1 / 161

Pertemuan ke 21

Pertemuan ke 21. BAB VIII. G R A F. 1. Pendahuluan. Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah , bulatan atau titik yang disebut simpul ( verteks ).

zoltin
Download Presentation

Pertemuan ke 21

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Pertemuan ke 21

  2. BAB VIII G R A F

  3. 1. Pendahuluan • Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. • Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan atau titik yang disebut simpul(verteks). • sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis yang disebut sisi ( edge ).

  4. C A D B Masalah jembatan Königsberg Apakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula?

  5. C (3) A D (5) (3) (3) B Jawaban yang dikemukakan oleh Euler adalah : Orang tidak mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing-masing satu kali dan kembali lagi ke tempat asal keberangkatan jika derajat setiap simpul tidak seluruhnya genap.

  6. C A D B Dari C ke B 3 2 1 4 7 5 6 8

  7. 2. Definisi • Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( V, E ), yang dalam hal ini : • V = himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices/ node) = {v1, v2 , ..., vn } dan V  1 • E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul = {e1, e2, ... , en } dan E  0

  8. Jika e adalah sisi yang menghubungkan vi dan vj, maka e dapat ditulis e = (vi ,vj ) • Jumlah simpul pada graf disebut kardinalitas graf dan dinyatakan dengan n=V, dan jumlah sisi dinyatakan dengan m = E. • Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi, dinamakan graf trivial.

  9. 1 G1 1 1 G2 G3 e4 e4 e1 e1 e3 e3 2 3 2 e8 2 e2 e2 e6 e6 3 3 e5 e5 4 e7 e7 4 4 Gambar 8.3

  10. Sisi Ganda adalah sisi yang menghubungkan dua buah simpul yang sama. • Gelang atau Kalang adalah sisi yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

  11. G1 2 3 4 3. Jenis-jenis Graf • Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi kalang. a. Graf Sederhana : Graf yang tidak mengandung gelang atau sisi ganda. 1

  12. G2 1 e4 e1 e3 e8 2 e2 e6 e5 3 e7 4 • b. Graf tak Sederhana : Graf yang mengandung sisi ganda(graf ganda) dan Graf yang mengandung gelang (graf semu ).

  13. B. Berdasarkan jumlah simpul. • a.Graf Berhingga Graf yang jumlah simpulnya,n,berhingga. • b.Graf tak Berhingga Graf yang jumlah simpulnya,n, tidak berhingga banyaknya.

  14. C. Berdasarkan Arah pada sisi a.Graf tak berarah : Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (vi ,vj ) = (vj ,vi )

  15. G3 1 2 3 4 b. Graf berarah Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. • Pada graf berarah(vi ,vj ) dan (vj ,vi ) menyatakan dua buah busur yang berbeda. • Maka (vi ,vj )  (vj ,vi ). Untuk (vi ,vj ), simpul vidinamakan simpul asal dan vj dinamakan simpul terminal.

  16. 4. Contoh Terapan Graf Graf dipakai di berbagai disiplin ilmu maupun dalam kehidupan sehari-hari. Contoh pada : • Rangkaian Listrik. • Isomer senyawa kimia karbon. • Transaksi konkuren pada basis data terpusat. • Pengujian program. • Terapan graf di dalam teori otomata. • Turnamen Round-Robin.

  17. Turnamen Round-Robin 1 2 6 3 5 4 Gambar 8.10

  18. 5. TERMINOLOGI GRAF 1 ● (a) G1 2 ● ● 3 1 ● 4 1 Gambar 8.11 5 e2 ● e3 e1 3 ● 3 2 4 e4 2 (c) G3 (b) G2 e5

  19. 1 2 3 4 1. Bertetangga ( Adjacent) • Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi.  Contoh 8.2 : Simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3, tetapi simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4

  20. 1 2 3 4 2. Bersisian( Incident) • Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan e bersisian dengan simpul vj atau e bersisian dengan simpul vk. Contoh 8.3 : Sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3, Sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4

  21. 1 G5 5 3 4 2 3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) • Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya. ●

  22. 1 G6 4 2 5 3 4. Graf Kosong (Null graph ) • Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong dan ditulis sebagai Nn, yang dalam hal ini n adalah jumlah simpul. ● Graf N5 ● ● ● ●

  23. 5. Derajat (Degree) • Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. • Simpul yang berderajat satu disebut anting-anting ( pendant verteks). • Simpul yang mempunyai gelang dihitung mempunyai dua buah sisi.

