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Planos

Planos. Definição. Seja A(x0,y0,z0) є π e um vetor n=(a,b,c), n ≠ 0 ortogonal ao plano O plano π é o conjunto de pontos P(x,y,z) do espaço tais que AP é perpendicular a n, isto é P є π  AP . n = 0. (x-x0,y-y0,z-z0).(a,b,c)=0 => a(x-x0) + b(y-y0)+c (z-z0)=0=> ax +by+cz –ax0-by0-cz0=0

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Presentation Transcript

  1. Planos

  2. Definição • Seja A(x0,y0,z0) є π e um vetor n=(a,b,c), n ≠ 0 ortogonal ao plano • O plano π é o conjunto de pontos P(x,y,z) do espaço tais que AP é perpendicular a n, isto é P є π  AP . n = 0

  3. (x-x0,y-y0,z-z0).(a,b,c)=0 => a(x-x0) + b(y-y0)+c (z-z0)=0=> ax +by+cz –ax0-by0-cz0=0 • Fazendo –ax0-by0-cz0=d temos ax +by+cz +d=0 • Esta é a equação Geral do plano

  4. Exercício • Determine a equação geral do plano π1 paralelo ao plano π2: 2x-3y-z+5 e que tem o ponto A(4,-1,2)

  5. Exercício • Achar a equação do plano π perpendicular à reta r:x=2y-3; z=-y+1 e contém o ponto A(1,2,3)

  6. Exercício • Achar a equação geral do plano π mediador do segmento de extremos A(1,-2,6) e B(3,0,0)

  7. Exercício • Achar a equação geral do plano π que é paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1)

  8. Equações Paramétricas • Seja A(x0,y0,z0) um ponto de um plano π e u =(a1,b1,c1) e v(a2,b2,c2) dois vetores não colineares pertencentes a π • Um ponto P(x,y,z) pertence ao plano π que passa por A e é paralelo aos vetores u e v se e somente se existem números reais h e t tais que AP= hu+tv

  9. Equações Paramétricas • (x-x0,y-y0,z-z0)=h(a1,b1,c1)+t(a2,b2,c2)

  10. Exercício • Achar a equação geral do plano que contém os pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1), e C(1,1,-1)

  11. Exercício • Achar a equação geral do plano π1 que contém os pontos A(1,-2,3) e B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano π2 2x+y-z+8=0

  12. Exercício • Determinar a equação geral do plano que contém as retas r1:x=-3+t,y=-t,z=4 e r2:(x+2)/2=(y-1)/-2;z=0

  13. Exercício • Achar a equação geral do plano xOz

  14. Ângulo entre dois planos • Sejam os planos π1 e π2 • π1: a1x+b1y+c1z+d1=0 • π2: a2x+b2y+c2z+d2=0 • Então n1=(a1,b1,c1) e n2=(a2,b2,c2) são os vetores normais de π1 e π2 respectivamente

  15. Definição • O ângulo teta entre π1 e π2 é o menor ângulo formado pelos vetores n1 e n2 • Assim cos teta = |n1.n2|/(|n1||n2|) com 0<=teta<=π/2

  16. Exercício • Determinar o ângulo entre os planos π1 3x+2y-6=0 e π2 o plano xOz

  17. Ângulo de uma reta com um Plano • Seja r uma reta com vetor diretor v e π um plano com vetor normal n n θ Φ

  18. Φ é o ângulo entre a reta r e o plano π • Φ=90º-θ, onde θ é o ângulo entre n e v • Como Φ+θ=π/2 segue que cosθ = sen Φ

  19. Cos θ=sen Φ = |n.v|/(|n||v|) • 0<= Φ <=90º

  20. Observação • Se r//π então v é ortogonal a n • Se r é ortogonal a π então v//n

  21. Exercício • Determinar o ângulo formado pela reta r:y=-2x,z=2x+1 e o plano p:x-y+5=0

  22. Exercício • Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é paralela a cada um dos planos p1:2x-y-z+1=0 e p2:x+3y+z-5=0

  23. Condições para que uma reta esteja contida em um plano • Uma reta está contida num plano se: • 1) r//p e um ponto A є r e também є p • 2) se dois pontos A1, A2 є r também є p

  24. Exercício • Calcular o valor de m e n para que a reta r: y=2x-3,z=-x+4 esteja contida no plano p nx+my-z-2=0

  25. Interseção de 2 Planos • Considere planos não paralelos p1:3x-y+z-3 e p2:x+3y+2z+4=0 • Se A(x,y,z) є p1 interseção p2 então A є p1 e A є p2 • Isto significa que A satisfaz a equação dos 2 planos simultaneamente

  26. A é solução do sistema • 3x-y+z-3=0 • X+3y+2z+4=0

  27. A é solução do sistema • 3x-y+z-3=0->z=3-3x+y • X+3y+2z+4=0

  28. A é solução do sistema • 3x-y+z-3=0->z=3-3x+y • X+3y+2z+4=0->x+3y+6-6x+2y+4=0 • =-5x+5y+10=0 • Escolhendo x como variável livre • Y=x-2

  29. Substituindo em z->z=-2x+1 logo • Y=x-2 • Z=-2x+1 • São as equações reduzidas da reta interseção dos planos p1 e p2

  30. Exemplo • Determinar as equações paramétricas da reta r interseção dos planos p1:2x+y-2=0 e p2:z=3

  31. Interseção de reta com Plano • Quer-se encontrar o ponto de interseção da reta r:x=2y-3=(2z-3)/3 e o plano p:2x-y+3z-9=0 • X=2y-3-> y=(x+3)/2 • X=(2z-3)/3->z=(3x+3)/2 • Substituindo na equação do plano

  32. 2x-y+3z-9=0->2x-x/2-3/2+9x/2+9/2-9=0 • ->6x-6=0->x=1 • X=1->y=2,z=3 • Logo o ponto A(1,2,3) pertence à reta r e ao Plano p

  33. Exercício • Determine a interseção da reta r:x=t,y=1-2t,z=-t; e o plano p:2x+y-z-4=0

  34. Exercício • Determinar os pontos de interseção da reta r:y=2x-3,z=-x+2 com os planos coordenados

  35. Exercício • Seja a reta r:x=3+t,y=1-2t,z=-1+2t; • Quais as equações reduzidas da projeção de r sobre o plano xOy? • Qual o ângulo que r forma com o plano xOy?

  36. Exercício • Estabelecer as equações da reta que passa por A(3,6,4), intercepta o eixo z e intercepta o plano p:x-3y+5z-6=0

  37. Exercício • O plano p: x+y-z-2=0 intercepta os eixos coordenados nos pontos A, B, C • Calcular a área do triângulo ABC

  38. Fim

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