Investigación operativa

1. Investigación operativa INECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES CON UNA INCÓGNITA

2. Identidades, ecuaciones e inecuaciones • IDENTIDAD • Es toda igualdad que siempre se cumple, sea cual seas el valor de la incógnita o incógnitas: • x = x ,, (x – 2).(x + 2) = x2 – 4 ,, (x – y )2 = x2 – 2.x.y + y2 • ECUACIÓN • Es una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen: • 2x = 4  Sólo para x = 2 • x2 = 4  Sólo para x = 2 y para x = - 2 • y = 2x  Sólo cuando el valor de y sea doble que el valor de x. • INECUACIÓN • Es una desigualdad que sólo se cumple en un intervalo finito o infinito de valores de la incógnita o incógnitas que intervienen: • x < 2  ( - oo , 2 ) • x ≥ - 4  [ - 4 , + oo )

3. Inecuaciones • RELACIÓN DE ORDEN • V a,b ε R, a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 • Que se lee: “Para todo par de valores a, b pertenecientes al conjunto de los números reales, decimos que a es menor o igual que b si se cumple que b – a es un valor mayor o igual que cero y viceversa.” • INECUACIÓN • Es una desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores desconocidos. • Signo : Se lee : • x < y x es siempre MENOR que y • x ≤ y x es MENOR o IGUAL que y • x > y x es siempre MAYOR que y • x ≥ y x es MAYOR o IGUAL que y

4. Transformaciones de equivalencias • Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada. • Si a < b  a+c < b+c • Si 3 > 1  3+2 > 1+2  5 > 3 • Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada. • Si c ε R+ y a < b  a.c < b.c • Si - 2 < 3  (- 2). 4 < 3. 4  - 8 < 12 • Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de desigualdad contrario al de la dada. • Si c ε R- , y a < b  a.c > b.c • Si 2 < 3  2. ( - 5 ) < 3. ( - 5 )  - 10 < - 15  - 10 > - 15

5. Inecuaciones lineales • Una inecuación es lineal si el grado de todas las incógnitas es uno. • Ejemplos: • 2 + x ≥ 4 x ≤ y + 5 3 + z > x + y x / 2 + y < z + t • INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA • La solución de una ecuación lineal con una incógnita ( x ), una vez aplicadas las relaciones de equivalencia, pueden ser: • Todo R • El conjunto vacío. • Una de las siguientes semirrectas: • x < a  x ε (-oo, a) • x ≤ a  x ε (-oo, a] • x > a  x ε (a, +oo) • x ≥ a  x ε [a, +oo) • Ejemplo: x ‑ 2 < 0 x < 2  x ε (- oo, 2)

6. EJEMPLOS • Sean las inecuaciones: • 1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x > x + 2 • SOLUCIONES: • 1.- 2 + x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2 • Solución = { V x ε R / x ε [ 2, + oo ) } • 2.- 2x < x -5  2x – x < - 5  x < - 5 • Solución = { V x ε R / x ε ( - oo, - 5 ) } • 3.- x > x + 2  x - x > 2  0 > 2 FALSO • Solución = Ø (Conjunto vacío)

7. RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sea la inecuación: 2 – x x – 3 4.- -------- – ----------- + 2 > x 5 6 SOLUCIÓN: 2 – x x – 3 4.- -------- – ----------- + 2 > x 5 6 6(2 – x) – 5( x – 3 ) 4.- ----------------------------- + 2 > x 30 4.- 12 – 6x – 5x + 15 + 60 > 30x 87 > 41x  x < 87/41 Solución = (- oo , 87/41)

8. RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sean las inecuaciones: 5.- x – 1 x ------------ + 2 < ------ 5 3 SOLUCIONES: 5 3.(x – 1) + 30 5.x ----------------------- < --------- 15 15 5.- 3.(x – 1) + 30 < 5.x  3.x – 3 + 30 < 5.x 5.- – 3 + 30 < 5.x – 3.x  27 < 2.x  x > 13,5 5.- Solución = ( 13,5 , oo )

9. SISTEMAS DE INECUACIONES • Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el que está compuesto por dos o más inecuaciones lineales con una incógnita. • La solución de un sistema serán todos los valores de la incógnita (x) que satisfagan todas las inecuaciones, es decir la intersección de las soluciones de todas las inecuaciones. • La solución, una vez aplicadas las relaciones de equivalencia, pueden ser: • Todo R • El conjunto vacío • x = a • Una semirrecta • Uno subconjunto abierto, cerrado o semiabierto.

