Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten

1. Analytische Meetkundeof Meetkunde met Coördinaten DVD Delft, 18 oktober 2012 Wim Caspers & Jeroen Spandaw

2. Programma • 16:00 – 17:30 : deel 1 (inleiding) • 17:30 – 18:30 : diner • 18:30 – 20:00: deel 2 (nieuw materiaal) Diner in Kronigzaal (lift C-vleugel, 4e verdieping; koffie/thee meenemen!)

3. Programma deel 1 Thema: axiomatische meetkunde versus analytische (coördinaten-)meetkunde • Presentatie • Opgaven • Bespreking opgaven

4. Voorbeeld 1: Zwaartepunt Stelling:De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door een punt.

5. Zwaartepunt: Bewijs 1 • A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2). • P = ½ (b1+c1, b2+c2) • AP : y – a2 = rico · (x – a1) • AP : rico= (b2+c2 – 2a2) / (b1+c1 – 2a1) • AP : (b1+c1 – 2a1) · (y – a2) = = (b2+c2 – 2a2) · (x – a1)

6. Zwaartepunt: Bewijs 1 • AP : (b1+c1 – 2a1) · (y – a2) = = (b2+c2 – 2a2) · (x–a1) Analoog (a  b): • BQ : (a1+c1 – 2b1) · (y – b2) = = (a2+c2 – 2b2) · (x–b1) Snijpunt berekenen…

7. Zwaartepunt: Bewijs 1 • Na afschuwelijke rekenpartij: • Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2). • Nu checken dat Z op de lijn CR ligt, dus voldoet aan • CR : (a1+b1 – 2c1) · (y – c2) = = (a2+b2 – 2c2) · (x – c1) • Deze verificatie is gemakkelijk! Beide zijden (a1+b1 – 2c1) · (a2+b2 – 2c2)

8. Bewijs successief verbeteren • Eerste bewijs vaak onhandig • Gaan bewijs successief vereenvoudigen

9. Zwaartepunt: Bewijs 2 • Als bewijs 1, • maar gebruik symmetrie van • Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2). • Als Z op AP ligt, dan • vanwege symmetrie ook op BQ en CR. (Verwisselen van a’s, b’s en c’s.)

10. Zwaartepunt: Bewijs 3? • Als bewijs 1, • maar vereenvoudig (?) rekenwerk • door in eerste stap • A = (0, 0), B = (1, 0), C = (p, q) • te veronderstellen. • “Zonder beperking der algemeenheid”. • Waarom eigenlijk? • Nadeel: Symmetrie weg uit berekening.

11. Zwaartepunt: Bewijs 4 • Als bewijs 1, • maar raad het antwoord • Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2). • Wegens symmetrie voldoende te checken dat Z op AP ligt. • Los op Z =  · A + (1 –) · P. • (1/3)·(ai+bi+ci) =  · ai + (1 –) · ½·(bi+ci) •  = 1/3 is een (de) oplossing!

12. Zwaartepunt: Bewijs 5 • Als bewijs 4, • maar dan met vectoren: • v1 := OA, v2 := OB, v3 := OC. • Dan OP = ½ (v2 + v3) • Punt Z met OZ := (1/3) (v1 + v2 + v3) ligt op de lijn OP, want OZ = ·OA + (1 –)·OP. • Wegens symmetrie ligt Z ook op OQ & OR

13. Zwaartepunt, Bewijs 6 • ACB  QCP • dus PQ // AB • en |AB| = 2 · |PQ| • AZB  PZQ • |AZ| = 2 · |ZP| • Het punt Z op AP met |AZ| = 2 · |ZP| ligt ook op BQ. • Rollen B en C verwisselen: Z ook op CR.

14. Didactiek • Vaak veel variabelen. • Getallenvoorbeelden nuttig? • Rekenen/algebra met verstand: • Wat is gegeven? Wat is te bewijzen? • Oplossing verifiëren versus oplossing vinden • Gebruik maken van symmetrie van uitdrukkingen en situaties • “Analoog…” • “We mogen z.b.d.a. aannemen dat…”

15. Voorbeeld 2: Pythagoras • Pythagoras in coördinaten? • Geldt bijna per definitie van de afstand!

16. Pythagoras in coördinaten • z.b.d.a. A = O • OB OC, dus b1c1 + b2c2 = 0. • Te bewijzen: BC 2 = OB 2 + OC 2, dus • (c1 – b1)2 + (c2 – b2)2 = b12 + b22 + c12 + c22 • Simpel!

