FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

1. FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES Elaboré par M. NUTH Sothan Fonction de plusieurs variables

2. I. Notion Ex.1: L’aire d’un triangle de base x et de hauteur y est une fonction de deux variables. Le domaine de définition est x > 0 et y > 0. y x Fonction de plusieurs variables

3. I. Notion (suite) Ex.2: L’équation de sphère ou , (R=1) est une fonction de deux variables. z y o x Fonction de plusieurs variables

4. I. Notion (suite) Ex.3: Le volume d’un parallélépipède rectangle V = xyzest une fonction de trois variables. z o y x Fonction de plusieurs variables

5. I. Notion (suite) Soit U=f(x, y, z).Si z=c , alors U=f(x, y, c)est une fonction de deux variables. Si y=b et z=c , alors U=f(x, b, c)est une fonction d’une variables. Ainsi, on peut considérer la fonction U=f(x, y, z)comme une fonction d’une seule variable, de deux variables et de trois variables. L’image géométrique d’une fonction z=f(x, y)est une surface dans l’espace. Fonction de plusieurs variables

6. I. Notion (suite) A chaque couple (x, y) de  correspond une certaine valeur de z. A tout point N(x, y, 0) , on fait corres-pondre un point M(x, y, z) appartenant au graphe de la fonction et constitu-ant l’extrémité de la perpendiculaire NM menée au plan Oxy. Fonction de plusieurs variables

7. I. Notion (suite) Si le point N parcourt toutes les positions possibles couvrant la totalité de la région , le point M qui lui lié, décrira dans le cas générale une certaine surface P de l’espace qui surplombe la région . Z M(x, y, z) O Y X N(x, y, 0) P est le toit construit au-dessus de la surface . Fonction de plusieurs variables

8. I. Notion (suite) Définition1 : On appelle ligne de niveau d’une fonction z=f(x, y)l’ensemble des points du plan Oxyen lesquels cette fonction a une seule et même valeur. On note : f(x, y)=c. Fonction de plusieurs variables

9. I. Notion (suite) Ex.: Si z=1, on obtient C’est un cercle de rayon R=1. y z=1 z=2 z=3 o x Si z=2, on obtient C’est un cercle de rayon R= Fonction de plusieurs variables

10. I. Notion (suite) Définition2  : On appelle la surface de niveau d’une fonction U=f(x, y, z)l’ensemble des points des l’espace Oxyz en lesquels cette fonction a une seule et même valeur. On note : f(x, y, z)=c. Fonction de plusieurs variables

11. II. Continuité : Soit z=f(x, y). L’ensemble des valeurs (x, y) est appelé un point. Ainsi z est une fonction d’un point. Soit xun accroissement de variable x. Soit yun accroissement de variable y. Alors (1) • est appelé accroissement partiel de f(x, y)par rapport à la variable x. Fonction de plusieurs variables

12. II. Continuité (suite) Analogiquement ( 2) est appelé accroissement partiel de f(x, y)par rapport à la variable y. Enfin ( 3) est appelé accroissement total de f(x, y). Remarque : Fonction de plusieurs variables

13. II. Continuité (suite) Ex. : Calculer l’accroissement de la fonction si x varie de 2 à 2,2 et y varie de 1 à 0,9. On a et et Fonction de plusieurs variables

14. II. Continuité (suite) Définition1 : On dit qu’une fonction f(x, y)est continue en point (x0, y0) si : 1. Elle est définie en ce point et celui-ci est un point limite du domaine d’existence de cette fonction 2. Aux accroissements infiniment petits des variables x et y correspond un accroissement infiniment petit de la fonction f(x, y) : Fonction de plusieurs variables

15. II. Continuité (suite) Définition2 : On dit qu’une fonction f(x, y)est continue sur un domaine donné si elle est continue en tout point de ce domaine: Fonction de plusieurs variables

