Dersin Künyesi

1. Dersin Künyesi

2. Dersin İşleme planı

3. 1.HAFTA 4.3. BANDLAR ARASI YASAK BÖLGELERİN OLUŞUMU Periyodik bir potansiyel alaný içinde elektron enerjisinin belirli , yarý sürekli enerji bandlarý içine rastlayan deðerler alabilmesi olgusu Kronig - Penney modeli yardýmý ile oldukça açýk ve kantitatif bir biçimde anlaþýlabilmektedir. Bu kýsýmda enerji bandlarýnýn oluþumu problemini bir baþka yönden daha inceleyeceðiz. Bu sefer daha çok Brillouin Zonlarý arasýnda kalan ve elektron için yasak olan enerji bölgelerinin meydana geliþlerine dikkatlerimizi yöneltecek ve daha fiziksel bir bakýþ açýsý ile bu bölgelerin nasýl oluþtuðunu araþtýracaðýz.   Dalgaboyu olan paralel, monokromatik bir X-ýþýný demeti belirli koþullar altýnda kristal örgüsünde difraksiyon olayýna neden olur. BRAGG yasasý, (W.L. BRAGG, 1913) ile örgü düzlemleri arasýndaki a uzaklýðý arasýnda 2 a sin = n

4. baðýntýsý oluþursa difraksiyon dalgalarýnýn ayný fazda olarak birbirlerini þiddetlendirdiklerini ve kristal örgü düzlemi üzerine  açýsý ile gönderilen X-ýþýnlarýnýn yine  açýsý ile yansýyacaklarýný söyler. Bragg koþulu, bir kristalin atomlarý üzerinde difraksiyon yapabilen her türlü dalga olayý için kullanýlabilir. Iþýk dalgalarý veya elektron, proton, nötron gibi maddesel parçacýklarýn de Broglie dalgalarý ile elastik dalgalar ( fononlar ) bunlar arsýnda sayýlabilir. Dalga çeþidine göre kristal örgüleri üzerindeki difraksiyon olaylarýnda bazý farklýlýklar olabilir. Bu farklar /a ornýnýn deðeri nedeniyle olabileceði gibi dalga ile örgü atomlarý arasýndaki etkileþmenin özellikleri nedeniyle de meydana gelebilir. Örneðin görünür ýþýkta ( >> a) difraksiyonun önemi olmamakta fakat kýrýlma olaylarý önemli rol oynamaktadýr. Dalga boyu ile örgü düzlemleri arasýndaki uzaklýðýn ayný mertebeden olduðu bütün durumlarda Bragg yasasý yürürlüðünü korur.   Bragg yasasý bir boyutlu kristal örgüsündeki elektron dalgalarýna uygulanýr ve dalgalarýn ayný boyut içinde ilerledikleri düþünülürse = /2 olacaðýndan yukarýdaki denklem 2a = n   þeklini alýr.

5. Þimdi tekrar Þekil 4.10 daki enerji durumlarýný ele alalým. Dalga sayýsý k ile dalga boyu arasýndaki k = 2  /  genel baðýntýsý yardýmýyla, yazýlabilir. Bu ise, enerji bandlarýnýn kenarlarýndaki dalga sayýsý deðeridir.   Fizik olarak bunun anlamý, elektron dalgalarýnýn band kenarlarýnda tam yansýmaya uðramasý, yani ayný yol üzerinden geriye dönmesidir. Elektron dalgasý artýk ilerleyen bir dalga deðil duran dalga haline gelmiþtir. Biraz farklý bir ifade ile elektron atomlar arasýnda gidip gelmekte, bunlarýn dýþýna çýkamamakta , kristalin iletkenliðine bir katkýda bulunamamaktadýr. Durumu biraz daha kantitatif olarak inceleyebiliriz.

6. Þekil 4.12. Bragg Yasasý. 1' ve 2' ýþýnlarý arasýndaki yol farký, n bir tam sayý olmak üzere n ise bunlar birbirini kuvvetlendirir. 2 a sin = n  Birinci Brillouin zonunda k - / a ile +  / a arasýnda deðiþir. Elektronlarýn dalga fonksiyonlarý için k = +  / a sýnýrýnda, biri soldan saða diðeri saðdan sola doðru ilerleyen iki dalganýn giriþiminden meydana gelmek üzere birbirinden faz olarak farklý iki duran dalga çözümü düþünülebilir. A keyfi bir genlik olmak koþulu ile,

