Onde 1 14 novembre 2013

1. Onde 114 novembre 2013 Campi e onde Tipologia Equazione d’onda e sua proprietà di sovrapposizione Soluzioni dell’equazione delle onde Onde sferiche Onde stazionarie Fronti d’onda, raggi (Energia di un’onda meccanica)

2. Campi • Matematicamente sono funzioni reali (o complesse) che rappresentano grandezze fisiche • Sono definiti nello spazio tridimensionale (o in opportuni sottoinsiemi 3-D, 2-D, 1-D) e nel tempo • Se non dipendono dal tempo sono detti statici • Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

3. Campi • Se basta una sola funzione a definirli completamente, il campo è detto scalare (campo della temperatura) • Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo è detto vettoriale (campo della velocità di un fluido)

4. Onde • Sono perturbazioni delle condizioni di equilibrio statico di un campo, generate da una sorgente e che si propagano nello spazio e nel tempo • Possono essere periodiche o impulsive • Possono richiedere un mezzo materiale (onda meccanica) oppure possono propagarsi nel vuoto (onda elettromagnetica) • Si propagano con una velocità che dipende dalla natura del campo e del mezzo

5. Tipologia • Onde meccaniche: hanno bisogno di un mezzo materiale per essere prodotte e per propagarsi • Onde elettromagnetiche: si propagano anche nel vuoto

6. Tipologia • Onde longitudinali: l’oscillazione microscopica del mezzo è parallela alla direzione del moto macroscopico di propagazione dell’onda • Onde trasversali: l’oscillazione microscopica del mezzo è perpendicolare alla direzione del moto macroscopico di propagazione dell’onda; sono dunque possibili due direzioni indipendenti dell’oscillazione (ovvero due polarizzazioni)

7. Tipologia Onde sismiche di volume • Onde: • Trasversali • sulla superficie di un liquido o su una membrana • su una corda • nel vuoto: onde e.m. • Longitudinali • sonore in un fluido • Miste • sonore in un solido • onde sismiche: le onde p, o primarie, sono longitudinali e le onde s, o secondarie, sono trasversali; le onde p sono piu` veloci delle onde s

8. Funzione d’onda • Un’onda viene rappresentata matematicamente con una funzione dello spazio e del tempo detta funzione d’onda

9. Equazione d’onda • L’equazione che descrive il moto di un’onda • prende il nome di equazione d’onda o di d’Alembert e descrive in generale tutte le onde che dipendono da una sola variabile spaziale e dal tempo f=f(x,t) • Può essere generalizzata al caso di due o tre variabili spaziali cioè f=f(x,y,z,t)

10. Proprietà dell’eq. d’onda • Nell’eq. le derivate della funzione incognita f compaiono con esponente 1, inoltre esse sono operazioni lineari • Questo ha l’importante conseguenza che se f e g sono due soluzioni, allora è soluzione anche qualunque loro combinazione lineare h=f+g • Vediamolo:

11. Proprietà dell’eq. d’onda • E similmente per le derivate rispetto alle altre variabili • Se moltiplichiamo per  l’equazione • e per  l’equazione • e le sommiamo, otteniamo • Sfruttando la proprietà vista

12. Proprietà dell’eq. d’onda • Cioè anche h è soluzione: • Questa proprietà permette trattare il problema di sorgenti multiple: • Si considera un problema distinto per ogni sorgente e se ne trovano le soluzioni odulatorie • Si sommano poi queste soluzioni, cioè le onde delle singole sorgenti • Tale somma è soluzione del problema in cui le sorgenti agiscono contemporaneamente • Questo è il principio di sovrapposizione delle onde

13. Soluzioni dell’eq. delle onde • Abbiamo visto che le soluzioni dell’eq. • sono dette onde piane e che una qualunque funzione di argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione

14. Soluzioni dell’eq. delle onde • Vogliamo ora dimostrare questo risultato • Eseguiamo il cambiamento di variabili • La cui trasformazione inversa è

15. Soluzioni dell’eq. delle onde • Diciamo F la funzione f espressa in termini delle nuove variabili • Esprimiamo le derivate rispetto alle nuove variabili

16. Soluzioni dell’eq. delle onde • Le derivate seconde divengono • Sostituendo nell’eq. delle onde otteniamo

17. Soluzioni dell’eq. delle onde • E semplificando • L’integrazione di questa eq. è molto semplice: se la derivata rispetto alla variabile  è nulla • allora la funzione tra parentesi può dipendere solo dall’altra variabile,  : • ove g è una funzione arbitraria di 

18. Soluzioni dell’eq. delle onde • Per trovare F(, ) basta infine integrare rispetto a , operazione che dà una funzione di  (la primitiva di g) più un’arbitraria funzione di  • Ritornando alle variabili iniziali, ne segue la tesi

