1 / 61

Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten

Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten. DVD Delft, 18 oktober 2012 Wim Caspers & Jeroen Spandaw. Programma. 16:00 – 17:30 : deel 1 (inleiding) 17:30 – 18:30 : diner 18:30 – 20:00: deel 2 (nieuw materiaal)

lavey
Download Presentation

Analytische Meetkunde of Meetkunde met Co ö rdinaten

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Analytische Meetkundeof Meetkunde met Coördinaten DVD Delft, 18 oktober 2012 Wim Caspers & Jeroen Spandaw

  2. Programma • 16:00 – 17:30 : deel 1 (inleiding) • 17:30 – 18:30 : diner • 18:30 – 20:00: deel 2 (nieuw materiaal) Diner in Kronigzaal (lift C-vleugel, 4e verdieping; koffie/thee meenemen!)

  3. Programma deel 1 Thema: axiomatische meetkunde versus analytische (coördinaten-)meetkunde • Presentatie • Opgaven • Bespreking opgaven

  4. Voorbeeld 1: Zwaartepunt Stelling:De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door een punt.

  5. Zwaartepunt: Bewijs 1 • A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2). • P = ½ (b1+c1, b2+c2) • AP : y – a2 = rico · (x – a1) • AP : rico= (b2+c2 – 2a2) / (b1+c1 – 2a1) • AP : (b1+c1 – 2a1) · (y – a2) = = (b2+c2 – 2a2) · (x – a1)

  6. Zwaartepunt: Bewijs 1 • AP : (b1+c1 – 2a1) · (y – a2) = = (b2+c2 – 2a2) · (x–a1) Analoog (a  b): • BQ : (a1+c1 – 2b1) · (y – b2) = = (a2+c2 – 2b2) · (x–b1) Snijpunt berekenen…

  7. Zwaartepunt: Bewijs 1 • Na afschuwelijke rekenpartij: • Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2). • Nu checken dat Z op de lijn CR ligt, dus voldoet aan • CR : (a1+b1 – 2c1) · (y – c2) = = (a2+b2 – 2c2) · (x – c1) • Deze verificatie is gemakkelijk! Beide zijden (a1+b1 – 2c1) · (a2+b2 – 2c2)

  8. Bewijs successief verbeteren • Eerste bewijs vaak onhandig • Gaan bewijs successief vereenvoudigen

  9. Zwaartepunt: Bewijs 2 • Als bewijs 1, • maar gebruik symmetrie van • Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2). • Als Z op AP ligt, dan • vanwege symmetrie ook op BQ en CR. (Verwisselen van a’s, b’s en c’s.)

  10. Zwaartepunt: Bewijs 3? • Als bewijs 1, • maar vereenvoudig (?) rekenwerk • door in eerste stap • A = (0, 0), B = (1, 0), C = (p, q) • te veronderstellen. • “Zonder beperking der algemeenheid”. • Waarom eigenlijk? • Nadeel: Symmetrie weg uit berekening.

  11. Zwaartepunt: Bewijs 4 • Als bewijs 1, • maar raad het antwoord • Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2). • Wegens symmetrie voldoende te checken dat Z op AP ligt. • Los op Z =  · A + (1 –) · P. • (1/3)·(ai+bi+ci) =  · ai + (1 –) · ½·(bi+ci) •  = 1/3 is een (de) oplossing!

  12. Zwaartepunt: Bewijs 5 • Als bewijs 4, • maar dan met vectoren: • v1 := OA, v2 := OB, v3 := OC. • Dan OP = ½ (v2 + v3) • Punt Z met OZ := (1/3) (v1 + v2 + v3) ligt op de lijn OP, want OZ = ·OA + (1 –)·OP. • Wegens symmetrie ligt Z ook op OQ & OR

  13. Zwaartepunt, Bewijs 6 • ACB  QCP • dus PQ // AB • en |AB| = 2 · |PQ| • AZB  PZQ • |AZ| = 2 · |ZP| • Het punt Z op AP met |AZ| = 2 · |ZP| ligt ook op BQ. • Rollen B en C verwisselen: Z ook op CR.

  14. Didactiek • Vaak veel variabelen. • Getallenvoorbeelden nuttig? • Rekenen/algebra met verstand: • Wat is gegeven? Wat is te bewijzen? • Oplossing verifiëren versus oplossing vinden • Gebruik maken van symmetrie van uitdrukkingen en situaties • “Analoog…” • “We mogen z.b.d.a. aannemen dat…”

  15. Voorbeeld 2: Pythagoras • Pythagoras in coördinaten? • Geldt bijna per definitie van de afstand!

  16. Pythagoras in coördinaten • z.b.d.a. A = O • OB OC, dus b1c1 + b2c2 = 0. • Te bewijzen: BC 2 = OB 2 + OC 2, dus • (c1 – b1)2 + (c2 – b2)2 = b12 + b22 + c12 + c22 • Simpel!

