Fondements – avenir incertain

1. Fondements – avenir incertain Professor André Farber Solvay Business School Université Libre de Bruxelles

2. Rappel: Certitude – 1 période Valeur actuelle: Critères de choix d’investissement: Interprétation de la VAN: Mesure l’accroissement de richesse des propriétaires de l’entreprise Indépendante des préférences de choix intertemporels Valeur de l’entreprise: Non endettée: Endettée: DESG 2 Incertitude

3. Introduction de l’incertitude • Deux approches possibles: • Source d’incertitude = états de la « nature » (Arrow 1953) Applications contemporaines: actifs dérivés • Rentabilités financières = variable aléatoires distribuées selon loi normale (Markowitz 1952) • Aujourd’hui: analyse dans le cadre d’états de la nature • TEMPS: 1 période • INCERTITUDE: Une seule source d’incertitude: la conjoncture • 2 états possibles: • Bonne conjoncture b Probabilité: p • Mauvaise conjoncture m Probabilité: 1-p DESG 2 Incertitude

4. Exemple Taux d’intérêt sans risque rf Cash flow attendu Rentabilité attendue de l’action DESG 2 Incertitude

5. Actifs financiers Taux d’intérêt sans risque rf Cash flow attendu Rentabilité attendue de l’action DESG 2 Incertitude

6. Evaluation de l’action • Le prix de l’action est égale à la valeur actuelle • du cash flow • actualisé au taux de rentabilité attendue DESG 2 Incertitude

7. Evaluation d’un actif nouveau Evaluation par comparaison: est-il possible de reproduire l’actif nouveau en combinant l’obligation et l’action? Nous devons résoudre le systéme d’équations suivant: Solution: nZC = 0.54 nS = - 0.27 La valeur du portefeuille est donc: V = 0.54 ×100 + (-0.27) × 50 = 40.6 Conclusion: la valeur de l’actif nouveau est V = 40.6 Sinon, ARBITRAGE DESG 2 Incertitude

8. Titres contingents / Options digitales Une option digitale est un titre qui paie 1 dans un état du monde, 0 autrement. (also known as Arrow-Debreu securities, contingent claims) 2 états→ 2 options D Evaluation nZC = -0.0032 nA = 0.0133 nZC = 0.0127 nA = -0.0133 vu = 0.35 vd = 0.60 Les prix d’options digitales sont appelés prix des titres contigents, prix d’états DESG 2 Incertitude

9. Prix de titres contingents A l’équilibre, le prix payé pour recevoir 1€ dans un état du monde doit être le même dans les deux titres Dans le cas contraire, il y aurait une possibilité d’arbitrage • Un portefeuille d’arbitrage est un portefeuille: • - dont la valeur est négative ou nulle (vous ne payez rien ou, mieux encore, vous êtes payé pour détenir ce portefeuille) • dont la valeur est positive dans au moins un des états du monde et nulle dans les autres. L’absence d’arbitrage est l’une des conditions les plus générale d’équilibre (dans un marché à l’équilibre, pas de repas gratuit!) DESG 2 Incertitude

10. Théorème fondamental Dans un marché complet (nombre d’actifs = nombre d’états), la condition d’absence d’arbitrage (NA) est satisfaite si et seulement si il existe des prix d’états strictement positifs tels que: Dans notre exemple: Valuing Asset 3: Expected return: DESG 2 Incertitude

11. A more general formulation: DESG 2 Incertitude

12. Utilisation des prix d’états Une fois connus les prix d’états, l’évaluation est simple: La valeur d’un actif générant des cash flows futurs C1bet C1mest: La valeur actuelle d’un projet de coût I qui rapporte C1b ou C1m DESG 2 Incertitude