Lógica Proposicional: Sintaxe e Provas por Indução sobre Conjuntos Indutivos

1. Lógica Proposicional:Sintaxe e Provas por Indução sobre Conjuntos Indutivos Luiz Carlos d´Oleron lcadb@cin.ufpe.br http://www.cin.ufpe.br/~lcadb

2. O que você já deve saber... • Conjuntos Indutivos • Conjuntos Livremente Gerados • Lógica simbólica de Frege

3. O que significa Sintaxe? “Parte da gramática que estuda a disposição das palavras na frase e das frases no discurso” (Dicionário Aurélio, Aurélio Buarque de Holanda Ferreira) Ou seja, a sintaxe está mais atenta a forma do que ao sentido.

4. Indo ao Ponto... Mas como é que comparamos a forma de uma expressão com a de outra? Baseado no fato que toda expressão é elemento de PROP e que PROP é um conjunto livremente gerado, usaremos funções para descrever as propriedades das expressões.

5. n-var: PROP →|N Número de ocorrências de variáveis • n-var(⊤) = n-var(⊥) = 0 • n-var(xi) = 1 • n-var(¬E) = n-var(E) • n-var((E1□ E2)) = n-var(E1) + n-var(E2) Obs.: □ : {v,^, →}

6. n-op: PROP →|N Número de ocorrências de operadores • n-op(⊤) = n-op(⊥) = 0 • n-op(xi) = 0 • n-op(¬E) = 1 + n-op(E) • n-op((E1□ E2)) = 1 + n-op(E1) + n-op(E2) Obs.: □ : {v,^, →}

7. posto: PROP →|N Calcula o “posto*” de uma expressão • posto(⊤) = posto(⊥) = 0 • posto(xi) = 0 • posto(¬E) = 1 + posto(E) • posto((E1□ E2)) = 1 + Max(posto(E1), posto(E2)) Obs.: □ : {v,^, →} Obs.*: Também conhecido como “altura”

8. subs: PROP →ζ(PROP)Produz o conjunto de sub-expressões • subs(⊤) = {⊤} • subs(⊥) = {⊥} • subs(xi) = {xi} • subs(¬E) = subs(E) U {¬E} • subs((E1□ E2)) = subs(E1) U subs(E2) U {(E1□ E2)} Obs.: □ : {v,^, →}

9. Prova por indução • Com estas funções, além de outras que podem ser definidas da mesma forma, somos capazes de tirar “conclusões” sobre as propriedades de PROP • Estas conclusões são alicerçadas por provas, sendo as provas por indução uma forma popular de realizar isso.

10. Exemplinho: nop(Φ) ≥ posto(Φ) Vamos provar indutivamente que nop(Φ)≥posto(Φ) Se verifica para qualquer Φ pertencente a PROP.

11. ContinuaçãoExemplinho: nop(Φ) ≥ posto(Φ) Caso Base: Φ é atômica nop(Φ) = 0 posto(Φ) = 0 nop(Φ)≥posto(Φ) (ok)

12. ContinuaçãoExemplinho: nop(Φ) ≥ posto(Φ) Caso Indutivo I: Φ é da forma ¬D Hipótese: nop(D) ≥ posto(D) Tese: nop(¬D) ≥ posto(¬D) posto(¬D) = 1 + posto(D) nop(¬D) = 1 + nop(D) Da H.I. nop(D) ≥ posto(D) nop(D) + 1 ≥ posto(D) + 1 nop (¬D) ≥posto (¬D) c.q.d.

13. ContinuaçãoExemplinho: nop(Φ) ≥ posto(Φ) Caso Indutivo II: Φ é da forma (A □ B) Hipótese: nop(A) ≥ posto(A) nop(B) ≥ posto(B) Tese: nop((A □ B)) ≥ posto((A □ B)) Da H.I. nop(A) ≥ posto(A) + nop(B) ≥ posto(B)= nop(A) + nop(B) ≥ posto(A) + posto(B)

14. ContinuaçãoExemplinho: nop(Φ) ≥ posto(Φ) Como: x + y ≥ Max(x,y) e: θ ≥ δ δ≥ ε→ θ≥ ε (transitividade de ≥) nop(A) + nop (B) ≥ Max(posto(A), posto(B)) nop(A) + nop (B) + 1≥ Max(posto(A), posto(B)) + 1 nop((A □ B)) ≥ posto((A □ B))

15. É isso ai... Ao Trabalho!