7. veya, yazýlabilir. Þekil 4.13,  1 ve  2 duran dalga fonksiyonlarýna karþýlýk gelen (-e) 1 2 ve (-e) 22 elektron yük yoðunluklarýný lineer örgü üzerinde göstermektedir. Bu iki yük daðýlýmýna kaþýlýk gelen potansiyel enerji daðýlýmlarý örgünün (a) da gösterilen potansiyel daðýlýmý yardýmý ile (c) de çizilmiþtir. Ýki elektron daðýlýmýndan birincisinin daha alçak bir ortalama potansiyel enerjiye (1'e) tekabül ettiði görülmektedir. Bunun nedeni U potansiyelinin mutlak deðerinin büyük olduðu yerlerde e 2.nin de büyük, sonuç olarak e 2. U potansiyel enerji çarpýmýnýn da büyük çýkmasýdýr.   Buraya kadar söylenenleri özetlersek, birinci Brillouin zonu sýnýrlarýnda elektron dalga fonksiyonunun k = + /a için çözümleri birbirinden E =1 - 2 kadar farklý potansiyel enerjide iki duran dalga vermektedir. Baþka sözlerle potansiyel enerji zon sýnýrýnda aralarýnda E kadar boþluk olan iki seviyeye ayrýlmaktadýr, Þekil 4.14.. Elektron için E aralýðý Yasak Bölge anlamýndadýr.

8. Þekil 4.14 k deðerinin sýfýrdan baþlayarak büyüdüðünü düþünelim. Bu, elektron impulsu nýn büyütülmesi anlamýna gelir. k, / a deðerine yaklaþtýkça ilerleyen dalga fonksiyonu karakterinde olan elektron dalga fonksiyonu eikx için Bragg yansýmasýnýn önemi artmaya baþlar. Nihayet zon sýnýrýnda, yani k =  / a olunca çözümler,

9. þeklini alýr. Burada önemli olan bu çözümlerin birbirinden kinetik deðil potansiyel enerji olarak farklý olan iki duran dalganýn doðmasýna neden olmasýdýr. Þekil 4.13 . Lineer bir örgüde duran elektron dalgalarýnýn potansiyel eðrileri a) : Örgü potansiyeli b) : Elektron yoðunluklarý c) : Potansiyel Enerjiler. 1 ve 2 her iki duran dalgaya karþýlýk gelen ortalama potansiyel enerjilerdir.

10. 2.HAFTA 4.4 EFFEKTÝF ELEKTRON KÜTLESÝ Serbest halde bulunan elektronlarýn kütleleri birbirine eþittir. Ancak bir kristal örgüsü içindeki elektronlar dýþardan uygulanan elektrik alaný yardýmýyla hýzlandýrýlmak istenirse elektron kütlesi m den farklý imiþ gibi görünebilir. m* ile gösterilen ve m den büyük, küçük hatta negatif veya sonsuz olabilen bu kütleye effektif elektron kütlesi denir. Bu farklýlýðýn nedeni pozitif iyon örgüsü ile elektronlar arasýndaki elektrostatik etkileþmedir.   Kristal içindeki enerji baðýntýsý (Þekil 4.10) yardýmýyla effektif kütle için bir taným elde etmek mümkündür. Bu amaçla, serbest elektron enerjisini veren ifadeden yola çýkýlabilir.

11. denkleminin iki defa türevi alýnýrsa ile, elde edilir. Ayný tanýmý örgü ile etkileþim halinde bulunan elektron için kullanmak da mümkündür. Ancak bu sefer, Brillouin zonlarý içindeki elektron enerjisini esas olarak almak gerekir. Bu takdirde effektif elektron kütlesinin tanýmý þeklinde olacaktýr. Buna göre m / m* oraný için,

12. yazýlabilir. Þekil 4.15 bu oranýn ilk iki Brillouin zonu içindeki deðiþimi hakkýnda kalitatif bir bilgi vermek için çizilmiþtir.   Elektronun effektif kütlesinin negatif olmasý fiziksel olarak þöyle anlaþýlmalýdýr. Dýþ elektrik alaný kadar büyütülerek k, k kadar büyütülürse zon sýnýrý yakýnlarýnda artan Bragg yansýmasý nedeniyle elektronun ilerleme hýzý v kadar azalmýþ olur. Bu da elektronun kütlesini negatif deðerde imiþ gibi gösterir.   Effektik kütle, Fermi enerjisi, iletkenlik, elektronlarýn spesifik ýsýlarý gibi büyüklüklerin daha önce hesaplanan ifadelerinde m yerine kullanýlmasý gereken kütledir. Çünkü katý cisim içinde elektronlar daima pozitif iyon örgüsü ile etkileþim halinde bulunurlar. Effektif kütlenin bu çeþit fiziksel büyüklüklerdeki deðerinin, eldeki kristal örgüsüne ait bütün valens elektronlarýný ve Brillouin zonlarýný hesaba katarak hesaplanmasý gerektiði açýktýr. Bazý metaller için hesaplanan deðerler aþaðýdaki cetvelde gösterilmiþtir.