10. - 1 3 Resolución de sistemas 1.- 2.x ‑ 3 ≤ x  x ≤ 3  x ≤ 3 x + 3 > - x + 1  2x > - 2  x > - 1 Solución: (- 1, 3 ]  - 1 < x ≤ 3 2.- 2.x ‑ 4 ≤ 2  2x ≤ 6  x ≤ 3 x - 5 > - x + 1  2x > 6  x > 3 Solución: Ø 3 R

11. - 1 0 1 R - 1 4.- x + 4 ≤ 8  x ≤ 4 x - 5 ≥ 1  x ≥ 6 Solución: Ø 3.- x ‑ 3 ≤ x  0 ≤ 3  x = R x + 3 > - x + 1  2x > - 2  x > - 1 Solución: (- 1, + oo )  x > - 1 4 6 R

12. PROBLEMAS de INECUACIONES • Se siguen los mismos pasos que para resolver problemas de ecuaciones. Hay que tener especial cuidado al leer el enunciado; siempre hay algún indicio que nos señala que debemos obtener del mismo inecuaciones, no ecuaciones. Y la solución no es única, sino un conjunto o intervalo de valores. • PROBLEMA_1 • Hallar el número de personas que trabajan en una oficina, si al tomar vacaciones la cuarta parte de los oficinistas quedan menos de 18 personas trabajando, y si hacen vacaciones la tercera parte, los que quedan trabajando son más de 14. • RESOLUCIÓN • Sea x el número de personas que trabajan en la oficina • x – x/4 < 18  3x/4 < 18  3x < 72  x < 24 • x – x/3 > 14  2x/3 > 14  2x > 42  x > 21 • Solución: Trabajan 22 ó 23 personas

13. PROBLEMA_2 • Un comerciante vende 70 ordenadores de los que tiene en almacén y le quedan por vender más de la mitad. Recibe 6 unidades más y vende 36, con lo que le quedan menos de 42 por vender. ó Cuántos ordenadores tenía en el almacén inicialmente? • RESOLUCIÓN • Sea x el número de ordenadores que tenía inicialmente • x – 70 > x / 2  2.x – 140 > x  x > 140 • x – 70 + 6 – 36 < 42  x – 100 < 42  x < 142 • Solución: Tenía 141 ordenadores. • PROBLEMA PROPUESTO • Ayer fui a comprar 14 disquetes de ordenador y pagué algo más de 4,5 euros. Hoy he vuelto a comprar otros 20 , cada uno costaba 1 céntimo de euro menos que ayer, di 6,5 euros y dejé la vuelta de propina. ¿Cuánto costaba ayer cada uno ?.

14. PROBLEMA_3 • Pedro tiene el triple de edad que Juan y Luis la mitad que Juan. Entre todos tienen menos de 12 años. Sumando la edad del que tiene más con la edad del que tiene menos, salen más de 6 años. ¿Qué edad tiene cada uno ? • RESOLUCIÓN • En lugar de: x = Edad de Juan • y = Edad de Pedro • z = Edad de Luis • Planteamos: x = Edad de Juan • 3.x = Edad de Pedro • x/2 = Edad de Luis • Sea x la edad de Juan, 3.x la edad de Pedro y x/2 la edad de Luis. • x + 3.x + x/2 < 12  9.x < 24  x < 24/9 x < 2,66 • 3.x + x/2 > 6  7.x > 12  x > 12/7 x > 1,71 • Solución: Juan tiene 2 años, Pedro tiene 6 años y Luis tiene 1 año.