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Complexidade Computacional e Jogos

Complexidade Computacional e Jogos . Agenda da Apresenta ção. Preliminares de Teoria da Computação e Complexidade Computacional. - Aspectos Computacionais de Jogos. - Teoria dos Jogos desde o Teorema de Zermelo. - O que é a (Teoria da) Computação ?.

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Complexidade Computacional e Jogos

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  1. Complexidade Computacional e Jogos Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  2. Agenda da Apresentação • Preliminares de Teoria da Computação e • Complexidade Computacional - Aspectos Computacionais de Jogos - Teoria dos Jogos desde o Teorema de Zermelo Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  3. - O que é a (Teoria da) Computação ? (Tentativa de) conceituação do Computável - O que é Lógica ? (Tentativa de) conceituação do Razoável Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  4. Máquina de Raciocinar (Leibniz 1667)  Máquina de Calcular de Pascal (Pascal sec.XVII) Antes de 1900 d.c ====>  Máquina de Babbage (Ch. Babbage sec. XIX)  Computável Toda tarefa que pode ser realizada por um ser burro com um mínimo de conhecimento/capacidade. burro = Incapaz de Aprender conhecimento = ? . . Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  5. Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a.c.)  Álgebras Booleanas (Boole 1847) Antes de 1879 ====>   Álgebra Relacional (DeMorgan, Schroeder, C.S.Peirce XIX) Razoável Todo evento que é passível de uma explicação, na forma argumentativa, construída sobre fatos iniciais inquestionáveis. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  6. Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata Panorama da Matemática no Século XIX - Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX): - Equação da Onda - Equação do Calor - Equação de Poisson - Técnicas de Fourier - Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. Parciais - Problemas de Fundamentação: - Séries divergentes x Séries Convergentes - Conceito de infinito não era preciso - Conceito de função não era preciso - O próprio conceito de número real não era preciso. - Definição de convergência não existia Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  7. Panorama da Matemática no Século XIX (cont.) Dedekind (1831-1916) Estabelece o princípio de indução e define conceito de número real Aritmetização da Análise, definição dos conceitos de limite, funções e funções contínuas, convergência de sequências e séries infinitas Cauchy (1789-1857) Bolzano(1781-1848) Definição do conceito de integral e Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias Não-Euclidianas Riemman(1826-1866) Peano (em 1889) Define os axiomas da aritmética Weierstrass (1815-1897) Estabelece critérios para a diferenciação e integração, termo a termo, de séries infinitas Hilbert (em 1898-1899) Estabelece a fundamentação da geometria Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  8. Alguns paradoxos: - Burali-Forti (1897) “Não há o ordinal de todos os ordinais” - Russell (1902) “Não há o conjunto de todos os conjuntos” Teoria Ingênua dos Conjuntos Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos) Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existência de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos de números cardinais e ordinais transfinitos. Resistência aos principais resultados em função do “receio do infinito” R  R se e somente se R  R R = { x / x  x} ==> Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  9. Evolução da Lógica como assunto matemático DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos. Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan. Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal. Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas , com a adição do conceito de pertinência () como primitivo. ===> Os paradoxos aparecem novamente !! ===> Paradoxos associados ao axioma da escolha Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  10. As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios puramente lógicos. Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais cujo único requisito é a consistência Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana funda- mentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemático tem sua existência expressa por construção. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  11. O Programa de Hilbert => Obtenção de uma prova da consistência da matemática, observando-se que: - As teorias mais complexas são extensões das mais simples. Th(N)  Th(Z)  Th(Q)  Th(R)  Th(C) - Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, por compactação, completamento algébrico, etc) => Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o uso de técnicas finitárias. => Provar que não existe prova de 0 = 1 usando ............ Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  12. A Computação do ponto de vista das funções prim. recursivas Prog. Lógica, Prolog 1931 - Gödel define as funções prim. recursivas associando-as a provas em aritmética 1927/1928 - Ackermann define uma função que necessita de recursão simultânea 1934 - Rózsa Péter - Prova que as funções prim. recursivas formam a classe definida por recursão simples e “nested” a partir de funções iniciais constantes, identidade e a função sucessor. Prova que a função de Ackermann é na realidade definida por recursão em duas variáveis e não é portanto primitivamente recursiva, mas é computável. 1936 - A. Turing - Define uma máquina formal a partir de princípios simples (ler , apagar e escrever símbolos em uma fita) e define o conceito de Máquina Universal. Prova que não existe máquina capaz de verificar se outra máquina pára ou não. Desde o início a sua máquina com versão Não-Determinística Máq. Programável 1936 - A. Church Define o -Calculus e mostra que este é capaz de definir todas as funções para as quais existe uma Máquina de Turing. LISP e Funcionais 1936 - Kleene Define, aceitando que o computável inclui a parcialidade funcional, as funções parcialmente recursivas e lança a Tese de Church. 1947 - Markov Estabele o conceito de computável com base em identificação de palavras e símbolos (algoritmos de Markov) e justifica o ponto de vista finitista da computação. SNOBOL, Ling. Transf. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  13. n n f é recursiva existe uma máquina de Turing M , tal que M com 11.......111 na fita de entrada M pára com 11.....11111 na saída sss f(n) = m existe um algoritmo de Markov A , t.q. A lendo 11.......111 pára e produz o string 11.....11111 na saída sss f(n) = m m m Sxyz  (xz)yz Kxy  x Ix  x (I SKK) :0:  I :1:  P0K :2:  P1K ..... :n:  P:n-1:K .... P  Tese de Church: f: N  N é computável se e somente se existe um combinador FC1 C2... Ck tal que para todo nN (F:n:  :m:)  f(n) = m) Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  14. A Tese de Church é um enunciado científico, portanto não possui demonstração matemática. Evidência Forte para a Tese de Church Teorema de Rogers (1958): Sejam duas FAA’s (i)iN e (i)iN então existe f recursiva e bijetiva tal que i = f(i) Obs: Uma FAA é um conjunto de funções parciais (i)iN, tal que: 1- As funções parc. recursivas estão todas em (i)iN 2- Existe u N com u parc. recursiva tal que para todo i e x u(i,x) = i(x) 3- Existe c recursiva tal que c(i,j) = i  j Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  15. Medindo a eficiência de algoritmos - Escolha do modelo computacional - Recursos: Tempo , Memória - Relacionando os algoritmos e os problemas que estes resolvem - Computação de Funções - Problemas de otimização - Problemas de decisão, - Linguagens • Classes de complexidade: Classificando problemas pela complexidade • do algoritmo mais eficiente que o resolve. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  16. Satisfação na Lógica Proposicional “Dada uma fórmula da lógica proposicional, isto é, formada com os conectivos , ,  e , deseja-se saber se existe uma valoração que a satisfaça” Problema SAT Solução: Gerar todas as valorações e testar uma a uma até encontrar. Se não encontrar ao final do teste de todas as valorações informar que a fórmula não é satisfatível. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  17. k 2k Cálculo total 5 32 insignificante 10 1024 0.001 seg 16 65536 0.06 seg 20 1048 x 103 1 seg 32 4.29 x 109 1 hora 12 min Dada uma fórmula com k variáveis existem 2k valorações Supondo que o computador calcule 1 milhão de valorações por segundo. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  18. Por outro lado ……… • Verificar se uma valoração satisfaz uma fórmula é muito • rápido (muito menos que 1x10-7 seg) para fórmulas com até • 100 variáveis em um pentium IV 1 GHz. • Dada uma valoração, avaliar o valor da fórmula leva no • máximo k operações, onde k é o tamanho da fórmula. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  19. O problema do Caixeiro Viajante “Suponha que um caixeiro viajante tenha que visitar k cidades diferentes, iniciando e encerrando esta viagem na primeira cidade. Não importa a ordem com que as cidades são visitadas. Sabe-se que de cada cidade pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total (em kms)”. Obs: Tal rota é dita ser um ciclo hamiltoniano no grafo. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  20. Bsb 967 1060 1070 BH 458 789 S.P. Rio 400 Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  21. O problema do caixeiro viajante é um problema de otimização combinatória. • Podemos transforma-lo num problema de enumeração ? • Podemos determinar todas as rotas do caixeiro ? • Podemos saber qual delas é a menor ? SOLUÇÃO: São (k-1)! Rotas É um trabalho fácil para a máquina ? Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  22. k (k - 1)! Cálculo total 5 24 insignificante 10 362 880 0.3 seg 15 87 bilhões 24 hs e 6 min 20 1.2 x 1017 3 milhões de anos 25 6.2 x 1023 0.19 x 1017 anos ( k - 1 )! cresce muito rápido Supondo que o computador calcule 1 milhão de rotas por segundo. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  23. 1 1 Ciclo min = vert – 1 ??? 1 1 1 1 1 Por outro lado ..................... • Saber se em existe um ciclo hamiltoniano é mais fácil que • encontrar o ciclo mínimo ??? • Para qualquer fórmula proposicional  existe um grafo G que • possui caminho hamiltoniano, se e somente se,  é SAT. • o tamanho de G é polinomial no tamanho de . Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  24. t = Símbolo j na posição i no tempo t Si,j t Ee = Máquina está no Estado e no tempo t t Ci = Cabeça está no na posição i no tempo t Fórmulas para descrever o comportamento da máquina: t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 t t t Ee Ci  Si,j  (Eg  Ci+1  Si,k)  (Eh  Ci-1  Si,n ) 0 0 0 0 S0,3  S1,7  S2,1  ......  S|w|,8 SAT e as Máquinas de Turing não-determinísticas Se SAT puder ser resolvido em tempo polinomial por uma M.T. deter então qualquer problema em NP também pode ser resolvido em tempo polinomial w • Fórmulas para descrever: • -A cabeça em qualquer tempo t está em uma e somente • uma posição • Cada pósição da fita tem, em qualquer t, um e somente • Um símbolo escrito. • A máquina, em qualquer tempo t, está em um e somente • um estado P(|w|) Fórmulas para descrever o a conf. Inicial da fita: Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  25. Descobrindo como resolver o problema do caixeiro viajante em tempo polinomial, seremos capazes de resolver, também em tempo polinomial, outros problemas importantes (úteis). • Se alguém provar que é impossível resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial no número de cidades, também se terá que outros de problemas importantes não tem solução prática. • Costuma-se resumir essas propriedades do problema do caixeiro dizendo que ele pertence à categoria dos problemas NP - completos. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  26. Problemas de Decisão sim x  P ? x não 1 |x|  * Prog. 0 Problemas de Decisão  Linguagens Formais Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  27. Problemas, Soluções e Linguagens f:Ent  Saída f  Relação Sol = P = < Ent, Saída, Relação> * * f:Ent Saída f computável f  R * * PComp = <Ent, Saída, R > SolComp = * * LP = { went<sep>wsai /  (went, wsai)  R  Ent Saída } Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  28. Complexidade de uma Linguagem L  DTime(f) sss  m  TuringDet t.q. (m reconhece L) e c, x  * steps(m,x)  cf(|x|) L  DSpace(f) sss  m  TuringDet t.q. (m reconhece L) e c, x  * space(m,x)  cf(|x|) Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  29. Uso de Recursos por Máquinas de Turing Determ. L * f :*1 *2 ML reconhece L sss w  L então ML(w) = “aceita” w  L então ML(w) = “rejeita” Mf computa f sss f(w1)=w2 então ML(w1) = w2 steps(M,w) = números de passos executados pela máquina M sobre o dado w até parar. space(M,w) = números de células (distintas) visitadas pela máquina M sobre o dado w até a parada. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  30. Por que considerar classes assintóticas de funções ?? Teorema: (speedup linear) Se uma linguagem L é decidida em tempo f(n) então para qualquer  > 0 existe uma M. Turing M que decide L em tempo .f(n) + n + 2. Prova : Modificar o tamanho da “palavra” de memória Consequências do seedup: Se L é decidida em tempo f(n) = 165.nk + .... + 54.n + 657 então L é decidida em tempo f’(n) = nk Obs: O mesmo teorema ( e técnica de prova) vale para função de medida e uso de espaço (número máximo de células visitadas) Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  31. Complexidade Computacional I - Não existência de limite na complexidade de Linguagens DTime(f)  Dtime(f  log(f)) DSpace(f)  DSpace(f  log(f)) - Hierarquia de Linguagens segundo sua Complexidade DTime(n)  Dtime(n2)  ...  Dtime(nk)  .... Dtime(2n) ...... Dspace(log(n)) Dspace(n)  ... ... DSpace(nk) .... Dtime(2n) ...... Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  32. {A / A  B} ==> Seja B um conjunto, então |B| < |2B| Teorema de Cantor Prova: Suponha que |B| = |2B| então existe f: B 2B S = { x / x  f(x) } f-1(S)  S se e somente se f-1(S)  S Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  33. a0= 0, aoo ao1 ao2 ao3 ao4....... aon.............. a1= 0, a1o a11 a12 a13 a14....... a1n.............. 5 se ajj = 9 bj= 9 senão an= 0, ano an1 an2 an3 an4....... ann.............. O método da diagonal de Cantor suponha que |(0,1)| = |N| b = 0,b0 b1 b2 b3 b4....... bn......... |(0,1)|  |N| Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  34. Hierarquia própria de funções construtivas Paraf = { <T,x> / T(x) pára no máximo em f(|x|) passos} FatoI : Paraf DTime(f3) FatoII : Paraf DTime(f(x/2)) Prova: Diagonalização Corolário I : DTime(f(n))  DTime(f(2n+1)3) Corolário II : P  EXP Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  35. Def. NP =  NTime(ni ) iN Classes de Complexidade e algumas relações Def. PSpace =  DSpace(ni) Def. NPSpace =  NSpace(ni) iN iN Def. Log = Space(log(n))NLog = NSpace(log(n)) Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  36. - DSpace(f(n))  NSpace(f(n)) e DTime(f(n))  NTime(f(n)) - NTime(f(n))  DSpace(f(n)) - NSpace(f(n))  DTime(klog n + f(n)) (obs; Número de conf. + alcançabilidade) NSpace(f)  Space(f2) - Alcançabilidade  Space(log2) NSpace(f) = coNSpace(f) - número de nós alcançavel  Space(log) => Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  37. (parte) do que se sabe atualmente (desde 60’s) Log  NLog  P  NP  PSPACE = NPSPACE  EXP  NEXP Sabe-se que Log  PSPACE se P = NP então EXP = NEXP se Log = P então EXP = PSPACE Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  38. P : Encontra solução em tempo polinomial em MTD NP : Verifica solução em tempo polinomial em MTD CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomia em MTD Taut  CoNP Sat  NP Verificação de Modelos Prova de Teoremas Obs: Se CoNP  NP então NP  P Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  39. Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo ===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe tal sistema então CoNP  NP e portanto NP  P. ? ===> P = NP é um problema genuinamente matemático. ? ===> P = NP é um problema da ciência da computação. ? ===> P = NP é um problema genuinamente de fundamentação e lógica. - Já se tentou técnicas de construção de modelos via “forcing” (funcionou com a hipótese generalizada do continum) mas a crença geral é que não funciona. - Técnicas de diagonalização e relativização (tradição lógico-matemática) tem sido extensivamente usadas no estudo de questões relacionadas a NP=P. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  40. O Maior problema atual em Teoria da Computação é : ? P = NP O que isto tem a ver com jogos ?????? - Jogos e “quebra-cabeças” : PSPACE, EXP e NP-completos • Soluções para jogos (Equilíbrio de Nash p.ex.), estão em P??? • (estratégias mistas com soma zero), NP-completos (estratégias • puras) e EXP ? (estratégias mistas para jogos em geral) Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  41. Em Geral (versões infinitas) http://www.ics.uci.edu/~eppstein/cgt/hard.html#refs Damas é EXP-completo Xadrez é EXP-completo Sokoban é PSPACE-completo Clickomania é NP-completo 15-p é P (existência de solução) e NP-completo (melhor sol.) • A Teoria de Complexidade adequada para o estudo das versões finitas é a Teoria de complexidade estrutural ou de Kolmogorov Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  42. O jogo de Geografia é PSPACE-completo • Lógica Proposicional Intuicionista é PSPACE-completa (Statman 1977) Prova: A sentenças válidas intuicionisticamente podem ser caracterizadas como sendo aquelas que possuem estratégia vencedora para o jogador que começa o seu jogo dialógico. (Haeusler 2004) Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  43. Conclusão Teoria dos Jogos Matemática Economia Complexidade Computacional Engenharia Fundamentação e Lógica Muito Obrigado pela audiência !!!! Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  44. Um Pouco de História sobre Teoria dos Jogos e Xadrez 1 Zermelo 1913 – Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels 5o Congresso de Matemáticos (Cambridge). König 1927 – Über eine Schulussweise aus dem Endlichen ins Unendliche. Acta Sci. Math. Utiliza indução transfinita Kalmár 1928 – Zur Theorie der abstrakten Spiele. Acta Sci Math. Caracterizam o conceito de posição ganhadora Von Neumann 1928 – Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen Caracteriza a interação entre as estratégias dos jogadores 1- Jogo de Informação Perfeita Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  45. Teorema de Zermelo “Em um jogo de Xadrez, dado que um jogador está em uma posição vencedora quantos movimentos levará para que ele ganhe ??” ==> Não mais que o número de posições do jogo (estados do tabuleiro). O que é uma posição vencedora ?? Ur(q) =  Ur(q) q Ur(q) = q2 q3 q1  r U pode forçar uma vitória em no máximo r movimentos se e somente se Ur(q) Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  46. König estende o teorema de Zermelo Lema: Toda árvore infinita finitamente gerada possui um ramo infinito. => Se não há limite (número de passos) para uma posição vencedora então esta não é vencedora, pois em cada posição só há um número finito de movimentos para o adversário. Kalmár e a determinância de jogos assemelhados ao Xadrez Satz III: Em qualquer jogo J potencialmente infinito assemelhado ao Xadrez, se O jogador A não pode forçar a vitória então o jogador B garante pelo menos o empate Corolário: No Xadrez infinito ou as brancas tem uma estratégia vencedora, ou as pretas tem uma estratégia vencedora ou ambas podem garantir o empate. O jogo tem valor, é determinado. Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  47. Nash 1950, Kuhn 1953 Teorema: Todo jogo finito com informação perfeita, de n jogadores, tem um ponto de equilíbrio. Prova: Por indução todo jogo com menos que m nós possui um ponto de equilíbrio Se r é um nó chance, então combine todos pontos de equilíbrio dos subjogos i; Senão o ponto de equilíbrio para r é maximizar os pontos de equilíbrio de cada um dos jogadores com relação ao subjogos i r m nós i 1 k Prog. Din. , MinMax Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

  48. Equação da onda u ut(x,0)= g(x) e u(x,0)= f(x) u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct) D’Alembert 1747 + Euler 1748 Daniel Bernouli 1753 x t u(x,t) = 2 0  (sinnysinnxcosnct)f(y)dy + 2 0 (1/n)  (sinnysinnxsinnct)g(y)dy Lagrange 1759

  49. Equação do calor u(0,t) = u(L,t) = 0 u(x,0) = f(x) L Fourier 1811  2 2 2 u(x,t) =  cne-n  Kt/L sin(nx/L) ==> Toda “função” tem expansão em série de senos ????? n=1  f(x) =  cnsin(nx/L) Dirichlet (1829,1837) + Fund. Análise (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) + Riemann (def. integral, 1900’s) n=1 L cn= (2/L)  f(x) sin(nx/L)dx 0

  50. ’  i1 q qi1 qi2 qik q’ - Modelo multi-cabeça (determinístico) i2 ik A Máquina de Turing - Modelo determinístico Teoria de Complexidade Prof. Edward Hermann Haeusler

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