13. Þekil 4.15. Ýlk iki zon içinde m/m* oranýnýn deðiþimi

14. 3.HAFTA 4.5. BRILLOUIN ZONLARI Yukarýda tanýmlanan Brillouin zonlarý , kristallerin iletkenlik özelliklerinin incelenmesinde önem taþýr. Geometrik olarak Brillouin zonlarýný en rahat bir þekilde k uzayýnda göstermek mümkündür. baðýntýsý nedeniyle k uzayý p impuls uzayý ile sýký sýkýya baðlýdýr.   Bir boyutlu kristal örgüsü için Þekil 4.16 kolayca çizilebilir. Þekil 4.16. Tek boyutlu örgüde Brillouin zonlarý

15. Üç boyutlu örgüde de elektron dalgalarýnýn Bragg yasasýna göre yansýma düzlemlerinin k uzayýndaki durmlarýný tayin etmek gerekir. Önce iki boyutlu rektangüler bir örgü üzerinde durumu incelemek daha yararlý olabilir. Þekil 4.17 deki örgünün birbirine paralel hk doðrularýarasýndaki uzaklýðý dhk ile gösterirsek (a1 , a2 örgü translasyon vektörleri ), Þekil 4.17. Ýki boyutlu bir örgüde Brillouin zonlarýnýn hesabý h = 1, k = 2

16. ifadesini kullanarak dhk uzaklýðý için, elde edilir. k = n / a  Bragg koþulu, ilgilendiðimiz durum için, þekline girer.

17. dalga vektörü, (hk) düzlemlerine dik doðrultuda ilerleyen elektronun dalga vektörü olduðundan dhk ya paraleldir. nýn bileþkesi kx ve ky olsun. kx = . Cos  ky = . Cos  Diðer taraftan, vektörünün boyunu Þekil 4.17 den aþaðýdaki gibi hesaplayabiliriz. kx Cos  + ky Cos  = k hk Cos2 + k hk Cos2  = khk veya

18. elde edilir. Nihayet ifadeyi biraz daha basitleþtirirsek, baðýntýsýna ulaþýlýr. Kare þeklinde bir örgüde a1=a2=a alýnabileceðinden elde edilir. Üç boyutlu kübik örgü için Brillouin zonlarýnýn, ifadesinden hesaplanabileceði açýktýr.

19. Örnek olmak üzere iki boyutlu kare örgü için yukarýdaki denklemden hesaplanan Brillouin zonlarý Þekil 4.18 de çizilmiþtir. 1. Brillouin zonunda;  h = 0 , 1 k = 1 , 0 ve n = 1 dir. Dolayýsýyla 1.zon  kx = / a kx = -  / a ky =  / a ky = -  / a denklemleri ile belirlenen 4 doðru ile sýnýrlanmýþtýr. 2. zonda h = 1 k = 1 ve n= 1 dir. Buna göre zon aþaðýdaki 4 doðru ile sýnýrlanmýþtýr.  + kx + ky = 2  / a + kx - ky = 2  / a - kx + ky = 2  / a - kx - ky = 2  / a 3. zonda h = 2 , 0 k = 0 , 2 n = 1 olduðundan zon sýnýrlarý  2 kx = 4  / a 2 ky = 4  / a - 2 kx = 4  / a - 2 ky = 4  / a doðru parçalarý ile sýnýrlanmýþtýr.

20. Þekil 4.18. Ýki boyutlu örgüde Brillouin Zonlarýnýn çizimi

21. Þekil 4.18 Brillouin zonlarýnýn iki önemli özelliðini deyansýtmaktadýr. 1. Her zon kendi dýþ sýnýrý ile bir numara küçük zonun dýþ sýnýrý arasýndaki bölgede yer almaktadýr. 2. Zonlarýn yüzey alanlarý birbirine eþittir. Üç boyutlu örgüler için Brillouin zonlarý da üç boyutludur. Þekil 4.19 yüzey merkezli; Þekil 4.20 uzay merkezli kübik örgü için 1. ve 2. Brillouin zonlarýný göstermektedir.

22. 1. Zon 2. Zon Þekil 4.19. Yüzey merkezli kübik örgüde Brilloin zonlarý 1. Zon 2. Zon Þekil 4.20. Uzay merkezli kübik örgüde Briilouin zonlarý

23. 4.HAFTA 4.6. FERMÝ YÜZEYLERÝ Valens elektronlarýnýn enerji daðýlýmlarýný da k uzayýnda göstermek kolayca mümkün olur. Bunun için önce örgü içinde doðrultuya baðlý olarak elektron enerjisi tayin edilmelidir. Genel olarak örgünün periyodik yapýsýndaki özelliklere baðlý olmak üzere farklý doðrultularda daðýlýmlar da az çok fark gösterir. Doðrultuya baðlý enerji daðýlýmý elde edildikten sonra k uzayýnda enerjileri eþit olan noktalar birleþtirilerek eþit enerji yüzeyleri elde edilir. Ýki boyutlu uzayda buna enerji konturlarý adý verilir. Þekil 4.21, basit kare örgünün 1. Brillouin zonunu ve ve bu zon içindeki enerji konturlarýný göstermektedir. Zon sýnýrlarýndan uzakta konturlar daireler, (üç boyutta küreler) halindedir. Sýnýra yaklaþtýkça enerjinin büyümesi yavaþlar. Tam sýnýrda yasak bölge süreksizliði ile karþýlaþýlýr. Farklý zonlara ait eþit enerji yüzeyleri bu nedenle hiç bir yerde birleþmez.

