Il problema del cammino minimo tra 2 nodi in un grafo con archi privati

1. Il problema del cammino minimo tra 2 nodi in un grafo con archi privati

2. Scenario • Archi di un grafo controllati da agenti egoistici • Solo l’agente conosce il peso associato al proprio arco • Obiettivo: calcolare una “buona” soluzione di un certo problema di ottimizzazione rispetto a pesi reali • Strumento: progettazione di un meccanismo truthful (pagamento opportuno degli agenti per convincerli a dire la verità!)

3. Il problema dello shortest path egoistico • Input: un grafo G=(V,E), ogni arco è un agente egoistico, un nodo sorgentes e un nodo destinazionet; il tipo di un agente è il costo di utilizzo dell’arco (quindi tipo> 0); la sua valutazione è uguale al suo tipo; • SCF: un vero cammino minimo in G=(V,E,tipi) tra s e t.

4. Più Formalmente • Soluzioni ammissibili: • F: insieme dei cammini in G da s a t • Tipo dell’agente e: • e: peso dell’arco • intuitivamente: e è il costo che l’agente sostiene per utilizzare e • Valutazione agente e di un cammino PF : • ve(e,P)= e se eP, 0 altrimenti • SCF: shortest path in G=(V,E,) fra s e t.

5. Come progettare un meccanismo truthful per il problema? Osservazione cruciale: la (vera) lunghezza di un cammino P è: eE ve(e,P) problema utilitario! …usiamo i meccanismi VCG

6. Meccanismo VCG • M= <g(r), p(x)>: • g(r): arg minxFj vj(rj,x) • pe(x): Per ogni arco eE: pe =j≠e vj(rj,g(r-e)) -j≠e vj(rj,x) cioè

7. Meccanismo VCG • M= <g(r), p(x)>: • g(r): calcola PG(s,t) in G=(V,E,r) • pe: Per ogni arco eE: pe =j≠e vj(rj,g(r-e)) -j≠e vj(rj,x) cioè dG-e(s,t)-(dG(s,t)-re) se ePG(s,t) 0 altrimenti • Per ogni e  PG(s,t), dobbiamo calcolare PG-e(s,t), ovvero il cammino minimo di rimpiazzo in G-e =(V,E\{e},r-e) tra s e t { pe=

8. Cammino di rimpiazzo per e s PG(s,t) 2 3 PG-e(s,t) 4 5 6 5 e 2 quanto viene pagato e? 10 12 5 pe=12-(11-2)=3 t

9. Quel è la complessità temporale del meccanismo? …dobbiamo calcolare con uno SP tra s e t …e il pagamento per gli archi selezionati …è solo una questione algoritmica!

10. Ipotesi di lavoro • n=|V|, m=|E| • w(e): denota il peso dell’arco e • dG(s,t): distanza in G da s a t (somma dei pesi degli archi di PG(s,t)) • I nodi s,t sono 2-edge connessi: cioè, esistono in G almeno 2 cammini tra s e t che sono disgiunti sugli archi  per ogni arco e del cammino PG(s,t) che viene rimosso esiste almeno un cammino alternativo in G-e

11. …infatti, in caso contrario… • Se s,t non sono 2-edge connessi, c’è almeno un arco in PG(s,t) che è un ponte (arco che rimosso spezza G in due componenti C1 e C2, r  C1 e s  C2) • Se e è un ponte  dG-e(s,t) = ∞  Il possessore di quell’arco “tiene in pugno” il sistema: può chiedere qualsiasi cifra!

12. Una soluzione banale e PG(s,t) applichiamo l’algoritmo di Dijkstra al grafo G-e Complessità: k=O(n) archi per O(m + n logn): O(mn + n2 logn) time La soluzione che proponiamo costerà: O(m + n logn) time

13. Notazioni • SG(s), SG(t): alberi dei cammini minimi radicati in s e t • Ms(e): insieme dei nodi raggiungibili da s in SG(s) senza passare per l’arco e • Ns(e)=V/Ms(e): nodi del sottoalbero di SG(s) radicato in v, dove e=(u,v) • Mt(e), Nt(e) definiti in modo analogo

14. s SG(s) Ms(e) u e v Ns(e) t

15. Crossing edges • Ms(e) e Ns(e) individuano un taglio in G • Cs(e)={(x,y) E\{e}: x Ms(e), yNs(e)} archi del taglio: crossing edges

16. Crossing edges s SG(s) Ms(e) u e v Cs(e) Ns(e) t

17. Come è fatto PG-e(s,t)? • Ovvio: non usa e • PG-e(s,t) deve attraversare il taglio • È il cammino più corto fra quelli che non usano e • La sua lunghezza è: ove w(f) denota il peso dichiarato per f. dG-e(s,t)= min {dG-e(s,x)+w(f)+dG-e(y,t)} f=(x,y)  Cs(e)

