Cena Slovak Telekom

Cena Slovak Telekom FUNKCIE - elektronická zbierka úloh RNDr. Marta Mlynarčíková – učiteľka matematiky Barbora Kuffová – žiačka 4. A triedy Miroslava Špirková – žiačka 4. A triedy Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku • prácu predkladáme ako spoločný projekt žiakov a učiteľa, ktorý sme vytvorili v školskom roku 2007/2008 v rámci Stredoškolskej odbornej činnosti • kompletná zbierka úloh ako aj celá práca SOČ je dostupná na stránke http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/soc_eucys_amavet.html

Prečo sme sa rozhodli vytvoriť zbierku úloh z učiva o funkciách • Funkcie sú v matematike na gymnáziách zastúpené v každom ročníku, • postupne sa preberajú jednotlivé elementárne funkcie, ich vlastnosti • a grafy. • Napriek tomu, že úlohy sú pri každom type funkcií v princípe rovnaké, robí • ich riešenie žiakom často problémy. • Príčinu vidíme aj v tom, že v učebniciach sú len zadania úloh a ich • výsledky a niektorí žiaci úlohy bez pomoci učiteľa nevedia riešiť. • Bezradnosť pri riešení úlohy ako aj chýbajúca možnosť kontroly správnosti • postupu riešenia mnohých žiakov odrádza a nemotivuje riešiť ďalšie • príklady. Pritom by im na vyriešenie úlohy možno stačila len malá pomoc. • Preto sme sa v našej práci rozhodli vytvoriť zbierku úloh, ktorá okrem • zadaní a výsledkov obsahuje aj návod na riešenie a potrebné základné • vzorce a grafy.

Ako je spracovaná zbierka úloh • Naša zbierka obsahuje úlohy, ktoré sú vypracované v programe • PowerPoint s využitím grafického programu Graphmatica. • Každá úloha je spracovaná na niekoľkých farebne odlíšených • prezentačných snímkach. • Na jednotlivé snímky sa možno dostať kliknutím na hypertextové odkazy • na úvodnej snímke každej úlohy, ktoré majú logickú postupnosť: • Zadanie úlohy - Výsledok - Vzorce, grafy - Návod na riešenie - Úplné • riešenie úlohy • Výber úloh sme sa snažili urobiť tak, aby boli zastúpené všetky druhy • funkcií podľa učebných osnov pre gymnázia a všetky základné typy úloh. • Mnohé úlohy sú vymyslené (najmä úlohy na zostrojenie grafov funkcií). • Zadania niektorých úloh sme prebrali z literatúry, ale riešenia a návody • sme vypracovali samostatne.

Štruktúra a charakteristika jednotlivých snímok každej úlohy • 1. snímka – Zadanie úlohy obsahuje zadanie úlohy. Pri úlohách s výberom • odpovede aj s ponukou odpovedí, z ktorých práve jedna je správna. Pri • prevzatých úlohách je uvedený zdroj. • 2. snímka – Výsledok je určená žiakom, ktorí úlohu vedeli riešiť samostatne • a potrebujú si len overiť správnosť svojho riešenia. Pri úlohách na zostrojenie • grafu funkcií je znázornený výsledný graf , pri výpočtových úlohách len • číselný výsledok, pri slovných úlohách slovná odpoveď. • 3. snímka – Vzorce, grafy obsahuje základné vzorce a grafy potrebné na • riešenie danej úlohy. • 4. snímka – Návod na riešenie je určená žiakom, ktorí nevedia úlohu • samostatne riešiť. Na tejto snímke sa postupne po každom kliknutí objaví • slovný návod ako treba úlohu riešiť. Niektorí žiaci budú možno potrebovať • len časť návodu, iní vyriešia úlohu postupným vykonávaním všetkých krokov • v návode.

5. snímka – Úplné riešenie úlohy je určená najslabším žiakom, ktorí sa môžu naučiť riešiť úlohy preštudovaním úplného riešenia. Pri úlohách na zostrojenie grafov funkcií sú obrázky s grafmi animované tak, že vzniká efekt postupného vykresľovania grafov. Jednotlivé grafy sú farebne odlíšené a spolu s grafom sú šípkami rovnakej farby znázornené posuny grafu. Po nakreslení grafu sú uvedené všetky vlastnosti funkcie. Pri úlohách s výberom odpovede je okrem správnej odpovede uvedený aj postup riešenia úlohy, prípadne zdôvodnenie vylúčenia nesprávnych odpovedí. Žiaci, ktorí vedeli úlohu riešiť samostatne si na tejto snímke môžu porovnať svoje riešenie s uvedeným riešením.