24. Bununla beraber örneðin 2. Brillouin zonuna ait ilk eþit enerji yüzeyine tekabül eden enerji deðeri 1. zona ait zon yüzeyinin enerjisinden büyük olabileceði gibi, küçük de olabilir. Þekil 62 basit bir kübik kristal örgüsünün eksenlerinden biri olan [100] doðrultusu ile kutur doðrultusunda E (k) enerjilerini göstermektedir. [111] doðrultusunda iki hal düþünülmüþtür. Bunlardan B halinde bandlar arasýnda bir yasak enerji aralýðý oluþmakta ; C de ise bandlar üst üste gelmektedir.

25. Kristalin enerji seviyelerinin elektronlar tarafýndan iþgali sýrasýnda bu iki durum önemli farklara neden olur. Þimdi dikkatimizi Brillouin zonlarýndaki enerji seviyelerine çevirelim. Kristalin boyutlarý L1, L2 , L3 cm olsun. x doðrultusunda mümkün olan duran dalga, yani diskre enerji seviyesi sayýsý en fazla olabilir. Ayný þekilde, yazýlabilir. Böylece k uzayýnda hacim, olur.

26. Þekil 4.22. Doðrultuya baðlý enerji deðiþimleri. V = L1L2L3 kristalin fiziksel hacmidir. n1, n2 ve n3 tam sayýlardýr. Bu enerji seviyelerinden her biri baþýna k uzayý hacmi,   (2)3 / V  olarak bulunur. 1. Brillouin zonunun hacmi ( 2 / a)3 olduðundan, bu zonda (ve diðer zonlarda)

27. sayýsýnda enerji seviyesi bulunabilecektir. Bu sayý, kübik kristalin elemanter hücre sayýsýna ve kübik örgüde elemanter hücre baþýna bir tek atom bulunduðu için kristaldeki atomlarýn sayýsýna eþittir.Her enerji seviyesi spinleri anti-paralel olan iki elektronla doldurulabileceði için ilk Brillouin zonunda kristalin atom sayýsýnýn 2 katý sayýda elektron yerleþebilir. Ýkiden fazla valens elektronu bulunan elementlerin kristallerinde bir kýsým elektronlarýn 2. Brillouin zonunda yerleþmeleri zorunluluðu vardýr. Bu elektronlarýn zonlara daðýlmasý, zonlarýn üst üste gelip gelmemesine baðlýdýr. Zonlar üst üste geliyorlarsa 1. zon dolmadan 2. si iþgal edilmeye baþlar. Çünkü daima en küçük enerji seviyeleri daima en önce iþgal edilir. Dolu olan en yüksek enerjili eþit-enerji yüzeyine Fermi yüzeyi adý verilir. Þekil 61 de bir Fermi yüzeyi gösterilmiþtir.

28. 4.7. SEVÝYE YOÐUNLUÐU Kübik bir örgüde her Brillouin zonunun örgüdeki atom sayýsýnýn iki katý sayýda elektron tarafýndan iþgal edilþebileceðini yukarýda görmüþtük. Örgünün toplam enerjisi hakkýnda bilgi sahibi olmak istenirse mevcut elektronlarýn Brillouin zonlarýndaki enerji seviyelerine nasýl daðýlmýþ olduklarýný bilmek gerekir. Baþka bir deyimle, her zonu enerji birimi geniþliðinde, bölgelere ayýrarak bunlar içindeki enerji seviyesi sayýsýný bulmak gerekir. Bu sayý daha önce seviye yoðunluðuterimi ile adlandýrýlmýþtý. Serbest elektronlar için Fermi yüzeyi, yarý çapý k olan bir küre, enerji ise, dir.

29. Sýfýrdan baþlamak üzere her hangi bir E enerjisine kadar dolu olan seviyelerin toplam sayýsý N , k uzayýnda iþgal edilen hacmin, seviye birimi hacmine bölünmesi ile elde edilebilir. Her seviyede spin kuantum sayýsý farklý iki elektron bulunabileceði de hesaba katýlarak N sayýsý, olarak hesaplanabilir. Seviye yoðunluðu yani enerjileri E ile E+dE arasýnda bulunan elektron sayýsý dN , þeklinde elde edilir. Bu ifade, V hacim faktörü hariç daha önce baþka bir yoldan hesaplanan enerji yoðunluðu ifadesinin aynýdýr.

