DINÁMICA

1. DINÁMICA • Contenido • Introducción • Conceptos Básicos • Leyes de conservación • Cinemática y Dinámica • Interacciones y fuerzas • Leyes de newton

2. Ley de conservación de la cantidad de movimiento En la cinemática, discutimos los elementos que intervienen en la «descripción» del movimiento de una partícula. Investiguemos ahora la razón por la cual las partículas se mueven de la manera en que lo hacen. El estudio de la relación entre el movimiento de un cuerpo y las causas de este movimiento se denomina dinámica. Por nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento de un cuerpo es un resultado directo de sus interacciones con otros cuerpos que lo rodean... Las interacciones se describen convenientemente por un concepto matemático denominado fuerza. El estudio de la dinámica es básicamente el análisis de la relación entre la fuerza y los cambios en el movimiento de un cuerpo En muchos casos observamos el movimiento de solamente una partícula, ya sea porque no tenemos manera de observar las otras partículas con las cuales interactúa o porque las ignoramos a propósito. En esta situación es algo difícil usar el principio de conservación del momento. Sin embargo, hay una manera práctica de resolver esta dificultad, introduciendo el concepto de fuerza. La teoría matemática correspondiente se denomina dinámica de una partícula. Por tanto, nos limitaremos a la observación de una sola partícula, reduciendo sus interacciones con el resto del universo a un solo término que hemos ya llamado fuerza dinámica de la Partícula • Ley de conservación de la energía • Una ley de conservación es normalmente la consecuencia de una simetría fundamental deluniverso. Existen leyes de conservación relativas a la energía, la cantidad de movimiento, momento cinético, a la carga entre otras. • Ahora trataremos la conservación de la cantidad de movimiento.

3. Cantidad de Movimiento Es el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad. p=mv (kg.m/seg) Materia En física, se llama materia a cualquier tipo de entidad física que es parte del universo observable, tiene energía asociada, es capaz de interaccionar con los aparatos de medida, es decir, es medible y tiene una localización espaciotemporal compatible con las leyes de la física. Clásicamente se consideraba que la materia tenía tres propiedades que juntas la caracterizaban: que ocupaba un lugar en el espacio y que tenía masa y duración en el tiempo. En el contexto de la física moderna se entiende por materia cualquier campo, entidad, o discontinuidad traducible a fenómeno perceptible que se propaga a través del espacio-tiempo a una velocidad igual o inferior a la de la luz y a la que se pueda asociar energía. Así todas las formas de materia tienen asociadas una cierta energía pero sólo algunas formas de materia tienen masa. Masa La masa, en física, es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo. La unidad de masa, en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo (kg). Es una cantidad escalar y no debe confundirse con el peso, que es una fuerza. Pero de forma mas especifica, la masa es la manera en que se cuantifica la inercia de un cuerpo, es decir, cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza este adquiere cierta aceleración que será menor o mayor, o sea, tendrá mas o menos resistencia al movimiento que adquiere en correspondencia con una constante que es su masa. Conceptos Básicos

4. Primera Ley de Newton o principio de Inercia La primera ley especifica que todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que actúe sobre él una fuerza que le obligue a cambiar dicho estado. Este principio establece que la materia es inerte (inmóvil), en tanto que por sí misma no puede modificar su estado de reposo o movimiento. Así, pues, constituye una definición de la fuerza como causa de las variaciones de velocidad de los cuerpos e introduce en física el concepto de sistema de referencia inercial. Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. La segunda ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento actúa una fuerza. En ese caso, la fuerza modificará el movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleración están relacionadas. teniendo en cuenta la cantidad de movimiento como: p=mv , Si le aplicamos derivada a ambos factores, obtenemos dp=mdv dtdt De aquí llegamos a esta formula que es la ecuación fundamental de la dinámica: F=mA donde la constante de proporcionalidad distinta para cada cuerpo es su masa de inercia, pues las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo sirven para vencer su inercia, con lo que masa e inercia se identifican. (Recordar que Inercia es la propiedad que tiene todo cuerpo de resistirse u oponerse al cambio de movimiento). Es por esta razón por la que la masa se define como una medida de la inercia del cuerpo. La fuerza y la aceleración han de tener la misma dirección y sentido. La importancia de esa ecuación estriba sobre todo en que resuelve el problema de la dinámica de determinar la clase de fuerza que se necesita para producir los diferentes tipos de movimiento: rectilíneo uniforme, circular uniforme y uniformemente acelerado. Leyes de Newton