Možnosti využitia zbierky: • Zbierku úloh možno použiť na precvičovanie učiva o funkciách podľa • jednotlivých typov funkcií. • V elektronickej podobe sa môže zbierka používať z CD nosiča, • alebo môže byť sprístupnená na internetovej stránke. • V tejto podobe je určená najmä na samostatnú domácu prácu žiakov, • alebo precvičovanie riešenia úloh na hodine v škole v učebni • vybavenej počítačmi. • Pri práci so zbierkou úloh pri počítači je len na žiakovi ako bude • s úlohami pracovať, v akom poradí bude otvárať jednotlivé snímky • v prezentácii riešenia úlohy. • Zbierka môže byť dobrou pomôckou aj pri príprave na maturitnú • skúšku alebo prijímacie pohovory na vysokú školu.

Možnosti využitia vytlačenej zbierky: • Jednotlivé snímky z prezentácie úlohy v PowerPointe sa dajú vytlačiť • na papier, rozstrihať na kartičky a všetky kartičky patriace k jednej • úlohy vložiť do obálky. • Takto možno zbierku použiť aj bez počítačov v bežnej triede. • Kartičky vytlačené z našej zbierky majú oproti ručne písaným kartičkám • krajšiu grafickú podobu a jednotnú úpravu. Bolo by dobré, ak by sa najmä • úlohy na zostrojenie grafov funkcií vytlačili farebne. Pri čiernobielej tlači • môže byť obrázok neprehľadný. • Pri vytlačení riešenia na papier sa pochopiteľne nebudú grafy • zostrojovaných funkcií zobrazovať postupne ako to umožňujú animácie • v PowerPointe.

Možnosti využitia vytlačenej zbierky • Vytlačená zbierka umožňuje oproti elektronickej aj ďalšie spôsoby • použitia. • Ak sa z obálok vyberú len kartičky so zadaním úloh, môže ich učiteľ použiť • pri ústnom alebo písomnom skúšaní. • Kartičky so zadaním a výsledkom (prípadne aj návodom a vzorcami) • môže učiteľ rozdať ako domácu úlohu a na nasledujúcej hodine si žiaci • z kartičky s úplným riešením skontrolujú svoje riešenie a prípadne sa • dozvedia iný spôsob riešenia úlohy.

Ako bola zbierka doteraz využitá • Naša zbierka bola v minulom školskom roku použitá pri vyučovaní • tematických celkov Mocninové funkcie, Exponenciálne a logaritmické • funkcie v 2. B triede našej školy. Učivo o exponenciálnych a logarit- • mických funkciách bolo v tejto triede odučené metódou blended • learningu (zmiešané vzdelávanie, v ktorom sa kombinuje klasické • prezenčné vyučovanie s prvkami e-learningu). Naša zbierka je • zaradená v kapitole Zbierka riešených úloh v komplexnom • výučbovom hypertexte FUNKCIE • ( http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/funkcie/funkcie_obsah.html ). • Nakoľko je zbierka voľne prístupná na webovej stránke, využívajú ju aj • ostatní žiaci pri domácej príprave na vyučovanie. • Názory žiakov na našu zbierku sme v práci SOČ zisťovali aj anketou – • výsledky ankety sú súčasťou práce SOČ • ( http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/soc_eucys_amavet.html ).

Obsah a štruktúra zbierky • Zbierka je rozdelená do štyroch kapitol: Lineárne a kvadratické funkcie, • Goniometrické funkcie, Mocninové funkcie, Exponenciálne a logaritmické • funkcie. • Zbierka v súčasnosti obsahuje 55 riešených úloh a je doplnená aj základnými • teoretickými poznatkami, ktoré sú potrebné na riešenie úloh - Definície • vlastností funkcií, Prehľady grafov funkcií a ich vlastností. • Do zbierky je zaradených aj 13 úloh, ktoré spracovali žiaci spomínanej 2.B • triedy – pri týchto úlohách je uvedené meno žiaka, ktorý ju vypracoval. • Žiaci tejto triedy dostali za domácu úlohu do prázdnej šablóny v PowerPointe • vypracovať jeden príklad z učiva o mocninových, exponenciálnych a • logaritmických funkciách rovnakým spôsobom ako boli nami spracované • úlohy. • Výhodou elektronickej zbierky je aj to, že ju možno kedykoľvek doplniť • o ďalšie úlohy. Bolo by vhodné doplniť napr. príklady na derivácie a • integrály funkcií. Podobné zbierky by sa dali vytvoriť aj z iného učiva.