17. c2 = (a+b)2 – 4·½·ab dus c2 = a2 + b2 Meetkundig bezwaar: geen pure meetkunde maar mix met algebra Niet lengte-kwadraat, maar oppervlakte! Pythagoras met algebra

18. Algebra geëlimineerd?

19. Pythagoras met schalen • De 3 driehoeken in plaatje zijn gelijkvormig. • Dus hun oppervlakten zijn s·a2, s·b2, s·c2 met dezelfde evenredigheidsconstante s. • Dus s·a2 +s·b2 = s·c2

20. Axiomatiek versus coördinaten • Pythagoras in coördinaten geldt vrijwel per definitie van de afstand in coördinaten-meetkunde. • Pythagoras in axiomatische meetkunde is moeilijker. Is (1) dan wel echt bewijs? Ja, maar alleen in Cartesisch vlak

21. Axiomatisch vlak: vlak, punten, lijnen, incidentie, congruentie ongedefinieerd! We nemen aan dat ze aan axioma’s voldoen. Onderzoeken logische gevolgen van axioma’s Cartesisch vlak: vlak := R2 punt := element inR2 lijn := oplossings-verzameling van lineaire vergelijking Enzovoorts Kunnen bewijzen dat axioma’s in dit model van Euclidische meetkunde Axiomatisch vlak versusCartesisch vlak R2

22. In Euclidisch vlak: alleen congruentie, geen lengte van lijnstukken. Geen hoekmaat van hoeken, alleen vergelijk van lijnstukken en hoeken (=, < of >). In Cartesisch vlak wel begrip lengte lijnstukken per definitie congruent als ze even lang zijn Lengte lijnstuk ABgedefinieerd als [(a1–b1)2 + [(a2–b2)2] Congruentie

23. Congruentie van hoeken • Een hoek is gedefinieerd als twee halve lijnen m en n met een gemeenschappelijk eindpunt A zodat m en n niet bevat zijn in één lijn. • Definieer congruentie van dergelijke hoeken. • Hint: Definieer eerst grootte van hoek.

24. Een oplossing • z.b.d.a. A = O. • kies B O op halve lijn m • kies C O op halve lijn n • definieer (m, n) := arccos(p) met • p := (b1c1 + b2c2) / ((b12 + b22)(c12 + c22)) • (Check dat -1  p  1.) • Hoeken (m, n) en (m', n') per definitie congruent als (m, n) = (m', n'). • Simpeler: congruent alsp = p'.

25. Vectoren: inproduct, lengte & hoek • Definitie: Inproductv·w van vectoren v = (v1, v2) en w = (w1, w2) is v1w1 + v2w2. • Inproduct van twee vectoren is getal. • Definitie: Lengte |v| van vector is (v·v) = (v12 + v22) • Definitie: Hoek(v,w) tussen twee vectoren is arccos(p) met p:= v·w / |v|·|w|

26. Opgave voor masochisten • Definieer alle ongedefinieerde begrippen uit Euclidische meetkunde in R2 • en controleer alle axioma’s van Hilbert: • 4 incidentie-axioma’s over punten op lijnen • 4 axioma’s over ordening • 3 axioma’s over congruentie van lijnstukken • 3 axioma’s over congruentie van hoeken • axioma van Dedekind Gevolg: Alle axiomatisch bewezen stellingen gelden inR2.

27. Voordelen axiomatische meetkunde • Meetkundig verklaren i.p.v. algebraïsch verifiëren • Axiomatische bewijzen gelden in alle modellen. • Voorbeeld: eerste 28 proposities uit Euclides gelden ook in hyperbolischvlak

28. Voorbeeld: eerste 28 proposities uit Euclides gelden ook in hyperbolischvlak Voorbeelden: congruentiecriteria constructie loodlijnen één richting Z-hoeken stelling buitenhoek Voordelen axiomatische meetkunde

29. Coördinaten versus axiomatiek • Axiomatiek mooier? • Ik vind symmetrische uitdrukkingen en slimme berekeningen (soms one-liners!) ook mooi. • Coördinaten = vals spelen? Te gemakkelijk? • Nee, maar deels andere vaardigheden nodig.