30. Brillouin zonlarýnýn sýnýrlarýndan uzak k bölgelerde örgü elektronlarý hemen hemen serbestmiþ gibi hareket ettiklerinden seviye yoðunluðu yukarýda hesaplanan ifadeye uygun olarak, parabolik bir biçimde yükselir, (Þekil 4.23). Sýnýrlara yaklaþýldýkça enerjinin deðiþmesi yavaþladýðýndan (dn/dE) parabolden daha fazla bir yükselme gösterir; bunu takiben azalmaya baþlar. Nihayet zon sýnýrýnda ( k = / a ) sýfýra düþer (Þekil 4.23.B). Zonlar üst üste gelirse seviye yoðunluðu eðrisi C deki þekli alýr. Enerji seviyesi yoðunluðunun bir zon içindeki deðiþimi (Þekil 4.23.B) kristalin örgü yapýsýna da baðlýdýr. Örneðin yüzey merkezli bir örgüde eðrinin maksimumu uzay merkezli bir örgüye nazaran daha küçük enerjidedir, Þekil 4. 24. Bu özellik adý geçen iki örgü yapýsýnda kristalleþen iki metalin alaþýmlarý için önemli sonuçlar verir. Bunlardan bir kýsmýný þimdi inceleyeceðiz.

31. Þekil 4.24. ymk ve umk örgülerde seviye yoðunluðu Þekil 4.23. Seviye yoðunluðunun enerjiye baðlý olarak deðiþimi

32. 4.8. BRILLOUIN ZONLAR TEORÝSÝNÝN METAL ALAÞIMLARINA UYGULANMASI Fermi yüzeyi ile Brilloin zon sýnýrý arasýndaki iliþki, alaþýmlarýn kristallografik yapý, elastik sabitler, elektrik ve magnetik davranýþlar gibi özellikleri üzerinde önemli rol oynar. Bir metal içinde valens elektronu sayýsý bu metalden farklý, örneðin daha çok olan, bir metal eritilirse oluþan alaþým örgüsünde Fermi yüzeyi ile Brilloin zonunun sýnýrlarý birbirine göre farklý konumlar alýrlar. Örnek olarak Cu - Zn ikili alaþýmýný, yani pirinç alaþýmýný inceleyelim.   Bakýrýn bir valens elektronu (4s), çinkonun iki valens elektronu (4s2) vardýr. Bakýra büyüyen miktarlarda çinko ilave edilince ymk yapýda olan örgüye daha fazla elektron ilave ediliyor, yani örgüde valens elektronu / atom oraný büyütülüyor demektir. Bu durum Brillouin zonu sýnýrýna temas eden enerji seviyelerinin de dolmasýna neden olur. Alaþýma daha fazla çinko, ve böylece örgüye daha fazla elektron ilave edilmesi, yeni gelen elektronlarýn yasak bölgeyi aþarak 2. Brillouin zonuna geçmelerini gerektirir.

33. Fakat örgü yapýsýnýn daha geniþ Fermi yüzeyine sahip bir yapýya dönüþmesi ve böylece yeni elektronlarý 1. zon içine almasý enerjia açýsýndan daha tercih edilir bir iþlemdir. Bu nedenle alaþým, daha büyük Fermi yüzeyi olan uzay merkezli kübik (  fazýna ) geçer. fazýndan (ymk)  fazýna (umk) geçiþ, pirinçte elektron/atom oraný, 1.36 ya gelince baþlar.   Alaþýmlarda elektron/atom oranýnýn önemine ilk kez W. HUME-ROTHERY, 1926dikkat çekmiþtir. Hume-Rothery kuralý olarak anýlan empirik kurala göre ikili alaþýmlarýn faz deðiþmeleri daima ayný elektron/atom oranýnda meydana gelir. Bir çok ikili alaþým bu kurala çok iyi uyar.   Aþaðýdaki cetvelde ikili alaþýmlarýn faz deðiþimleri için ortak elektro/atom oranlarý (= Fermi yüzeyinin Brillouin zonuna temas haline tekabül eden oranlar) verilmiþtir.

34. Þekil 4.24, enerjinin fonksiyonu olarak enerji birimi baþýna seviye sayýsýný (ymk) ve (umk) örgüler için gösterilmiþtir.   Bakýra Alüminyum veya Galyum gibi üç valens elektronlu metaller ilave edilirse, kristal yapýsý bozulmadan fazla elektronlarýn 1. Brillouin zonuna alýnabilmesi, örgüde boþluklar meydana gelmesine de neden olabilir. Bu hal de daha düþük bir enerji durumuna karþýlýk gelir.   Bu tür deðiþiklikler kristalin örgü yapýsý ayný kalsa bile örgü sabitlerinin deðiþmesine de yol açar.