Ukážky spracovania úloh z elektronickej zbierky • Celá zbierka bola kvôli prepojeniu jednotlivých kapitol a úloh • hypertextovými odkazmi vytvorená ako jedna prezentácia v PowerPointe. • Jej veľkosť je 9,3 MB t. j. presahuje povolené 3 MB na práce tejto súťaže. • V nasledujúcich snímkach tejto prezentácie preto nie je kompletná zbierka • ale iba jej úvodné snímky a ukážky niekoľkých úloh. • V zozname úloh jednotlivých kapitol, sme nechali všetky úlohy, hypertextové • odkazy na niektoré úlohy preto nebudú funkčné. Nefunkčné odkazy sú • označené symbolom x . • Kompletná zbierka je dostupná na webovej stránke • http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/soc_eucys_amavet.html

Autorky SOČ: Barbora Kuffová Miroslava Špirková Definície vlastností funkcií Prehľady grafov funkcií a ich vlastností x Konzultantka: RNDr. Marta Mlynarčíková FUNKCIE- elektronická zbierka úloh Lineárne a kvadratické funkcie Goniometrické funkcie Mocninové funkcie Exponenciálne a logaritmické funkcie

Lineárne a kvadratické funkcie č. 1: slovná úloha o stoličke č. 2: lineárna funkcia s 2 absolútnymi hodnotami x č. 3: lineárna rovnica s 2 absolútnymi hodnotami a parametrom č. 4: funkcia s absolútnou hodnotou x č. 5: funkcia s absolútnou hodnotou x č. 6: graf kvadratickej funkcie x č. 7: graf kvadratickej funkcie x č. 8: graf kvadratickej funkcie – úloha s výberom odpovede x č. 9: grafy lineárnych a kvadratických funkcií – priraďovacia úloha x č. 10: graf funkcie s 2 absolútnymi hodnotami- úloha s výberom odpovede x č. 11: graf kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotou č. 12: slovná úloha o obdĺžniku – úloha s výberom odpovede x č. 13: slovná úloha o spotrebe benzínu x č. 14: slovná úloha o brzdnej dráhe automobilu Goniometrické funkcie Mocninové funkcie Exponenciálne a logaritmické funkcie

Goniometrické funkcie č. 1: graf funkcie s kosínusom x č. 2: graf funkcie so sínusom a kosínusom x č. 3: graf funkcie so sínusom a absolútnou hodnotou x č. 4: grafy funkcií so sínusom a kosínusom – priraďovacia úloha x č. 5: graf funkcie s tangensom a absolútnou hodnotou x č. 6: graf funkcie s kosínusom a absolútnou hodnotou č. 7: goniometrická rovnica x č. 8: graf funkcie s kosínusom x č. 9: graf funkcie s tangensom x č. 10: graf funkcie s kotangensom x č. 11: obsah obdĺžnika v grafe funkcie - úloha s výberom odpovede x č. 12: goniometrická rovnica x č. 13: goniometrické rovnice x Lineárne a kvadratické funkcie Mocninové funkcie Exponenciálne a logaritmické funkcie

Mocninové funkcie č. 1: párnosť mocninových funkcií – úloha s výberom odpovede x č. 2: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou- úloha s výberom odpovede x č. 3: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede x č. 4: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede x č. 5: slovná úloha o autobuse č. 6: nerovnica s lineárne lomenou funkciou č. 7: definičný obor funkcie x č. 8: graf funkcie s absolútnou hodnotou x č. 9: rovnica s odmocninami x č. 10: rovnica s odmocninami č. 11: nerovnica s odmocninou x č. 12: rovnica s 3 odmocninami x č. 13: graf lineárne lomenej funkcie s absolútnou hodnotou x Lineárne a kvadratické funkcie Goniometrické funkcie Exponenciálne a logaritmické funkcie

Exponenciálne a logaritmické funkcie č. 1: spoločná vlastnosť funkcií – úloha s výberom odpovede x č. 2: definičný obor – úloha s výberom odpovede x č. 3: graf exponenciálnej funkcie x č. 4: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou č. 5: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou x č. 6: logaritmická rovnica x č. 7: slovná úloha o intenzite zvuku na diskotéke x č. 8: graf logaritmickej funkcie x č. 9: exponenciálna rovnica č. 10: graf logaritmickej funkcie s absolútnou hodnotou x č. 11: graf exponenciálnej funkcie x č. 12: exponenciálna rovnica x č. 13: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou x č. 14: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou x č. 15: rast a klesanie exponenciálnej funkcie x Lineárne a kvadratické funkcie Goniometrické funkcie Mocninové funkcie

