ÁNGULOS PLANOS

1. ÁNGULOS PLANOS

2. Ángulos Planos CONTENIDO DE LA PRESENTACIÓN. Definiciones. Ángulos alternos- internos, exteriores y delados perpendiculares Medidas de ángulos Operaciones con ángulos Ángulos en la circunferencia Ángulos centrales Ángulos inscritos Ángulos semi-inscritos Ángulos interiores Ángulos exteriores

3. Algunos ángulos especiales: Ángulo recto, que es el ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Ángulo llano,  cuando las dos semirrectas que lo definen tienen la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Barre un semiplano, esto es, la mitad del plano. Ángulo completo, que es el ángulo que abarca todo el plano. Los ángulos convexos siempre son menores que el ángulo llano. Los ángulos cóncavos por el contrario, son siempre mayores que el ángulo llano. Se llaman ángulos agudosa los que son menores que un ángulo recto. Se llaman ángulos obtusosa aquellos ángulos convexos (menores que un ángulo llano) que son mayores que un ángulo recto. Dos ángulos se llaman complementariossi suman 90º, un ángulo recto. Dos ángulos se llaman suplementariossi suman 180º, un ángulo llano. DEFINICIONES Un ánguloes la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Observa en la siguiente figura que dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Al ángulo A se le llama ángulo convexo, mientras que el ángulo B es cóncavo.

4. Igualdad de ángulos Igualdad de ángulos:Dos ángulos son iguales cuando al efectuar un movimiento, que hace coincidir los vértices, los lados coinciden. Una definición métrica:La igualdad de segmentos permite saber si dos ángulos son iguales sin necesidad de medirlo (transportador), ni de efectuar un movimiento. Con igual radio, trazamos dos arcos con centros en los vértices O y O’. Trazamos las cuerdas AB y A’B’. Si los ángulos a y b son iguales también los serán las cuerdas AB y A’B’. Recíprocamente, si las cuerdas AB y A’B’ son iguales también lo serán los ángulos a y b.

5. Ángulos de lados paralelos Ángulos de lados paralelos: Los ángulos de lados paralelos son: IGUALES: si ambos son agudos o ambos obtusos SUPLEMENTARIOS: si uno es agudo y el otro obtuso Particularmente importante es la igualdad de ángulos alternos internos y opuestos por un vértice. APLICACIÓN: La suma de ángulos de un triángulos es 180º

6. Ángulos de lados perpendiculares Ángulos de lados perpendiculares: Los ángulos de lados perpendiculares son: IGUALES: si ambos son agudos o ambos obtusos SUPLEMENTARIOS:si uno es agudo y el otro obtuso

7. MEDIDA DE ÁNGULOS: Grado Medida de ángulos: el sistema sexagesimal. Se llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del ángulo que resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por tanto, el ángulo recto mide 90º. El transportador de ángulos. El transportador de ángulos es una herramienta de dibujo que nos permite medir y también construir ángulos. Consiste en un semicírculo graduado con el que podemos medir ángulos convexos (hasta 180º) Divisores del grado. Existen dos métodos para conseguir mayor precisión en la medida de un ángulo: el sistema decimal, que consiste simplemente en obtener decimales del grado, que es el método que utiliza el transportador de ángulos, o el sistema sexagesimal, que consiste en dividir el grado en 60 partes, en 60 minutos (60'); y cada minuto, en 60 segundos (60'').

8. MEDIDA DE ÁNGULOS: Radián Medida de ángulos: el radián. Se llama radián, a la medida del ángulo que comprende un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia. Por tanto el ángulo completo mide 2p radianes.

9. OPERACIONES CON ÁNGULOS: LA SUMA Suma de ángulos en el sistema sexagesimal. La medida de los ángulos, igual que la del tiempo, se realiza en el sistema sexagesimal. 2º  48'  35" +  2º  45'  30"   4º  93'  65" Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así: 4º  94'  5" De la misma forma, 94' equivalen a 1º y 34 minutos. Luego la suma es: 5º  34'  5"

10. OPERACIONES CON ÁNGULOS: LA RESTA Resta de ángulos en el sistema sexagesimal. Debemos hacer la siguiente operación: 3º   0'   0" -  2º  48'  35"   Igual que en la suma, deberíamos restar por separado los grados, los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos un grado en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 grados se convierten en 2h 59' 60". 2º  59'  60" -  2º  48'  35"   0º 11‘ 25"

11. OPERACIONES CON ÁNGULOS:EL PRODUCTO POR UN NÚMERO NATURAL Multiplicación de un ángulo por un número natural. Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior. 18º  26'  35" x  3    54º  78' 105" Pero 105" = 1' 45", luego 54º  79'  45" Pero 79' = 1º 19', luego 55º 19' 45"

12. OPERACIONES CON ÁNGULOS:LA DIVISIÓN POR UN NÚMERO NATURAL División de un ángulo por un número natural. Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.

13. Ángulos en la Circunferencia

14. Existe una relación muy estrecha entre un ángulo central y el arco de circunferencia que abarca. De hecho, en lo sucesivo, nos referiremos a la amplitud de un arco en lugar de a su longitud y definiremos la amplitud del arco como la medida del ángulo central que lo comprende. ÁNGULOS CENTRALES Llamaremos ángulo centrala cualquier ángulo cuyo vértice esté en el centro de una circunferencia.

15. El valor de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del valor del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia. ÁNGULOS INSCRITOS Llamaremos ángulo inscritoen una circunferencia a cualquier ángulo cuyo vértice esté en la misma circunferencia y sus lados sean cuerdas de esa circunferencia.

16. El valor de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia es la mitad del valor del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia. ÁNGULOS SEMI-INSCRITOS Llamaremos ángulo semi-inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo cuyo vértice esté en la misma circunferencia y uno de sus lados sea la tangente a la circunferencia en el vértice y otro una cuerda con origen en el vértice.

17. El valor de un ángulo interior a una circunferencia es la mitad de la suma de los valores de los ángulos centrales que abarcan los mismos arcos de circunferencia que el ángulo interior y el obtenido prolongando sus lados. ÁNGULOS INTERIORES Llamaremos ángulo interior a una circunferencia a cualquier ángulo cuyo vértice esté en el interior de la circunferencia. Los ángulos centrales son un caso particular de ángulos interiores.

18. El valor de un ángulo exterior a una circunferencia es la mitad de la resta de los valores de los ángulos centrales que abarcan los mismos arcos de circunferencia que el ángulo exterior. ÁNGULOS EXTERIORES Llamaremos ángulo exterior a una circunferencia a cualquier ángulo cuyo vértice esté en el exterior de la circunferencia y sus lados sean rectas secantes o tangentesa la misma.

19. Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)En la siguiente diapósitiva

21. Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada(figuras de GeoGebra)(http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/)En la siguiente diapósitiva