§16 Rang und lineare Gleichungssysteme

1. 4o Für Teilmengen A und B aus V §16 Rang und lineare Gleichungssysteme (16.1) Definition: V sei wieder ein K-Vektorraum. Der Rang einer Teilmenge A aus V ist die Dimension der linearen Hülle Span(A): • rg A := dim Span(A) . Der Rang einer linearen Abbildung f aus Him(V,W) ist der Rang von Im f : rg f := dim Im f . (16.2) Beispiele: 1o A aus V sei Erzeugendensystem. Dann rg A = dim V . 2o A = {e1, e1 + e3, e3, e1 – e3} hat den Rang 2 in Rn , n > 2. 3o rg A = 0 bedeutet A = {0} . (16.3) Rangsatz: Für eine Teilmenge A aus V gilt r = rg A genau dann, wenn es r linear unabhängige Elemente in A gibt und je n+1 Elemente aus A linear abhängig sind.

2. Ein Vektor b aus V gehört genau dann zur linearen Hülle Span A, wenn rg A = rg gilt. # Setze . Kapitel III, §16 (16.4) Lemma: Sei A eine Teilmenge von V mit endlichem Rang. Lineare Gleichungssysteme haben wir bereits in §3 kennengelernt. Damals über R ; jetzt interessieren wir uns für lineare Gleichungs-systeme über einen beliebigen Körper K:

3. Kapitel III, §16 Mit dieser Notation ist # äquivalent zu x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b , und das bedeutet: b ist Linearkombination der ak mit den Skalaren xk aus K, die sich zu einem Lösungsvektor x aus Kn zusammensetzen. Wir haben jetzt vier Sätze zur Lösungstheorie: Es seien a1, a2, ... , an, b aus Km . f(x) := x1a1 + x2a2 + ... + xnan , xk aus K , definiert dann eine lineare Abbildung f aus Hom(Kn,Km) . (16.5) Satz A: Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1o f(x) = b hat eine Lösung x aus Kn (d.h. # hat Lösung x). 2o b liegt in Span {a1, a2, ... , an} = Im f . 3o rg {a1, a2, ... , an} = rg {a1, a2, ... , an, b} . (16.6) Satz B: Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1o rg {a1, a2, ... , an} = m . 2o f(x) = b hat für alle b aus Km eine Lösung x aus Kn . 3o f ist surjektiv .

4. Kapitel III, §16 (16.7) Satz C: Es gilt: 1o {x aus Kn: x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0} ist ein Untervektorraum, nämlich Ker f . 2o dim Ker f + rg {a1, a2, ... , an} = n . 3o (Superposition) Sei y aus Kn eine spezielle Lösung, also f(y) = b . Dann erhält man alle Lösungen von f(x) = b als x = y + z mit f(z) = 0 . Die Lösungsgesamtheit ist also: y + Ker f . (16.7) Satz D: x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b habe eine Lösung. 1o Die Lösung ist eindeutig genau dann, wenn b = 0 ist und die Gleichung nur die triviale Lösung hat. Das ist genau dann der Fall, wenn b = 0 ist und {a1, a2, ... , an} linear unabhängig (d.h. f injektiv) ist. 2o Im Falle m = n : Die Lösung ist eindeutig genau dann, wenn b = 0 und f(x) = 0 nur die triviale Lösung hat. Das ist genau dann der Fall, wenn f bijektiv ist.