  17. c2 = (a+b)2 – 4·½·ab dus c2 = a2 + b2 Meetkundig bezwaar: geen pure meetkunde maar mix met algebra Niet lengte-kwadraat, maar oppervlakte! Pythagoras met algebra

  18. Algebra geëlimineerd?

  19. Pythagoras met schalen • De 3 driehoeken in plaatje zijn gelijkvormig. • Dus hun oppervlakten zijn s·a2, s·b2, s·c2 met dezelfde evenredigheidsconstante s. • Dus s·a2 +s·b2 = s·c2

  20. Axiomatiek versus coördinaten • Pythagoras in coördinaten geldt vrijwel per definitie van de afstand in coördinaten-meetkunde. • Pythagoras in axiomatische meetkunde is moeilijker. Is (1) dan wel echt bewijs? Ja, maar alleen in Cartesisch vlak

  21. Axiomatisch vlak: vlak, punten, lijnen, incidentie, congruentie ongedefinieerd! We nemen aan dat ze aan axioma’s voldoen. Onderzoeken logische gevolgen van axioma’s Cartesisch vlak: vlak := R2 punt := element inR2 lijn := oplossings-verzameling van lineaire vergelijking Enzovoorts Kunnen bewijzen dat axioma’s in dit model van Euclidische meetkunde Axiomatisch vlak versusCartesisch vlak R2

  22. In Euclidisch vlak: alleen congruentie, geen lengte van lijnstukken. Geen hoekmaat van hoeken, alleen vergelijk van lijnstukken en hoeken (=, < of >). In Cartesisch vlak wel begrip lengte lijnstukken per definitie congruent als ze even lang zijn Lengte lijnstuk ABgedefinieerd als [(a1–b1)2 + [(a2–b2)2] Congruentie

  23. Congruentie van hoeken • Een hoek is gedefinieerd als twee halve lijnen m en n met een gemeenschappelijk eindpunt A zodat m en n niet bevat zijn in één lijn. • Definieer congruentie van dergelijke hoeken. • Hint: Definieer eerst grootte van hoek.

  24. Een oplossing • z.b.d.a. A = O. • kies B O op halve lijn m • kies C O op halve lijn n • definieer (m, n) := arccos(p) met • p := (b1c1 + b2c2) / ((b12 + b22)(c12 + c22)) • (Check dat -1  p  1.) • Hoeken (m, n) en (m', n') per definitie congruent als (m, n) = (m', n'). • Simpeler: congruent alsp = p'.

  25. Vectoren: inproduct, lengte & hoek • Definitie: Inproductv·w van vectoren v = (v1, v2) en w = (w1, w2) is v1w1 + v2w2. • Inproduct van twee vectoren is getal. • Definitie: Lengte |v| van vector is (v·v) = (v12 + v22) • Definitie: Hoek(v,w) tussen twee vectoren is arccos(p) met p:= v·w / |v|·|w|

  26. Opgave voor masochisten • Definieer alle ongedefinieerde begrippen uit Euclidische meetkunde in R2 • en controleer alle axioma’s van Hilbert: • 4 incidentie-axioma’s over punten op lijnen • 4 axioma’s over ordening • 3 axioma’s over congruentie van lijnstukken • 3 axioma’s over congruentie van hoeken • axioma van Dedekind Gevolg: Alle axiomatisch bewezen stellingen gelden inR2.

  27. Voordelen axiomatische meetkunde • Meetkundig verklaren i.p.v. algebraïsch verifiëren • Axiomatische bewijzen gelden in alle modellen. • Voorbeeld: eerste 28 proposities uit Euclides gelden ook in hyperbolischvlak

  28. Voorbeeld: eerste 28 proposities uit Euclides gelden ook in hyperbolischvlak Voorbeelden: congruentiecriteria constructie loodlijnen één richting Z-hoeken stelling buitenhoek Voordelen axiomatische meetkunde

  29. Coördinaten versus axiomatiek • Axiomatiek mooier? • Ik vind symmetrische uitdrukkingen en slimme berekeningen (soms one-liners!) ook mooi. • Coördinaten = vals spelen? Te gemakkelijk? • Nee, maar deels andere vaardigheden nodig.

