1.2. Logika Predikat

1. 1.2. LogikaPredikat Padapembahasanpasalsebelumnyakitatelah membahaslogikaproposisional yang terdiridari proposisitunggal (disebutjuga atom atauprimif) danproposisimajemuk. Kelemahanutamadarilogikaproposisional adalahtidakbolehmengandungpeubah. Hal iniberkaitandengandefinisidariproposisi, yaituhanyamempunyainilaibenaratausalah; • tidakkeduanya. • Berartipadalogikaproposisionaltidakboleh • mengandungpeubah.

2. Misalnyapernyataan 2x + 1 = 3 dengandaerahasal bilanganril. Padahaldalambanyakhalpernyataan- pernyataandalammatematikadan/atauilmu komputerdinyatakandalambentukrumus-rumus. Kelemahan lain darilogikaproposisionaladalahdari segieffisiensi, karenatidakmenjelaskantentang banyaknyakuantitas yang terlibatdalampembahasan. Jikakitainginmenyatakankeseluruhandari 1000 orangmahasiswa STMIK “”, makakitaharus menulissatupersatuproposisidarimasing-masing mahasiswatersebut, misal :

3. Adiadalahmahasiswa STMIK “” Benny adalahmahasiswa STMIK “” Chairuladalahmahasiswa STMIK “” ⋮ Zainaladalahmahasiswa STMIK “” Kelemahan lain darilogikaproposisionaladalah padasaatkitaharusmenarikkesimpulan (inferensi) suatuargumen, makakesimpulannyaharusterkait denganhipotesisataupremis.

4. Perhatikan pq qr ∴ pr Modus Ponens pq q ∴ p pq p ∴ q Modus Tollens SilogismeHipotesis

5. Perhatikanargumenberikut. Semuamakhlukhiduppastimati Kucingadalahmakhlukhidup ∴Kucingpastimati • Adalahhal yang masukakaljikakitamenarik • kesimpulan, Kucingpastimati. • Akantetapimenurutaturaninferensipadalogika • proposisional, • Kesimpulanharusmempunyai • kaitandenganpremis/premis-premisnya.

6. Untuklebihjelaskitaakanmenggunakansimbol proposisipadaargumendiatas. p : Semuamakhlukhiduppastimati q : Kucingadalahmakhlukhidup r : Kucingpastimati Jadi, p q r Karenaproposisi r tidakadahubungannyadengan proposisi p dan q, maka r bukankesimpulan dariargumen. Karenabeberapakelemahanlogikaproposisi, maka kitaperluuntukmempelajarilogikapredikat.

7. 1.2.1. PredikatdanFungsiProposisional Jika P(x) adalahpernyataan yang mengandung x dan D sebuahhimpunan, maka P disebutsebagaipredikat dan P(x) adalahfungsiproposisionaldalam D jika untuksetiap x dalam D, P(x) merupakanproposisi. Contoh 1.38 Berikutadalahcontoh-contohfungsiproposisional: • x2 + x – 6 = 0, daerahasaladalahhimpunan • bilanganasli. Ditulis: Untuksetiap x > 0, P(x) : f(x) = 0 • b) x + y = 4, daerahasaladalahhimpunan • bilanganril. Ditulis : Untuksetiap x dan y (ril) Q(x, y) : f(x) = 4

8. 1.2.2. Kuantor Telahdijelaskanpadapasalsebelumnya, bahwalogika prosisionaltidakmenjelaskantentangbanyaknya kuantitas yang terlibatdalampembahasan. Untukmenyatakankuantitas yang terlibatdalam pembahasanmakakitagunakansimbolkuantor, yaitudan. Simboldisebutkuantor universal dansimboladalahkuantoreksistensial. Kuantor universal () menunjukkanbahwasetiap objekdalamsemestanyamempunyaisifatdari kalimat yang menyatakannya. • Sedangkankuantoreksistensial () menunjukkanbahwasebagian (setidak-tidaknyasatuobjek)dalamsemestanya • memenuhisifatkalimat yang menyatakannya.