Výsledok Zadanie úlohy Úloha č. 1 Vzorce, grafy Návod na riešenie Úplné riešenie úlohy

(ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 49) Zadanie úlohy • Plastová stolička má prehnuté sedadlo. Pri zaťažení sa toto • prehnutie zväčší, pričom prehnutie je lineárnou funkciou • hmotnosti osoby, ktorá na stoličke sedí. Ak si na stoličku sadla • osoba s hmotnosťou 40 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,2 cm. • Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 60 kg, bolo sedadlo • prehnuté o 6,7 cm. • Vyjadrite rovnicou funkciu, ktorá vyjadruje závislosť • prehnutia sedadla od hmotnosti osoby, ktorá na nej sedí. • b) Načrtnite graf tejto funkcie, ak výrobca stoličky udáva • jej nosnosť do 120 kg. • c) Odčítaním z grafu funkcie aj výpočtom z rovnice určte • aké veľké bude prehnutie sedadla, ak si na stoličku sadne • osoba s hmotnosťou 90 kg. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok b) a) c) Ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg, prehnutie sedadla bude 7,45 cm. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy Lineárna funkcia: Graf lineárnej funkcie - priamka Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy • označte si premenné – napr. m – hmotnosť osoby, p – prehnutie sedadla • do rovnice lineárnej funkcie f: p=a.m+b dosaďte podľa textu úlohy príslušné číselné hodnoty m a p • získame sústavu dvoch rovníc s neznámymi a, b • sčítacou alebo dosadzovacou metódou vyriešte sústavu rovníc • vypočítané hodnoty koeficientov a, b dosaďte do rovnice lineárnej funkcie • vo vhodnej mierke narysujte graf funkcie f ( na jej narysovanie stačia 2 body, lebo grafom lineárnej funkcie je priamka) • cez hodnotu 90 na vodorovnej osi veďte kolmicu na túto os, v priesečníku s grafom veďte kolmicu na zvislu os a odčítajte príslušné prehnutie sedadla • do rovnice funkcie f dosaďte za m=90 a vypočítajte p Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy b) m ... hmotnosť osoby v kg p ... prehnutie sedadla stoličky v cm a) Riešením sústavy rovníc určíme koeficienty a, b c) Ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg, prehnutie sedadla bude 7,45 cm. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Zadanie úlohy (ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 52) • Je daná funkcia f. • Zostrojte graf funkcie f. • b) Pomocou grafu funkcie f určte počet riešení rovnice • v závislosti od hodnoty reálneho parametra p. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok a) b) Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy Definícia: Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy • určte nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie, ktoré rozdelia množinu R na tri intervaly • na jednotlivých intervaloch nahraďte absolútne hodnoty výrazmi, ktoré sa im rovnajú - využite definíciu absolútnej hodnoty( môžete to urobiť v prehľadnej tabuľke ) – na jednotlivých intervaloch získate tri lineárne funkcie • do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy všetkých troch funkcií • graf funkcie f je zjednotením jednotlivých funkcií na daných intervaloch: f=f1Uf2Uf3 • ľavá strana rovnice je funkcia f, pravá strana je parametrický systém konštantných funkcií gp • počet riešení rovnice je rovnaký ako počet priesečníkov grafu funkcie f s funkciou g pre každú hodnotu reálneho parametra p Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie f: y= |1 - x| -0,5.|x + 2| 1-x=0 x= 1 x+2=0 x=-2 Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok funkcia f je klesajúca na intervaloch funkcia f nie je párnaani nepárna funkcia f je rastúca na intervaloch funkcia f nie je prostá funkcia f má neostré minimá v bodoch x = 1 a x=5 funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f nemámaximum funkcia f je zdola ohraničená , d=0 Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základný graf Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy • rovnicu funkcie f upravte na vrcholový tvar f: y=| 0,5.(x-3)2-2| • načrtnite graf funkcie f1: y=x2 • načrtnite graf funkcie f2: y=(x-3)2 ... posun o 3 doprava zväčší dvakrát • načrtnite graf funkcie f3: y= 0,5.(x-3)2 ...všetky funkčné hodnoty sa dvakrát zmenšia • načrtnite graf funkcie f4: y= 0,5.(x-3)2-2 ...posun o 2 nadol • načrtnite graf funkcie f5=f: y=| 0,5.(x-3)2-2| ...časť grafu, ktorá je pod osou x sa preklopí nad os x • sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

(ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 52) Zadanie úlohy • Automobil pohybujúci sa rýchlosťou 90 km.h-1, začal brzdiť • s konštantným zrýchlením 5 m.s-2 orientovaným proti smeru • pohybu. • Určte brzdnú dráhu automobilu do úplného zastavenia. • b) Znázornite graficky, ako pri brzdení závisí okamžitá rýchlosť • a dráha od času. • c) Vypočítajte akou rýchlosťou narazí automobil do pevnej • prekážky, ak išiel v hmle rýchlosťou 90 km.h-1a začal • brzdiť 30 m pred prekážkou. Lineárne a kvadratické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok a) Brzdná dráha automobilu do úplného zastavenia je 62,5 metrov. b) c) Auto narazí do prekážky rýchlosťou 64,8 km/h. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Vzorce, grafy Základné vzorce pre rovnomerne spomalený pohyb: Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy • premeňte počiatočnú rýchlosť na m.s-1 • zapíšte fyzikálne vzťahy pre rýchlosť a dráhu rovnomerne spomaleného pohybu • uvedomte si, že pri zastavení je rýchlosť nulová – z rovnice pre rýchlosť vyjadrite čas a dosaďte do rovnice pre dráhu – po dosadení zadaných číselných hodnôt vypočítajte brzdnú dráhu • do rovníc pre rýchlosť a dráhu dosaďte dané hodnoty a zistite aký typ funkcie vyjadruje závislosť rýchlosti od času a závisloť dráhy od času • vypočítajte potrebný počet hodnôt týchto funkcií a načrtnite ich grafy - osi súradnicovej sústavy neoznačte x a y ale tak, aby to zodpovedalo označeniu príslušných fyzikálnych veličín • do vzorca pre dráhu dosaďte dané hodnoty a vyriešte kvadr. rovnicu s neznámou t – vypočítanú hodnotu dosaďte do vzorca pre rýchlosť a tak získate rýchlosť pri náraze na prekážku Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy a) b) ... lineárna klesajúca funkcia pri zastavení Brzdná dráha automobilu do úplného zastavenia je 62,5 metrov. Pokračovanie riešenia úlohy Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy b) c) ... kvadratická funkcia Auto narazí do prekážky rýchlosťou 64,8 km/h. Lineárne a kvadratické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Zadanie úlohy Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. Goniometrické funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Výsledok funkcia f má neostré maximá v každom bode x=1,5π+2kπ, k є Z funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f má neostré minimá v každom bode x=0,5π+2kπ, k є Z funkcia f je periodická funkcia f nie je prostá funkcia f je rastúca na každom intervale (0,5π+2kπ, 1,5π+2kπ) , k є Z funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f je klesajúca na každom intervale (1,5π+2kπ, 2,5π+2kπ) , k є Z funkcia f je zhora ohraničená, h=3 Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Základný graf Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Návod na riešenie Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy • v argumente funkcie f vyjmite pred zátvorku 1/2 f: y=3.|cos(x/2+π/4)|=3.|cos[1/2.(x+π/2)]| • načrtnite graf funkcie f1: y=cosx • načrtnite graf funkcie f2: y=cos(x+π/2) ... posun o π/2 doľava • načrtnite graf funkcie f3: y=cos[1/2.(x+π/2)] ... perióda sa dvakrát zväčší • načrtnite graf funkcie f4: y=|cos[1/2.(x+π/2)]| • ... časti grafu pod osou x sa preklopia nad os x • načrtnite graf funkcie f: y=3.|cos[1/2.(x+π/2)]| • ... hodnoty funkcie sa zväčšia trikrát • sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok Goniometrické funkcie Zadanie úlohy Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie

Zadanie úlohy Autobus jazdí pravidelne na trati medzi dvoma mestami vzdialenými 120 km. Na zastávkach stojí spolu 30 minút. a) Napíšte rovnicu funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času cestovania od priemernej rýchlosti autobusu. b) Načrtnite graf tejto funkcie, ak priemerná rýchlosť autobusu je v rozmedzí 40 km.h-1 až 90 km.h-1 . c) Určte definičný obor a obor hodnôt tejto funkcie. d) Vypočítajte a vyznačte ako odčítame z grafu funkcie pri akej priemernej rýchlosti autobusu príde autobus do cieľovej stanice presne o 2 hodiny? e) Aký najkratší môže byť čas cestovania na tejto trase ? f) Koľko korún zaplatí cestujúci na tejto trase, ak dopravca účtuje 1,50 Sk za každý kilometer a poplatok za batožinu je 10 Sk ? Mocninové funkcie Výsledok Vzorce, grafy Návod na riešenie Riešenie úlohy

Cena Slovak Telekom