  24. 1 5 ● 3 2 4 Contoh 8.6 : 1 ● d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3 G1 2 ● ● 3 ● 4 1 Gambar 8.11 e2 e3 d(3) = 4 e1 ● 3 e4 2 G3 d(4) = 1 G2

  25. Definisi 8.7 : Pada graf berarah, derajat simpul v dinyatakan dengan din(v) dan dout(v), yang dalam hal ini din(v) = derajat-masuk (in-degree) dout(v)= derajat-keluar (out-degree) dan d(v) = din(v) + dout(v)

  26. Contoh 8.7 : Derajat setiap simpul adalah : din(a) = 2 ; dout(a) = 1 din(b) = 2 ; dout(b) = 3 din(c) = 1 ; dout(c) = 2 din(d) = 2 ; dout(d) = 1 b a c d

  27. Pada graf berarah G =(V,E) selalu berlaku hubungan Misalnya pada contoh 8.7 di atas,

  28. Lemma Jabat Tangan. Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain, jika G = (V,E), maka

  29. 1 2 3 4 Contoh 8.8 : Jumlah derajat seluruh simpul pada graf gambar 8.11 (a)

  30. Contoh 8.9 : Diketahui graf dengan 5 buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul adalah : ● • 2, 3, 1, 1, 2 • 2, 3, 3, 4, 4 ● ● ● ●

  31. (4) (2) (4) (3) (3) Contoh 8.9 : ● Teorema 8.1 Untuk sembarang graf G, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap

  32. 1 2 3 4 6. Lintasan ( Path) Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi(1,2), (2,4), (4,3) Istilah lain untuk lintasan adalah jalur.

  33. Lintasan Sederhana ( simple path ) Lintasan dimana semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali).

  34. Lintasan Tertutup (closed walk) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. • Lintasan Terbuka ( open walk) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang tidak sama.  Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut.

  35. 1 2 3 4 Contoh 8.10 : Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan sederhana, juga lintasan terbuka. Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 adalah juga lintasan sederhana, juga lintasan tertutup. Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan terbuka. Panjang Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah 3

  36. 1 2 3 4 7. Siklus (cycle)/Sirkuit(circuit) Definisi 8.8 : Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.

  37. a.Panjang Sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut.  • b.Sirkuit Sederhana (simple path) Sirkuit dengan semua sisi yang dilalui hanya satu kali. • c.Sirkuit Elementer (elementary path) Sirkuit dengan semua simpul yang dilalui hanya satu kali.

  38. 8. Terhubung (connected) Dua buah simpul v1 dan v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2. Definisi 8.9 Graf tak berarahG disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul v1 ke v2 dalam himpunan V terdapat lintasan dari v1 ke v2 juga v2 ke v1. Jika tidak, maka G disebut graph tak terhubung (disconnected graph).

  39. 1 5 2 3 6 7 8 4 Gambar 8.14 graf tak-berarah tidak terhubung

  40. Definisi 8.11 Graf berarahG dikatakan terhubung jika graf tak-berarahnya terhubung ( graf tak-berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya ).

  41. 1 5 2 3 4 • Dua simpul, u dan v pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u. Simpul 1 dan simpul 3terhubung kuat karena terdapat lintasan dari 1 ke 3 (yaitu 1, 2, 3), begitu juga terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1).

  42. 1 5 2 3 4 • Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected). Simpul 1 dan simpul 3terhubung lemah karena hanya terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1), tetapi tidak ada lintasan dari 1 ke 3.

  43. 2 2 1 3 1 3 1 3 6 6 5 5 4 5 4 9. Upagraf ( Subgraph) dan Komplemen Upagraf Definisi 8.13 : Misalkan G= (V, E) adalah sebuah graf. G1=(V1, E1) adalah upagraf (subgraph) dari G. Komplemen dari upagraf G1 terhadap graf G adalah graf G2=(V2,E2). G2 G G1 upagraf Komplemen

  44. 5 1 2 6 3 4 7 Jika graf tidak terhubung, maka graf tersebut terdiri atas beberapa komponen terhubung (connected component). ● G2 G1 G3 Gambar 8.17 Graf G yang mempunyai 3 buah komponen, yaitu G1, G2, dan G3

  45. 1 4 6 2 3 5 Pada graf berarah, komponen terhubung kuat(1, 3, 2, 1) adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung kuat. ●

  46. 1 1 3 2 2 3 5 4 10. Upagraf Merentang (Spanning Subgraph) • Upagraf G1=(V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan upagraf merentang jika V1=Vatau G1mengandung semua simpul dari G. Bukan Upagraf MerentangG G G1 1 3 2 G2 5 4 Upagraf MerentangG

More Related