9. Misalterdapatkalimatberkuantor(xD), p(x). Nilaikebenarankalimattersebutadalahbenarjikadan hanyajikanilai p(x) benaruntuksetiap x dalamsemesta Ddanbernilaisalahapabilasetidak-tidaknyaadasatu x dalamsemesta D yang menyebabkan p(x) salah. Nilai x yang menyebabkan p(x) bernilaisalahdisebut contohpenyangkal (counter example). Umumnyapeubah x pada p(x) disebutpeubahbebas. Sedangkanpeubah x pada (xD), p(x) disebut peubahtakbebas.

10. Kalimatberkuantor(xD), p(x) mempunyainilai benarjikadanhanyajikasetidak-tidaknyaadasatu x dalamsemestanya yang menyebabkan p(x) benardan bernilaisalahapabilasemua x dalamsemestanya bernilaisalah. Denganadanyakuantormaka p(x) dapatbernilai benarsajaatausalahsaja; tidakkeduanya. Untuk p(x) yang memenuhisifatproposisidisebut fungsiproposional.

11. Contoh 1.39 Misalterdapatproposisi p: Makhlukhidupakanmati. Jikamakhlukhidupkitagantidengan x, maka pernyataanasaldapatditulismenjadi p(x), x akanmati. Karenakitamengetahuibahwasemuamakhlukhidupakanmati, makapernyataandiatasdapatditulismenjadi, xD, p(x), dengan D adalahmakhlukhidup.

12. Contoh 1.40 Misalterdapatproposisi p : Manusiadisiplin. Jikamanusiakitagantidengan x, makapernyataan asaldapatditulismenjadi p(x) : x disiplin. Kita telahmengetahuibahwahanyasebagian manusia yang disiplin, makapernyataandiatas dapatkitatulismenjadi : xD, p(x), dengan D adalahmanusia.

13. Contoh 1.41 Nyatakankalimatberkuantorberikutdalambahasa sehari-hari ! • xbilanganril, x2  0 • xbilanganril, x2  0 • mbilanganbulat, m2 = m Penyelesaian : • Semuabilanganril x mempunyaikuadrattak • negatif • b) Semuabilanganril x mempunyaikuadrattidak • samadengan nol. c) Adabilanganbulat yang kuadratnyasama denganbilanganitusendiri

14. Contoh 1.42 • Misal D adalahhimpunanbilanganbulat. • BuktikanbahwapernyataanmD, m2 = m • bernilaibenar. • Misal E adalahhimpunanbilanganbulatantara • 6 dan 10. • Buktikanbahwakalimat mE, m2 = m bernilaisalah.

15. Bukti : • a) Untuk m= 1, maka m2 = 1 dan m = 1. • Sehinggauntuk m=1, m2 = m. (terbukti) • b) Untuk m = 7 , m2 = 49 m = 8 , m2 = 64 m = 9 , m2 = 81 Tidakadabilanganbulatantara 6 dan 10 yang memenuhi m2 = m. Sehinggapernyataan m, m2 = m bernilaisalah (terbukti).

16. 1.2.3 IngkaranKalimatBerkuantor Misalterdapatpernyataan “Semuamahasiswa lulus ujianMatematikaDiskrit”. Pernyataan tersebutmempunyainilaikebenaran yang salah jikasetidak-tidaknyaterdapatsatumahasiswa yang tidak lulus ujianMatematikaDiskrit. Perludiingatbahwanilaikebenaran yang salah merupakaningkarandarinilaikebenaran yang benar. Jadiingkarandari “Semuamahasiswa lulus ujianMatematikaDiskrit” adalah “Adamahasiswa yang tidak lulus ujian MatematikaDiskrit”.