18. Cammino di rimpiazzo s u x e v y t dG-e(s,t)= min {dG-e(s,x)+w(f)+dG-e(y,t)} f=(x,y)  Cs(e)

19. Come calcolare dG-e(s,t) • Sia f=(x,y)  Cs(e); dimostreremo che: dG-e(s,x)+w(f)+dG-e(y,t)=dG(s,x)+w(f)+dG(y,t) Osservazione: dG-e(s,x)=dG(s,x), perché x Ms(e) Lemma: Sia f=(x,y)  Cs(e) un arco del taglio (x Ms(e)). Allora y  Mt(e). (da cui segue che: dG-e(y,t)=dG(y,t))

20. Un semplice lemma SG(s) s Ms(e) Dim(per assurdo) y Mt(e), allora y  Nt(e). Quindi y discendente di u in SG(t) e PG(t,y) usa e. PG(v,y) è sottocammino di PG(t,y). Quindi: dG (v,y)=w(e) + dG (u,y) > dG (u,y). y  Ns(e), allora PG(s,y) usa e. PG(u,y) è sottocammino di PG(s,y). Quindi: dG (u,y)=w(e) + dG (v,y) > dG (v,y). u x e v Ns(e) y t

21. s Ms(e) t Ns(e)  Mt(e)

22. Costo per calcolare cammini di rimpiazzo Dati SG(s) e SG(t), in tempo O(1) si può calcolare k(f):= dG-e(s,x) + w(f) + dG-e(y,t) dG(s,x) guardo in SG(s) dG(y,t) guardo in SG(t) Osservazione: k(f) è la lunghezza del cammino minimo fra s e t che usa f

23. Un altro semplice algoritmo Passo 1: Calcoliamo SG(s) e SG(t) Passo 2: e PG(s,t) guardiamo gli archi del taglio Cs(e) e prendiamo il minimo (rispetto al valore k(٠)). Complessità Passo 1: O(m + n logn) Passo 2: k=O(n) archi, O(m) archi in ogni taglio: O(mn) Migliore di O(mn + n2 logn) se m=o(n logn)

24. L’algoritmo di Malik, Mittal e Gupta (1989) • Alla fine degli anni ‘80, Malik et al. hanno risolto in tempo O(m+n log n) il seguente problema di vitalità su grafi: dato un cammino minimo PG(s,t), qual è il suo arco più vitale, ovvero l’arco la cui rimozione induce il più lungo cammino minimo di rimpiazzo tra s e t? • Il loro approccio costruisce efficientemente tutti i cammini di rimpiazzo tra s e t… …ma questo è esattamente quello che stiamo cercando nel nostro meccanismo VCG!

25. L’algoritmo di Malik, Mittal e Gupta • Siano e1, e2,…,ek gli archi di PG(s,t) da s verso t • Al passo i manteniamo in un heap H l’insieme dei nodi Ns(ei) (convenzione: Ns(e0)=V) • Chiamiamo i nodi in H nodi attivi • Ad ogni nodo yH è associata una chiave k(y) e un particolare crossing edge. • k(y)= min {dG(s,x)+w(x,y)+dG(y,t)} • k(y): lunghezza del cammino minimo da s a t che usa un qualche arco (x, y) non dell’albero x  Ms(ei)

26. L’algoritmo di Malik , Mittal e Gupta • Inizializzazione: H =V, k(y)= per ogni y • Passo i : consideriamo l’arco ei e processiamo H nel seguente modo: • Elimino da H tutti i nodi in Ws(ei)=Ns(ei-1)\Ns(ei) • Considero ogni x  Ws(ei), quando trovo che un vicino y a x è attivo, calcolo k’(y)=dG(s,x)+w(x,y)+dG(y,t) • Se k’(y)<k(y) decremento k(y) a k’(y) • Processati tutti gli x  Ws(ei), estraggo il minimo da H, che fornisce la lunghezza del cammino minimo di rimpiazzo per ei (dG-ei(s,t))

27. Un esempio s Ws(e1) e1 8 e2 8 15 9 2 8 10 e3 9 5 Ns(e1) e4 1 13 e5 11 10 t

28. Un esempio s e1 8 e2 8 Ws(e2) 9 2 8 14 e3 9 14 5 e4 1 13 Ns(e2) e5 11 10 t

29. Complessità computazionale di MMG Teorema Dati due nodi s,t in un grafo G con n vertici e m archi, tutti i cammini di rimpiazzo possono essere calcolati in tempo O(m + n log n).

30. Complessità computazionale di MMG Dim: Calcoliamo SG(s) e SG(t) in tempo O(m + n logn). Usiamo l’heap di Fibonacci. Complessità ammortizzata delle operazioni di delete e delete_min è O(logn), e O(1) per le operazioni di insert, find_min, decrease_key,make_heap. Singola operazione make_heap O(n) insert O(n) find_min O(n) delete O(m) decrease_key O(m + n logn)

31. Complessità computazionale del VCG Corollario Il meccanismo VCG per il problema del cammino minimo può essere calcolato in tempo O(m + n logn) Dim Complessità di g(٠): O(m + n logn) Complessità di p(٠): calcolo tutte le distanze dG-e(s,t), in tempo O(m + n logn)