16. II. Continuité (suite) Ex. : Le domaine de définition: De (5) on obtient: où  est un infiniment petit quant x0 et y0 . On peut dire que la fonction f(x, y) est continue si Fonction de plusieurs variables

17. III. Dérivées partielles premières: Soit z=f(x, y). On a Définition1 : est une dérivée partielle première par rapport à la variable x de f(x,y). On note : Fonction de plusieurs variables

18. III. Dérivées partielles premières (suite): Définition2 : est une dérivée partielle première par rapport à la variable x de f(x,y). On note : Fonction de plusieurs variables

19. III. Dérivées partielles premières (suite): Remarque: Si on calcule y est considérée comme constante. Si on calcule x est considérée comme constante. On peut écrire aussi: Fonction de plusieurs variables

20. III. Dérivées partielles premières (suite): Si y=constant , alors on obtientxqui représente la section de la surface P par un plan correspondant parallèle au plan Oxz: Analogiquement, six=constant , alors on obtientyqui représente la section de la surface P par un plan correspondant parallèle au plan Oyz: Fonction de plusieurs variables

21. III. Dérivées partielles premières (suite): Z  M(x, y, z) Y’ Y  O N(x, y, 0) y X X’ x Fonction de plusieurs variables

22. IV. Différentielle totale Soit y=f(x) . On a l’accroissement y=f(x) . On peut écrire: et Soit z=f(x, y) . On a: D’après (1), on a: Fonction de plusieurs variables

23. IV. Différentielle totale (suite): où A et B sont constantes et est dite partie linéaire. Donc, il existe les dérivées partielles. En effet, si , alors: Fonction de plusieurs variables

24. IV. Différentielle totale (suite): On a ainsi, d’après (2): Ou Définition1 : Définition2: De plus Où  et  sont infiniment petits si x0, y0 Fonction de plusieurs variables

25. IV. Différentielle totale (suite): Ex.: Calculer la différentielle de la fonction z=xy. On peut considérer z comme l’aire d’un rectangle de coté x et y. Soit x l’accroissement au côté x. Soit y l’accroissement au côté y. Donc Fonction de plusieurs variables

26. IV. Différentielle totale (suite): Th.1 : Corollaire: Une fonction donnée ne possède qu’une seule différentielle. Th.2 : La fonction z=f(x,y) est différentiable dans un domaine donné, si elle possède les dérivées partielles continues. Fonction de plusieurs variables

27. IV. Différentielle totale (suite): Ex.1: On a Remarque : Soit u=f(x, y, z). Fonction de plusieurs variables

28. IV. Différentielle totale (suite): Ex.2: On a Fonction de plusieurs variables

29. IV. Différentielle totale (suite): Si l’accroissement x et y sont suffisamment petit, alors peut être remplacée par On peut donc écrire: Fonction de plusieurs variables

30. IV. Différentielle totale (suite): Ex. : On considère un rectangle de côté x=6 et y=8. Quelle sera la variation de la diagonale de ce rectangle si x est augmenté de 0,05 et y est diminué de 0,1 ? La diagonale du rectangle est On a Fonction de plusieurs variables

31. V. Dérivation des fonctions composées: Si f=f(x, y), x=(u,v) et y= (u,v),alors les dérivées partielles de f par rapport à u et v s’expriment de la manière suivante: Fonction de plusieurs variables

32. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée: Soit u=f(x, y) définie sur . Considérons M(x, y)   et la direction l = (cos , cos ) où  = (l, Ox) et  = (l, Oy) Lorsque M(x, y)    M’(x+∆x, y +∆y) par la direction l la fonction u=f(x, y) varie d’une quantité ∆l u= f(x+∆x, y+∆y) – f(x, y) (1) Fonction de plusieurs variables

33. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): qui s’appelle l’accroissement de u=f(x, y) dans la direction l . Si MM’= ∆l est le déplacement du point M(x, y), d’après du triangle MPM’, on a ∆x = ∆l cos  , ∆y = ∆l cos  (2) Par suite ∆l u= f(x+ ∆x, y+ ∆y) – f(x, y) = f(x+∆l cos, y+∆l cos ) – f(x, y) Fonction de plusieurs variables

34. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Fonction de plusieurs variables

35. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Définition: La dérivée d’une fonction u=f(x, y) dans la direction donnée l est: D’après cette définition, on peut considérer Comme la dérivée de u=f(x, y)dans la direction positives de l’axe Ox. Fonction de plusieurs variables

36. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Et comme la dérivée de u=f(x, y)dans la direction positives de l’axe Oy. La dérivée est la vitesse de variation de la fonction u=f(x, y) dans la direction l . Supposons que u=f(x, y)est dérivable Fonction de plusieurs variables

37. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Où 10 et 20 quant x0 et y0. D’après (2), on a: Quant l0 (y0 et x0), on a: Fonction de plusieurs variables

38. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Ex. : Calculer l’accroissement de la fonction lorsque M(1, 2) se déplace d’une distance ∆l =0,1 dans la direction l faisant un angle avec la direction positive de l’axe Ox. Quelle est la valeur de la dérivée au point M ? Fonction de plusieurs variables

39. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): On a: tg=3/4 et 0<</4. D’où par suit: Enfin: Fonction de plusieurs variables

40. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Alors: Ainsi, le point M’(x1, y1) : x1 =x+x=1+0,08=1,08 y1 =y+y=2+0,06=2,06 Et l’accroissement de u : lu= (1,082 +2.1,08.2,06-2,062 )-(12 +2.1.2-22 ) = 1,3724-1=0,3724 Fonction de plusieurs variables

41. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Et Par ailleurs: Et donc: Fonction de plusieurs variables

42. VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Remarque : La dérivée de la fonction dans la direction à pour l’expression: Fonction de plusieurs variables

43. VII. Gradient: Définition1: On dit qu’un champ scalaire est définie dans un domaine  , si  M est donné un certain scalaire u = f (M) (1) Ex.: Le champ de température, c’est-à-dire la distribution de la température dans un corps échauffé, est un champ scalaire. Si M(x, y) dans un plan Oxy, donc le champ scalaire u = f(x, y), (x, y) (2) Fonction de plusieurs variables

44. VII. Gradient (suite): Définition2: On dit qu’un champ vectoriel est définie dans un domaine  , si  M est associé un certain vecteur Ex. : Le champ de vitesse, à l’instant donnée, des points d’un courent de fluide … etc. sont des champs vectoriels. Pour le cas d’un champ vectoriel plan (3), on a Fonction de plusieurs variables

45. VII. Gradient (suite): D’où sont des coordonnées de . De façon analogue, pour le cas d’un champ vectoriel dans l’espace, on obtient Fonction de plusieurs variables

46. VII. Gradient (suite): Définition3: L’ensemble des points M pour lesquels le champ scalaire (1) conserve une valeur constante f (M) = const. est appelé surface (ou ligne) de niveau du champ scalaire. Définition4: Soit u=f(x, y)(8) un champ scalaire plan dérivable. Alors le vecteur est appelé gradient de ce champ. Fonction de plusieurs variables

47. VII. Gradient (suite): On peut écrire: sont vecteurs unitaires suivants Ox et Oy. De même, dans l’espace u=f(x, y, z)(8’) à pour le gradient: Ainsi, le champ scalaire engendre un champ vectoriel, appelé champ de gradients. Fonction de plusieurs variables

48. VII. Gradient (suite): Définition5: On appelle dérivée du champ scalaire (8’) dans une direction donnée l l’expression: sont les cosinus directeurs du vecteur l . Fonction de plusieurs variables

49. VII. Gradient (suite): Th.: La dérivée d’un champ scalaire dans une direction donnée est égale à projection du gradient de ce champ sur cette direction: Fonction de plusieurs variables

50. VII. Gradient (suite): Fonction de plusieurs variables