17. Jika p : Semuamahasiswa lulus ujianMatematikaDiskrit dan p(x) : “x lulus ujianMatematikaDiskrit”, makadalam bentuksimbolikpernyataantersebutdapat kitatulismenjadixmahasiswa, p(x). Sedangkan “Adamahasiswa yang tidak lulus ujian MatematikaDiskrit” dapatditulisdalambentuksimbol menjadi xmahasiswa, p(x). Jikasemestapembicaraansudahjelas, bisanyatidak dicantumkanlagipadapenulisannya. Jadixmahasiswa, p(x) seringditulisdalambentuk yang lebihsederhanaseperti : x, p(x).

18. Secaraumumingkarandarikalimatberkuantor adalahsebagaiberikut: x, p(x)  x, p(x) x, p(x)  x, p(x) Contoh 1.47 Tulisingkarandarikalimat-kalimatberikut : • a) Semuaorangsuksesrajinbekerja • b) Sebagianahlimatematikaadalahorangmalas • c) Adabilanganrilmerupakanbilanganrasional. Penyelesaian:

19. Misal p(x) : “x rajinbekerja”. • Makakalimat a) dapatkitatulisdalambentuk • simbol : xorangsukses, p(x) ataux, p(x). • Ingkaran x, p(x) adalah x, p(x)  x, p(x) x, q(x)  x, q(x) • b) Misal q(x) : “x adalahorangmalas”. • Makakalimat b) dapatditulisdalambentuksimbol • menjadi : xahlimatematika, q(x) ataux, q(x). • Ingkaranx, q(x) adalah . • c) Misal r(x) : “x merupakanbilanganrasional”. • Kalimattersebutdapatditulisdalambentuksimbol • menjadi : xbilanganril, r(x) ataux, r(x). • Ingkaranx, q(x)  x, r(x)

20. Contoh 1.48 Tuliskalimat-kalimatberikutdenganmenggunakan simbol-simbol, kemudiantulisingkarannya (semestanyaadalahhimpunanbilanganbulat). • Untuksetiap x, jika x bilanganganjilmaka x2 + 1 • bilanganganjiljuga. • b) Adabeberapa x sedemikiansehingga x merupakan • bilangangenapdan x merupakanbilanganganjil.

21. Penyelesaian • a) Misal p(x) : x bilanganganjil q(x) : x2 + 1 bilanganganjil x, (p(x)  q(x)) • Ingkarannya : x, (p(x)  q(x)) Adabeberapabilanganbulat x yang merupakan bilanganganjil, tetapi (x2 + 1) bukanmerupakan bilanganganjil.

22. b) Misal r(x) : x bilanganganjil s(x) : x2 + 1 bilanganganjil Kalimatsemulax, (r(x)  s(x)) • Ingkarannyax, (r(x)  s(x)) adalah • x, (r(x)  s(x))  x, (r(x)  s(x))  x, (r(x)  s(x)) • Semuabilangan x bukanmerupakanbilangangenap • ataubukanmerupakanmerupakanbilanganganjil

23. 1.2.4 KalimatBerkuantorGanda • Kalimatberkuantorgandaadalahkalimat • yang menggunakanlebihdarisatukuantor. • Secaraumumekiovalensidarikalimat • berkuantorgandaadalahsebagaiberikut: • x y p(x,y)  y x p(x,y) • x y p(x,y)  y x p(x,y) • x y p(x,y)  y x p(x,y) • Sedangkanekivalensidariingkarannyaadalah: • x y p(x,y)  x y p(x,y) • x y p(x,y)  x y p(x,y)

24. Contoh 1.49 Nyatakankalimatberikutkedalamsimbollogika. • Setiapbilangangenapsamadengan 2 kali bilangan • bukat. • Jikasetiapdosenbermutumakasemuamahasiswa • antusiabelajar. • Penyelesaian: • Misal p(x,y) : x samadengan 2 kali y • x  bilangangenap y bilanganbulat p(x,y) • ataudisingkat x y p(x,y) • b) Misal p(x,y) : Jika x maka y • xdosenbermutu ymahasiswaantusiasbelajar • p(x,y), ataudapatdisingkat x y p(x,y)