5. Tercera Ley de Newton o Ley de acción y reacción La tercera ley expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud, sentido opuesto y están situadas sobre la misma recta. Este principio se aplica a toda clase de fuerzas y presupone que la interacción entre dos partículas se propaga instantáneamente en el espacio (con velocidad finita). Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus masas. Aunque los pares de acción y reacción tengan el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto que actúan sobre cuerpos distintos Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedecen por separado a la segunda ley. Leyes de la Dinámica La masa gravitacional es la medida de la fuerza de atracción gravitatoria que experimenta una masa respecto de las demás. La fuerza gravitatoria entre dos partículas viene dada por: donde G es la constante de gravitación universal cuyo valor es: m y M son las masas gravitatorias de las partículas, y r es la distancia entre ellas. Es análoga a la carga eléctrica, otra propiedad de las partículas que está relacionada con la fuerza eléctrica. Cuando se habla de campos suele distinguirse entre masas gravitacionales activa y pasiva. La activa es la que crea el campo y la pasiva la que es acelerada como consecuencia de estar en él. Esto es una buena aproximación en problemas de masas muy distintas donde una es despreciable frente a la otra, como el caso de la tierra girando alrededor del sol.

6. La mayoría de las veces sobre un cuerpo actúan varias fuerzas y este conjunto de fuerzas pueden compensarse entre si, dando como resultado que no haya cambio en su movimiento de traslación ni de rotación. Cuando sucede esto se dice que el cuerpo esta en equilibrio. Condición de equilibrio (por la 1ra Ley de Newton): Que las fuerzas que actúan sobre un cuerpo deben ser de igual magnitud y de sentido opuesto. (equilibrio de traslación) . Además estas fuerzas deben tener la misma línea de acción o si son mas tres fuerzas, deben ser concurrentes. (equilibrio de rotación). O sea, la sumatoria de fuerzas en un eje es igual a cero. Equilibrio M F - F - M • Por la tercera Ley de Newton, podemos concluir que: • A cada acción se opone siempre una reacción igual, o sea, siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro , el 2do ejerce sobre el 1ro una fuerza igual en magnitud, de sentido opuesto y que tiene la misma línea de acción. • Las fuerzas actúan sobre el mismo cuerpo mientras que la acción y la reacción actúan sobre cuerpos diferentes. • Como consecuencia de los pares de fuerzas surgen los Momentos de una Fuerza (Mto) cuya formula es: Fza Brazo

7. Ejemplo de la tercera Ley de Newton, donde se pone de manifiesto la acción y reacción. P1 – Peso del bloque. P2 – Peso del cable. T1 – Tensión que ejerce el cable sobre el bloque. T2 – Tensión que ejerce el techo sobre el cable. T´1 – reacción del bloque sobre la tensión del cable-bloque. T´2 – reacción del cable sobre la tensión del techo. • Por la tercera Ley de Newton, la reacción a la fuerza , es la fuerza igual pero contraria por tanto • La reacción a la fuerza , es la fuerza igual pero contraria por tanto • Si el peso del bloque son 20 kg (P1) y el peso del cable es 1 kg (P2) entonces obtenemos,

8. Rozamiento • Es la fuerza que se opone al movimiento inminente del cuerpo, es proporcional a la fuerza Normal (N) pero se afecta por un coeficiente de fricción en dependencia de las superficies en contacto. Cuando no se ha iniciado el movimiento Cuando ya se ha iniciado el movimiento P

9. Impulso y Cantidad de Movimiento (Dinámica) Un movimiento armónico simple (MAS) esta caracterizado por el movimiento de una masa que salta cuando esta sujeta a una fuerza de reconstitución elástica lineal dada por la ley de Hooke. El movimiento es sinusoidal en tiempo y da solo una frecuencia de resonancia. Multiplicamos por t ambos miembros El Impulso de la fuerza aplicada (I) es igual a la cantidad de movimiento (p) que provoca, o sea, el incremento de la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es igual al impulso de la fuerza que se ejerce sobre él. El impulso y la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales. Impulso Cantidad de Movimiento Conservación de la Cantidad de Movimiento Ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento En cualquier sistema o grupos de cuerpos que interactúen, la cantidad de movimiento total, antes de las acciones, es igual a la cantidad de movimiento total, luego de las acciones. Cuando se produce un choque entre dos cuerpos, también se producen deformaciones en ambos cuerpos, éstas pueden desaparecer de inmediato o perdurar. Si las deformaciones desaparecen rápidamente entonces se ha producido un choque elástico, de lo contrario si las deformaciones se mantienen entonces es un choque inelástico o plástico.