30. Coördinaten versus axiomatiek • Cartesische meetkunde is belangrijker dan axiomatische meetkunde. • Met de kennis van nu: • “vergissing” van Euclides om 2d- en 3d-meetkunde te axiomatiseren. • Beter: Axiomatiseer de getallenlijnR • en doe meetkunde in Rn • of nog algemener: differentiaalmeetkunde, algebraïsche meetkunde, enzovoorts.

31. Euclidische meetkunde heeft rijk verleden

32. Coördinatenmeetkunde is meetkunde met toekomst

33. Didactiek: coördinaten of axioma’s? • Deels gelijk: van start (gegevens) naar finish (te bewijzen bewering) • Andere vaardigheden • Klaas Landsman: • Oefen axiomatische redeneren niet met meetkunde, maar in kansrekening. • Twee voordelen: • cleaner: 3 axioma’s i.p.v.15 • kansrekening is belangrijker dan meetkunde • Jeroen Spandaw: Meetkunde minder geschikt voor oefenen logisch redeneren, want meestal p  q en zelden p  q zonder q  p.

34. Driedeling van een hoek Kan met gemarkeerde liniaal: Bewijs correctheid van deze constructie m.b.v. coördinaten.

35. Ervaring met leraren in opleiding Moeilijk: • Kiezen van handig coördinatensysteem • Vertalen van gegevens naar “algebra” • Vertalen van “te bewijzen” naar “algebra” • Een weg vinden van start naar finish • Overzicht behouden • Goniometrie en algebra • Logica (richting van implicaties)

36. Driedeling van een hoek Kan met gemarkeerde liniaal: Bewijs correctheid van deze constructie m.b.v. coördinaten.Voorwaarden?

37. A = (0,0) en B = (1,0) C = (1,t) en Q = (1,s) AQ : y = s·x P = (t/s, t) Bewijs/verifieer dat (s,t)=(tan(),tan(3)) voldoet aan PQ2 = 4·AC2 Driedeling van een hoek (2)

38. Y1 = tan(X) Y2 = tan(3X) Y3 = (Y2/Y1-1)2 + (Y2-Y1)2 – 4*(1+Y22) Maak tabel of grafiek voor Y3 Conclusie: Y3 = 0. Puur algebraïsch bewijs is lastig. Driedeling van een hoek (3)

39. Driedeling van een hoek (4)

40. Opgaven

41. Opgave 1: Thales 1 Bewijs met coördinaten: ACB recht d.e.s.d. als C op cirkel met middellijn AB.

42. Opgave 2: Thales 2 Bewijs met coördinaten: BC // B'C' d.e.s.d. als AB : AB' = AC : AC' d.e.s.d als AB : AB' = AC : AC' = BC : BC'

43. Opgave 3: Hoogtelijn a) Bewijs met coördinaten: De 3 hoogtelijnen van een driehoek gaan door 1 punt. b) Bewijs dezelfde stelling zonder coördinaten

44. Opgave 4: Cosinusregel Bewijs met vectoren: • De cosinusregel: c2= a2+ b2– 2ab cos()

45. Constante hoek:ACB hangt niet van C, maar alleen van A en B af. Volgt uit: Omtrekshoek: ACB is de helft van AMB Bewijs met coördinaten voor het geval AMB = 90. Opgave 5: Stelling constante hoek

46. Uitwerkingen

47. Opgave 1: Thales 1 Bewijs met coördinaten: ACB recht d.e.s.d. als C op cirkel met middellijn AB.

48. Bewijs Thales 1 Bewijs: Mogen z.b.d.a. aannemen dat A = (-1,0) en B = (1,0). Schrijf C = (p,q). AC = (p + 1, q) en BC = (p – 1, q). Inproduct is AC· BC = p2 – 1+ q2. Dus AC  BC d.e.s.d. p2 + q2 = 1 d.e.s.d. C op cirkel met middellijn AB.

49. Opgave 2: Thales 2 Bewijs met coördinaten: BC // B'C' d.e.s.d. als AB : AB' = AC : AC' d.e.s.d als AB : AB' = AC : AC' = BC : BC'

50. Bewijs Thales 2 • z.b.d.a. A = (0,0), B = (1,0), B' = (g, 0). • Schrijf C = (r, s). • C' = (kr, ks), want op lijn AC. • BC = (r – 1, s), B'C' = (kr – g, ks), • dus BC // B'C' d.e.s.d.B'C' = k · BC • d.e.s.d. k = g. • Rest simpel.