  30. Coördinaten versus axiomatiek • Cartesische meetkunde is belangrijker dan axiomatische meetkunde. • Met de kennis van nu: • “vergissing” van Euclides om 2d- en 3d-meetkunde te axiomatiseren. • Beter: Axiomatiseer de getallenlijnR • en doe meetkunde in Rn • of nog algemener: differentiaalmeetkunde, algebraïsche meetkunde, enzovoorts.

  31. Euclidische meetkunde heeft rijk verleden

  32. Coördinatenmeetkunde is meetkunde met toekomst

  33. Didactiek: coördinaten of axioma’s? • Deels gelijk: van start (gegevens) naar finish (te bewijzen bewering) • Andere vaardigheden • Klaas Landsman: • Oefen axiomatische redeneren niet met meetkunde, maar in kansrekening. • Twee voordelen: • cleaner: 3 axioma’s i.p.v.15 • kansrekening is belangrijker dan meetkunde • Jeroen Spandaw: Meetkunde minder geschikt voor oefenen logisch redeneren, want meestal p  q en zelden p  q zonder q  p.

  34. Driedeling van een hoek Kan met gemarkeerde liniaal: Bewijs correctheid van deze constructie m.b.v. coördinaten.

  35. Ervaring met leraren in opleiding Moeilijk: • Kiezen van handig coördinatensysteem • Vertalen van gegevens naar “algebra” • Vertalen van “te bewijzen” naar “algebra” • Een weg vinden van start naar finish • Overzicht behouden • Goniometrie en algebra • Logica (richting van implicaties)

  36. Driedeling van een hoek Kan met gemarkeerde liniaal: Bewijs correctheid van deze constructie m.b.v. coördinaten.Voorwaarden?

  37. A = (0,0) en B = (1,0) C = (1,t) en Q = (1,s) AQ : y = s·x P = (t/s, t) Bewijs/verifieer dat (s,t)=(tan(),tan(3)) voldoet aan PQ2 = 4·AC2 Driedeling van een hoek (2)

  38. Y1 = tan(X) Y2 = tan(3X) Y3 = (Y2/Y1-1)2 + (Y2-Y1)2 – 4*(1+Y22) Maak tabel of grafiek voor Y3 Conclusie: Y3 = 0. Puur algebraïsch bewijs is lastig. Driedeling van een hoek (3)

  39. Driedeling van een hoek (4)

  40. Opgaven

  41. Opgave 1: Thales 1 Bewijs met coördinaten: ACB recht d.e.s.d. als C op cirkel met middellijn AB.

  42. Opgave 2: Thales 2 Bewijs met coördinaten: BC // B'C' d.e.s.d. als AB : AB' = AC : AC' d.e.s.d als AB : AB' = AC : AC' = BC : BC'

  43. Opgave 3: Hoogtelijn a) Bewijs met coördinaten: De 3 hoogtelijnen van een driehoek gaan door 1 punt. b) Bewijs dezelfde stelling zonder coördinaten

  44. Opgave 4: Cosinusregel Bewijs met vectoren: • De cosinusregel: c2= a2+ b2– 2ab cos()

  45. Constante hoek:ACB hangt niet van C, maar alleen van A en B af. Volgt uit: Omtrekshoek: ACB is de helft van AMB Bewijs met coördinaten voor het geval AMB = 90. Opgave 5: Stelling constante hoek

  46. Uitwerkingen

  47. Opgave 1: Thales 1 Bewijs met coördinaten: ACB recht d.e.s.d. als C op cirkel met middellijn AB.

  48. Bewijs Thales 1 Bewijs: Mogen z.b.d.a. aannemen dat A = (-1,0) en B = (1,0). Schrijf C = (p,q). AC = (p + 1, q) en BC = (p – 1, q). Inproduct is AC· BC = p2 – 1+ q2. Dus AC  BC d.e.s.d. p2 + q2 = 1 d.e.s.d. C op cirkel met middellijn AB.

  49. Opgave 2: Thales 2 Bewijs met coördinaten: BC // B'C' d.e.s.d. als AB : AB' = AC : AC' d.e.s.d als AB : AB' = AC : AC' = BC : BC'

  50. Bewijs Thales 2 • z.b.d.a. A = (0,0), B = (1,0), B' = (g, 0). • Schrijf C = (r, s). • C' = (kr, ks), want op lijn AC. • BC = (r – 1, s), B'C' = (kr – g, ks), • dus BC // B'C' d.e.s.d.B'C' = k · BC • d.e.s.d. k = g. • Rest simpel.

More Related