10. Momento de Inercia (Dinámica) El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. la inercia es la propiedad de los cuerpos de resistirse al cambio del movimiento, es decir, es la resistencia al efecto de una fuerza que se ejerce sobre ellos. Como consecuencia, un cuerpo conserva su estado de reposo o movimiento uniforme en línea recta si no hay una fuerza actuando sobre él. En Resumen la inercia es la propiedad de un cuerpo a permanecer en su estado de reposo hasta que se le aplique una fuerza. . • Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es: • donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación Ejemplo: Las personas que practican el clavado. Los bailarines cuando giran

11. Momento de Inercia (Dinámica) Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como: Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como: El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda Ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación: donde: o Mto: es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y 𝛼 es la aceleración angular. La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , , mientras que la energía Cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular: El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje. .

12. Diagramas de Fuerzas (Dinámica) Un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo aislado debe mostrar todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Es fundamental que el diagrama de cuerpo libre esté correcto antes de aplicar la Segunda ley de Newton, Fext = ma En estos diagramas, se escoge un objeto o cuerpo y se aísla, reemplazando las cuerdas, superficies u otros elementos por fuerzas representadas por flechas que indican sus respectivas direcciones. Por supuesto, también debe representarse la fuerza de gravedad y las fuerzas de fricción. Si intervienen varios cuerpos, se hace un diagrama de cada uno de ellos, por separado .

13. Ejemplo (Dinámica) en reposo o equilibrio • Un bloque de masa m = 2 Kg. Se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de ángulo θ = 60º mediante una fuerza horizontal F, como se muestra en la figura. • a) Determine el valor de F, la magnitud de F. • b) Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción). Σ Fx = 0 Fx – Wx = 0 (Ecuación 1) Fx = Wx Pero: Fx = F cos 60° Wx = W sen 60 ° F cos 60 ° = W sen 60 ° Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción). Σ Fy = 0 N – Wy – Fy = 0 (Ecuación 2) Pero: Fy = F sen 60 ° Wy = W cos 60 ° Reemplazando en la ecuación 2 N – Wy – Fy = 0 (ecuación 2) N – W cos 60 ° – F sen 60 ° = 0 N – m g cos 60 ° – F sen 60 ° = 0 N – 2 * 9,8 * 0,5 – 33,94 * 0,866 = 0 N – 9,8 - 29,39 = 0 N = 9,8 + 29,39 N = 39,19 Newton (N) La suma de los ángulos interiores es igual a 180° .

14. Ejemplo (Dinámica) en movimiento • Un auto viaja a 50 millas/hora sobre una autopista horizontal. • Si el coeficiente de fricción entre el camino y las llantas en un día lluvioso es 0,1. • a) Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6 Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6 ∑Fx = m a Fr = m a (Ecuación 1) Pero: Fr = μ N Fr = μ m g Reemplazando en la ecuación 1 μ g = a a = 9,8 μ = 9,8 * 0,6 = 5,88 a = 5,88 m/seg2 ∑Fx = m a Fr = m a (Ecuación 1) Pero: Fr = μ N Fr = μ m g Reemplazando en la ecuación 1 Fr = m a (Ecuación 1) μ g = a a = 9,8 μ = 9,8 * 0,1 = 0,98 a = 0,98 m/seg2 Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6 .