35. YARIÝLETKENLER 5.HAFTA Önceki bölümlerde yarýiletkenler ile yalýtkanlar arasýndaki belli baþlý farkýn yarýiletkelerde valens badý ile iletkenlik bandý arasýndaki band aralýðýnýn (yasak enerji aralýðýnýn) darlýðý olduðunu görmüþtük. Bu nedenle oda sýcaklýðýnda bile termik uyarma yoluyla bir kýsým elektronlar valens bandýndan iletkenlik bandýna geçer ve malzemeye iletkenlik kazandýrabilir. BÖLÜM 5 Mutlak sýfýr sýcaklýðýnda metalik bir iletkenin iletkenlik özelliðini korumasýna karþýlýk yarýiletken bir cisim bu sýcaklýkta yalýtkan haline geçer. Oda sýcaklýðýnda yarýiletkenlerin spesifik (öz) dirençleri 10-2 - 109.cm arasýnda deðiþir. (Saf metallerde  =10-6 - 10-4.cm ; yalýtkanlarda 1013 - 1022.cm mertebesindedir.)   Yarýiletkenler çok çeþitli alanlarda kullanýlmaktadýr. Diyot ve transistörler, termistörler, foto elektrik düzenekler, kuantum elektronik aletler, akustik dedektörler ve radyasyon dedektörleri bunlar arasýnda sayýlabilir.

36. Silisyum, Germanyum, Selenyum gibi kimya bakýmýndan saf elementlerden baþka Cu2O, PbS, GaAs, InAs, CdS gibi bileþikler; hatta bazý organik maddeler örneðin antrasen ve polimerler gibi, yarýiletken özellikler gösterirler. Yarýiletkenlerin elektrik özellikleri, ýsýsal uyarma sonucu oluþabildiði gibi, bunlarýn içerdikleri çok az konsantrasyonda yabancý maddeler, örgü bozukluklarý veya kimyasal yapýlarýný oluþturan atomlardan bazýlarýnýn eksik olmasý nedeniyle de ortaya çýkabilir. Genel olarak kimya bakýmýndan saf olup band yapýsý itibariyle yarýiletken olan cisimlere asal yarýiletken (intrinsic semiconductor) adý verilir. Bundan önceki paragrafta sayýlan cisimlerden her biri bu tanýma göre asal bir yarý iletkendir. Bazý yabancý cisimler konsantrasyonu az bile olsa, yarý iletkenlerin elektriiksel özelliklerini anormal biçimde deðiþtirebilir. Örneðin saf silisyuma yüzbinde bir oranýnda bor katýlýrsa silisyumun spesifik direnci, oda sýcaklýðýnda, yaklaþýk olarak 1000 kez azalýr. Asal yarý iletkenlerden bu çeþit yarý iletkenleri ayýrmak için bunlarakatkýlý yarý iletken (extrinsic semiconductor)adý verilmiþtir. Yarý iletkenlere yabancý atom katma iþlemine dopingadý verilir.

37. 5.1. ASAL YARIÝLETKENLER Sonsuz saflýkta ve örgü yapýsý mükemmel bir kristal hazýrlanmasý imkansýzdýr. Bununla beraber bu ideale oldukça yaklaþýlabilir ve normal deney koþullarýnda asal (intrinsic) yarýileteken özellikleri gösteren malzeme elde edilebilir.   Asal bir yarýiletkende, iletkenlik bandýnda bulunan elektronlarýn sayýsý ile bunlarýn valens bandýnda býraktýklarý boþluklarýn (deþik, electron hole) sayýsý birbirine eþittir. Kristale dýþardan uygulanan elektrik alaný etkisi altýnda boþluklar alan yönünde, elektronlar alanýn zýt yönünde ilerlerler, ancak ancak her iki akým taþýyýcý da (carrier) elektrik alan doðrultusunda bir akým meydana getirirler, Þekil 5.1. Elektron boþluklarýnýn pozitif yüklü ve effektif kütlelerinin sýfýrdan farklý parçacýklar gibi düþünülmesi büyük bir kavram kolaylýðý yaratýr.

38. Þekil 5.1.Akým taþýyýcýlarýn hareket yönleri Asal yarýiletken bir cisim hiç bir zaman sonsuz saflýkta olamayacaðý için her sýcaklýkta bir asal yarý iletken gibi davranmaz. Alçak sýcaklýklarda valens bandýndan iletkenlik bandýna geçen elektronlarýn sayýsý , kristaldeki yabancý atomlarýn saðladýklarý elektron sayýsýndan azdýr. Bu nedenle kristal daha çok katkýlý (extrinsic) yarý iletken özelliði gösterir. Genel olarak bir yarý iletkenin iletkenliðinin yabancý atomlar tarafýndan deðiþtirilmediði sýcaklýklara asal iletkenlik sýcaklýðý bölgesi adý verilir. Bu sýcaklýðýn altýndaki bölgelerde kristal, katkýlý yarý iletkendir.

