2 (MeV) 0.8 0.4 0. 166Er 40. 0.8 0.4 Microcanonical T Heat Capacity(kB) 20. 0. 162Dy 0.8 0.4 0. 0 0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.5 1.0 Excitation Energy (MeV) T(MeV) Décroissance g:densité de niveaux X(3He, 3He ’)X* Melby et al, PRL 83(1999)3150

18. Susceptibilités négatives et fluctuations anormales J.L.Lebowitz 1967 (1),(2) indépendants • Lagrange contrôlé « canonique » • paramètre d’ordre contrôlé « microcanonique » A=cst

19. Lattice-Gas Model fluctuation estimation exact Susceptibilités négatives et fluctuations anormales A=EtotA1=Ek A=Atot A1=Amax Ph.Chomaz F.Gulminelli V.Duflot 2001,F.Gulminelli 2005

20. Fragmentation Nucléaire Multics-Miniball Au+Au QP, Au+X central Indra Xe+Sn central Isis p+Au Indra-Aladin Au+Au QP one source Isis E900A all

21. Conditions aux bords / Etats du continuum • Etats liés: conditions aux bords non relevantes • Systèmes piégés: Hamiltonien modifié • En général,H necessite des conditions aux bords => la thermo n’est pas définie sans conditions aux bords • => Ex: Entropie S(E)=log W(E)non définie => Introduction d’une surface S : Y(n)=0 sur S s (x,y,z) = 0

22. Équation aux valeurs propres => énergetique modifiée Conditions aux bords / Etats du continuum Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004) Projecteur sur la surface • Ensemble statistique => thermodynamique modifiée => information infinie non physique => ensemble microcanonique W(E,N,V) non physique • Conditions aux bords contraintes spatiales ex: <V>=<R3> => Ensemble isobare

23. Contraintes ≠ Lois de conservation D change au cours du temps Dépendance du temps • Exemple: TDHF

24. Ensembles statistiques dépendant du temps Balian, Al-Hassid & Reinhardt, An. Phys. (1987); Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004) • Observables connues au temps tl ; système observé au temps t • Max S au temps t avec contraintes <A> déterminées au temps antérieur tl= t - Dtl • Evolution de D de tl à t • Heisenberg picture: • => observables time odd

25. Ensembles statistiques dépendant du temps Balian, Al-Hassid & Reinhardt, An. Phys. (1987); Chomaz & Gulminelli & Juillet (2004) • Extension aux temps finis • Minimum bias au temps t avec contraintes effectives au temps t0 • Nouvelles contraintes et multiplicateurs de Lagrange cas Hamiltonien • Cas particulier: algèbre fermée information finie à tous les temps!

26. Exemple: mouvement Brownien • 1 particule à 1D couplée à un thermostat à T=b-1 • Observable: énergie cinétique <K>t0 • Algèbre fermée • Solution exacte à tous les temps <=> équilibre avec une température dépendante du temps Caldeira Legget d=2mg/b fluctuation -dissipation

27. Exemple: la dynamique de l’expansion • Système préparé au temps t0 et en expansion libre pour t>t0 • <R2> fini au temps t0: <=> potentiel externe <=> équilibre dans un piège l0r2 • Evolution successive: =>flot radial • Gaz parfait: solution exacte à tous les temps

28. x z Expansion Traitement statistique du flot radial • Contrainte additionnelle: flot radial <pr(r)> • Lagrange additionnelh(r) • expansion auto similaire h =cst h Thermal distribution in the moving frame Negative pressure “Isobar” ensemble

29. Lattice-Gas Model Thermal+expansion Only thermal Fragment yields Fragment masses Traitement statistique du flot radial • Gaz sur réseau en expansion (Meme énergie totale, flots différents) • Distribution des fragments modifiée e:closest neighbor interaction Gulminelli, Chomaz, Nucl. Phys A (2004)

30. IV • Systèmes finis => Théorie de l’information • Différents ensembles - inéquivalences • Transitions de phase=> Bimodalités Courbures inversées Fluctuations anormales • Boundary (continuum) => Contraintes devolume • S(E,N,V) non définie • Transient => ensemble stat. dépendant de t • Equilibre sous flot • “freeze-out” multiples • Longue portée => Multicanonique Conclusion