15. Trabajo, Energía y Potencia (Dinámica) La Energía, de alguna manera en física, es la capacidad de realizar Trabajo. En la Figura: El trabajo realizado por la fuerza F, mientras el cuerpo realiza un desplazamiento x, es el producto del desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. O sea, Hay cuatro fuerzas que actúan sobre la caja, Fp, Fr, el peso mg y la normal (que el piso ejerce hacia arriba). El trabajo efectuado por el peso mg y la normal N es cero, porque son perpendiculares al desplazamiento (=90º para ellas). - El trabajo efectuado por Fp es: Wp = Fpxcos = (100 N)(30 m)cos60º = 1500 J. - El trabajo efectuado por la fuerza de fricción Fr es: Wr = Frxcos180º = (20 N)(30 m)(-1) = -600 J. - El ángulo entre Fr y el desplazamiento es 180º porque fuerza y desplazamiento apuntan en direcciones opuestas. El trabajo neto se puede calcular en dos formas equivalentes: Como la suma algebraica del efectuado por cada fuerza:WNETO = 1500 J +(- 600 J) = 900 J. Determinando primero la fuerza neta sobre el objeto a lo largo del desplazamiento: F(NETA)x= Fpcos - Fry luego haciendoWNETO = F(NETA)xx = (Fpcos - Fr)x = (100 Ncos60º - 20 N)(30 m) = 900 J. X (desplazamiento) Ejemplo: Una caja de 40 kg se arrastra 30 m por un piso horizontal, aplicando una fuerza constante Fp = 100 N ejercida por una persona. Tal fuerza actúa en un ángulo de 60º. El piso ejerce una fuerza de fricción o de roce Fr = 20 N. a) Calcular el trabajo efectuado por cada una de las fuerzas Fp, Fr, el peso y la normal. b) Calcular también el trabajo neto efectuado sobre la caja: . Positivo para el trabajo y el calor entregado al sistema. Negativo para el trabajo y el calor cedido por el sistema

16. Trabajo, Energía y Potencia (Dinámica) Positivo para el trabajo y el calor entregado al sistema. Negativo para el trabajo y el calor cedido por el sistema Un objeto en movimiento tiene la capacidad de efectuar trabajo, y por lo tanto se dice que tiene energía. Este trabajo en forma de energía puede expresarse como energía cinética o como energía potencial. La energía total del sistema seria por tanto la suma de estas dos. Et = Ec + Ep. . Energía Cinética

17. Trabajo, Energía y Potencia (Dinámica) Se dice que un objeto tiene energía cuando está en movimiento, pero también puede tener energía potencial, que es la energía asociada con la posición del objeto y se convierte en la contraparte o energía transformada cuando disminuye la energía cinética, Constituyendo este proceso el Principio de Conservación de la Energía, que plantea que la energía ni se crea ni se destruye solo se transforma. Similar ocurre para el caso de la Rotación Energía Cinética en Rotación Energía Potencial en Rotación . Energía Potencial Energía Total en Rotación Energía Total en Translación

18. Trabajo, Energía y Potencia (Dinámica) Potencia: cantidad de trabajo (por tanto energía transformada) realizado por unidad de tiempo, o sea, la rapidez con que se realiza ese trabajo, o bien como la rapidez de transferencia de energía en el tiempo. Expresión análoga a P=F.v en el movimiento de traslación. Ejemplo: Calcule la potencia que requiere un automóvil de 1.200 kg para las siguientes situaciones: a) El automóvil sube una pendiente de 8º a una velocidad constante de 12 m/s.b) El automóvil acelera de 14 m/s a 18 m/s en 10 s para adelantar otro vehículo, en una carretera horizontal. Suponga que la fuerza de fricción o fuerza de retardo es constante e igual a Fr = 500 N SOLUCION. a) A velocidad constante la aceleración es cero, de modo que podemos escribir: F = Fr + mg sen𝛼 F = 500 N + 1200 kg•9,8 m/s2 •sen8° = 2.137 N Usando P = F•v, resulta P = 2.137N•12m/s = 25644 watts, que expresada en hp resulta 34,3 hp. b) La aceleración es (18m/s - 14m/s) / 10s = 0,4 m/s2. Por 2ª ley de Newton, la resultante de las fuerzas externas debe ser igual a ma, (masa por aceleración). ΣFx = F - Fr = maF = 1200kg•0,4m/s2 + 500N = 980 N La potencia requerida para alcanzar los 18 m/s y adelantar es P = Fv = 980N•18m/s = 17.640 watts ó 23,6 hp. . F denota la fuerza que impulsa al auto.