39. 6.HAFTA Asal yarý iletkenlerin öz dirençleri sýcaklýðýn tersi ile eksponansiyel olarak azalýr. Bu davranýþ yarý iletkenleri metallerden ayýran önemli bir özelliktir. 5.2. YARIÝLETKENLERÝN BAND YAPISI Saf bir yarý iletkenin band þemasý daha önce incelenmiþti. Kristal yapýsýnýn periyodik alaný kristal içindeki doðrultuya baðlý olarak farklýlýklar gösterdiði için eneri bandlarýnýn alt ve üst kenarlarý da doðrultuya baðlý olarak farklýlýklar gösterir, Þekil 62. Bu nedenle kristali daha kantitatif olarak tanýmak istiyorsak enerji bandlarýnýn üç boyutlu olarak çizilmesi gerekir. Bununla beraber, mümkün olan bütün doðrultulardan valens bandýnýn üst kenarý (Ev) en yüksek olan doðrultu ile iletkenlik bandýnýn alt kenarý (Ei) en alçak olan doðrultuya ait Ev ve Ei deðerleri ile çizilen bir band þemasý, kristalin genel davranýþýný gerçeðe oldukça yakýn olarak belirleyebilir. Band aralýðý veya yasak enerji bölgesi bu durumda Ey = Ei - Ev

40. geniþliðindedir. Ey , kristal içinde, bir valens elektronunun iletkenlik bandýna geçebilmesi için gereken en küçük enerjidir. Bu nedenle Ey ye bazen ýsýsal enerji aralýðý (thermal energy gap) adý da verilmektedir. Þekil 5.2. Silisyum ve Germanyumun band yapýlarý

41. Þekil 5.2, iki yarý iletkenin, silisyum ile germanyumun [100] ve [111] doðrultularýnda mesafeye baðlý olarak, band yapýlarýný göstermektedir. Yüzey merkezli küp þeklinde kristalleþen bu iki kristalin 1. Brillouin zonlarý üç boyutlu olarak Þekil 4.19 da gösterilmiþtir. [100] doðrultusu, merkezden (k = 0) zonun kare þeklindeki ön yüzeyine indirilen dikmenin doðrultusu ; [111] doðrultusu ise altý köþeli yüzeye indirilen dikmenin doðrultusudur. Þekil 5.2, birbiriyle yaklaþýk 55 o açý yapan bu iki doðrultuyu, kolaylýk olmasý açýsýndan ayný düzlemde göstermektedir. Her iki kristalde de valens bandý kenarýnýn en yüksek deðeri k = 0 da dýr, fakat iletkenlik bandý kenarlarý farklý yerlere düþmektedir. Þekil 5.2 deki gibi bir band yapýsýnýn doðru olarak çizilebilmesi, kristali oluþturan atomlarýn elektron seviyelerinin kristal yapýsý içinde mesafeye baðlý olarak hesaplanabilmesine baðlýdýr. Bu aþamada elektronlarýn yörünge hareketleri ile spin hareketleri arasýndaki muhtemel kuplajlarý ve böylece meydana gelen magnetik etkileri de hesaba katmak gerekir.

42. 3.5. YARIÝLETKENLERDE ELEKTRON VE BOÞLUK YOÐUNLUKLARI Oda sýcaklýðýnda bir yarý iletkenin iletkenlik bandýndaki elektronlarýnýn E enerjisi (daha doðru bir deyiþle E - EF ) , kT yanýnda oldukça büyüktür. Örneðin Silisyumda E - EF0.55 eV , kT = 0.025 eV dur. Bu nedenle iletkenlik elektronlarýnýn enerji daðýlýmý için Fermi - Dirac fonksiyonu, þeklinde basitleþtirilebilir. Bundan baþka iletkenlik bandýna geçmiþ bulunan elektronlarý yarý serbest kabul edebiliriz. Enerjinin sýfýr noktasýný valens bandýnýn üst kenarýna alýrsak (Þekil 5.3) iletkenlik bandýndaki bir elektronun enerjisi,

43. olur. Bu ifadenin ikinci terimi tam serbestlikle hareket eden elektronlar için tam doðrudur. Fakat denklemde elektronun effektif kütlesi kullanýldýðýndan zon sýnýrlarý yakýnlarýnda da kinetik enerjinin doðru olarak hesaplanmasý mümkün olur. Þekil 5.3. Þimdi kristalin hacim birimindeki elektronlardan iletkenlik bandýna geçmiþ bulunanlarýnýn n sayýsýný öðrenmek istiyoruz. Önce enerjileri E ile E + dE arasýnda bulunanlarýn 1 cm3 deki sayýsý için seviye yoðunluðu Ge(E) ile f (E) daðýlýmýný kullanarak