19. Soluzioni dell’equazione delle onde • Studiamo un’eq. un po’ piu` complicata di quella piana • In cui f sia funzione del tempo e del modulo del vettore posizione, cioe` f abbia simmetria sferica • Dobbiamo esprimere il laplaciano in coordinate sferiche • Poiche’ f non dipende dalle variabili angolari q e f, gli operatori corrispondenti danno risultato nullo, rimane quindi da calcolare solo il primo addendo

20. Onde sferiche • A tal fine esprimiamo f come • Il laplaciano diventa • e l’eq. d’onda • Moltiplicando per r otteniamo l’eq. delle onde piane per F • Poiche’ tale eq. ha per soluzioni • L’eq. di partenza ha per soluzioni • Tali soluzioni sono dette onde sferiche • Ad es. per onde sinusoidali

21. Onde stazionarie La sovrapposizione di un’onda progressiva e di una regressiva di ugual ampiezza costituisce un’onda stazionaria 21

22. Onde stazionarie sinusoidali • Sono del tipo • Sviluppando i seni, otteniamo • Cioè la dipendenza dallo spazio e dal tempo è fattorizzata • I massimi e i minimi della funzione spaziale si dicono ventri, mentre gli zeri si dicono nodi

23. Onde stazionarie. Due estremi vincolati • n=1, frequenza fondamentale • n=2, prima armonica • n=3, seconda armonica • Relazione tra lunghezza d’onda l, frequenza f e lunghezza L della corda • 1 ventre, 2 nodi • 2 ventri, 3 nodi • 3 ventri, 4 nodi

24. Onde stazionarie. Un estremo vincolato • Relazione tra lunghezza d’onda l e lunghezza L della corda • 1 ventre, 1 nodo • 2 ventri, 2 nodi • 3 ventri, 3 nodi

25. Onde stazionarie. Estremi liberi • Relazione tra lunghezza d’onda l e lunghezza L della corda • 2 ventri, 1 nodo • 3 ventri, 2 nodi • 4 ventri, 3 nodi

26. Onde piane • Le onde piane sinusoidali (p.e. progressive) sono del tipo • Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante • Ad un determinato istante di tempo questa eq. rappresenta una superficie piana • Per un’onda piana le superfici di ugual fase sono piani x

27. Onde sferiche • Le onde sferiche sinusoidali (p. e. progressive) sono del tipo • Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante • Ad un determinato istante di tempo questa eq. rappresenta una superficie sferica di raggio r • Per un’onda sferica le superfici di ugual fase sono superfici sferiche r

28. Superfici di egual fase • A seconda del valore della fase le superfici possono essere superfici di massimo, di minimo o di altra fase • Vengono anche dette fronti d’onda • La direzione localmente perpendicolare alla superficie di egual fase è la direzione di propagazione dell’onda in quel punto • Se scegliamo un punto sulla superficie d’onda e lo seguiamo nel tempo, esso traccia una linea localmente perpendicolare, istante per istante, alla superficie d’onda • Tali linee vengono dette raggi

29. Raggi • Per le onde piane i raggi sono rette parallele, • per le onde sferiche sono semirette con origine comune r x

30. Energia delle onde • Vogliamo calcolare l’energia associata ad un’onda • Per semplicità ci limiteremo ad onde piane di tipo sinusoidale • In tutta generalità considereremo un’espressione valida sia per onde trasversali (T) che longitudinali (L) • Faremo il calcolo per i due casi • Onda progressiva • Onda stazionaria

31. Energia di un’onda progressiva • Consideriamo una piccola quantità di materia di volume dV e massa dm di dimensione dx nella direzione x di propagazione • Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge • Per onde T, f rappresenta l’oscillazione trasversale rispetto a x • Per onde L, f rappresenta l’oscillazione lungo x • L’energia potenziale dell’elemento materiale è

32. Energia di un’onda progressiva • L’energia cinetica • L’energia meccanica totale è dunque • Per trovare le energie corrispondenti ad una lunghezza L dell’onda, integriamo rispetto alla massa, supposta distribuita con densità uniforme m lungo x

33. Energia di un’onda progressiva • Otteniamo • Per semplicità scegliamo cioè una regione spaziale di estensione multipla di lunghezza d’onda. Posto che l’integrale in U (e in K, scambiando sin con cos) diventa

34. Energia di un’onda progressiva • Infine • Quindi l’energia dell’onda è proporzionale • al quadrato dell’ampiezza dell’onda • al quadrato della frequenza dell’onda • alla massa della materia coinvolta mL

35. Energia di un’onda stazionaria • Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge • L’energia potenziale dell’elemento materiale dm è • L’energia cinetica • L’energia totale

36. Energia di un’onda stazionaria • L’energia dell’onda, su una lunghezza multipla, p.e., di mezza lunghezza d’onda, si trova integrando su x • Poiche’ l’onda è una sovrapposizione di due onde di ugual ampiezza A’, abbiamo A=2A’, ne segue che la sua energia è uguale alla somma delle energie delle onde componenti