44. yazabiliriz. Ýletkenlik bandýnýn alt sýnýrýndan itibaren yukarýdaki ifadenin integrali aranýlan n yoðunluðunu verir. Burada kolaylýk olmak üzere enerji intervali E - EF = (E - Ey) + (Ey - EF) olmak üzere iki kýsma ayrýlmýþtýr. , (Þekil 5.3). Bu ifadedeki integralin deðerlendirilmesi için bir belirli integraller cetvelinden faydalanmak mümkündür. Böyle bir cetvelden alýnan ,

45. integralinde = 1 / kT x = E - Ey ve integral alt sýnýrýný sýfýra kaydýrmak suretiyle, alt sýnýrýn Ey yerine sýfýra kaydýrýlmasýyla elektron sayýsýnýn deðiþmeyeceði açýktýr. Çünkü, E = 0 ile E = Ey arasýnda , yani yasak bölgede zaten elektron bulunmamaktadýr. Böylece iletkenlik bandýnda elektron yoðunluðu,

46. olarak elde edilir. Bu ifadedeki eksponansiyel terim E = Ey için Fermi-Dirac fonksiyonuna eþittir. Dolayýsýyla geriye kalan, iletkenlik bandýndaki effektif seviye yoðunluðu karakterinde bir büyüklüktür. Buna göre iletkenlik bandýndaki elektron yoðunluðu, þeklinde de ifade edilebilir.* Bir kýsým elektronlarýn iletkenlik bandýna geçmesi ile valens bandýnda oluþan boþluklarýn da (hole) denge yoðunluklarýný bilmek faydalýdýr. Elektronlarýn fe daðýlýmlarý bilinince boþluklarýn fb daðýlýmý *Bu ifadelerin yaklaþýk ifadeler olduðu gözden uzak tutulmamalýdýr. Çünkü, bu ifadenin çýkýþýnda me* sabit kabul edilmiþ ve integral dýþýna alýnmýþtýr. Gerçekte effektif kütle enerjiye baðlýdýr. Fakat Brillouin zonu ortalarýnda E k2 olduðundan me* = sabittir. Sýnýrlardaki hata ise eksponansiyel faktör nedeniyle küçüktür ve ihmal edilmiþtir. Bu ifadelerin yürürlük alanýný sýnýrlayan diðer bir faktör, (E - EF) dolayýsýyla (Ey - EF) enerji farkýnýn kT yanýnda büyük kabul edilmesinden kaynaklanýr. Fakat yarý iletken problemlerinin çoðunda bu kabul korkusuzca yapýlýr. Band aralýðý çok dar olan yarý iletkenlerde Fermi fonksiyonu tam þekliyle kullanýlmalýdýr

47. ve yine E – EF >> kT kabülü yapýlarak, yazýlabilir. Elektron boþluklarý da , valens bandýnýn üst enerji düzeylerinde serbest olarak hareket edebilen pozitif yüklü ve kütleleri mb* olan parçacýklar gibi kabul edilebildiðinden bunlarýn seviye yoðunluklarýný þeklinde yazmak mümkündür. Böylece valens bandýndaki pozitif boþluk yoðunluðu,

48. olur. Bu sefer x = E ; = 1/ kT alýnarak yukarýda yapýldýðý gibi, bulunur.   Bu ifadelerden elektron ve boþluk yoðunluklarýný elde etmek istersek Fermi enerjisini bilmek gerekir. Asal bir yarý iletkende n = p olmasý olgusundan yararlanarak Fermi enerjisi hesaplanabilir.

49. Bu sonuç daha önce hesaplanmadan verilen deðerin aynýdýr. Elektron ve boþluklarýn effektif kütleleri birbirine eþit olduðu müddetçe Fermi enerjisi band aralýðýnýn tam ortasýndadýr. Ýkinci, logaritmik terim me* / mb* deðeriyle yavaþ deðiþtiði için pratik bakýmdan Fermi enerjisi hemen hemen daima yasak bölgenin ortasýnda kabul edilebilir. (Örnek: me* / mb* = 2 ; T = 300 o K , 3/4 kT Ln (me* / mb*) = 3/4 . 0.025. 0.693 = 0.013 eV)

50. 7.HAFTA 5.4. ASAL YARIÝLETKENLERDE ELEKTRÝK ÝLETKENLÝÐÝ Birim hacminde n sayýda elektron bulunan ve yalnýz bu elektronlar dolayýsýyla elektrik akýmý iletebilen bir metalde akým yoðunluðu,  dir. Burada e elektronun yükü, vd elektronlarýn elektrik alan etkisi altýnda, elektrik alan doðrultusunda kazandýklarý ortalama hýzdýr ve doðal olarak alan þiddetine baðlýdýr.   Öz iletkenlik , birim kesitten, birim elektrik alaný etkisi ile 1 saniyede geçen elektrik yüküne eþittir. 1 volt/cm lik alan þiddetinde elektronun kazandýðý cm/s cinsinden ölçülen vd hýzýna elektronun mobilitesiadý verilir. Mobiliteyi  ile göstermek suretiyle öz iletkenlik için,