Clase logica proposicional

1. LÓGICA MATEMÁTICA CONTENIDOS Proposiciones Valor de verdad Clasificación de las proposiciones Conectivos lógicos Tablas de verdad Cuantificadores lógicos

2. Proposiciones Las proposiciones son oraciones o enunciados que usamos para afirmar algo, lo que afirmamos puede ser verdadero o falso. Ejemplos: • Un triangulo tiene tres lados. Verdadero (V) • Verdadero (V) • 10 es múltiplo de 3 Falso (F) El carácter de verdadero o falso de una proposición se llama “Valor de verdad” lo representamos con (F) o (V) Representación de proposiciones Toda proposición puede representarse generalmente con letras minúsculas. “p”, “q”, “r”, “s”, “t”. Ejemplos: p: Los números pares son divisibles entre 2. q: e es un numero impar.

3. Clasificación de las proposiciones Las proposiciones pueden ser: • Simples o moleculares: Es la expresión que indica un solo hecho u enunciado. Cerradas: Son las que se puede determinar su valor de verdad. ejemplos: 1. Fumar es dañino para la salud. 2. Guatemala es un país Centroamericano. Abiertas: Son las que no podemos determinar su valor de verdad a menos que se asigne un valor a la variable. ejemplos: 1. y es divisor de 18. 2. x es un numero par digito. • Compuestas o atómicas: Es la unión de dos o mas proposiciones simples. ejemplo 1. Juan fue el Apóstol y Jesús fue el Mesías.

4. Conectivos lógicos Son símbolos o expresiones que se usan para unir proposiciones simples.

5. Ejemplos: Dadas las proposiciones: p: Los triángulos tienen tres lados. q: Los triángulos son polígonos regulares. Dada la proposición: p: Guatemala en un país de C.A. q: El volcán mas alto de Guatemala es el Pacaya. r: Una semana tiene 7 días. • p ᴧ q Los triángulos tienen tres lados y son polígonos regulares. • p ѵ q • Los triángulos tienen tres lados o son polígonos regulares. p → q • Si los triángulos tienen tres lados entonces son polígonos regulares. p ↔ q • Los triángulos tienen tres lados si y solo si son polígonos regulares. • (p → q) ᴧ r • Si Guatemala es un país de C.A entonces el volcán mas alto es el Pacaya y una semana tiene 7 días.

6. Tablas de verdad Es la forma ordenada de presentar las proposiciones compuestas y sus posible valores de verdad. Para determinar la cantidad de valores de verdad de una proposición se utiliza la expresión. Ejemplo: Sean dos proposiciones p y q. ?Cuantos valores son posibles? Por lo tanto: Cantidad de proposiciones Cantidad de valores de verdad V o F

7. Operaciones lógicas Los conectivos nos permiten unir proposiciones simples. Al hacerlo se dice que estamos operando en lógica simbólica. Las tablas de verdad permiten visualizar los valores de verdad correspondientes. • Negación: Es la transformación de una proposición a otra con valor de verdad contrario. La negación de una proposición se representa “p”. Ejemplo: p: Mixco es un municipio de Guatemala. p: Es falso que Mixco es un municipio de Guatemala. Los valores de verdad de una proposición y su negación se muestran en la siguiente tabla:

8. Conjunción: la conjunción solamente es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas. Ejemplo: para aprobar el grado hay que estudiar y Realizar tareas. p: estudiando apruebo el grado. q: Realizando tareas aprueba el grado.

9. Disyunción: la disyunción solo es falsa cuando las dos proposiciones son falsas. Ejemplo: Javier dice que se va de viaje a Chiquimula o a Escuintla. p: Javier visito Chiquimula. q: Javier visito Escuintla.

10. Implicación o Condicional: la implicación de dos proposiciones solo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Ejemplo: Si Leonardo tiene buena salud entonces camina 2 horas diarias. p: tiene buena salud. q: camina 2 horas diarias.

11. Doble Implicación o Bicondicional (Equivalencia): Solo es verdadera cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo: Sergio es un buen deportista si y solo si practica deporte. p: buen deportista. q: practica deporte.

12. Valor de una tabla para una proposición compuesta • Tautología: al resultado final de una tabla en la cual todos los valores son verdaderos. Ejemplo: • Contradicción: al resultado final de una tabla en la cual todos los valores son falsos. Ejemplo: • Contingencia: al resultado final de una tabla en la que existen valores verdaderos y falsos. Ejemplo:

13. ~ p→(q ν p) Contingencia ~ {(p ᴧ q)→(p → q)} Contradicción

14. Cuantificadores lógicos Son signos que modifican a las proposiciones. Estos pueden ser: • Existenciales o particulares : se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto que cumplen con la condición o propiedad determinada. Además de “algunos”, se puede utilizar “hay, “existe o “algún. Es verdadera cuando hay por lo menos un elemento del conjunto universo que cumple con la condición establecida. Ejemplo: es verdadera porque de 24 a + cumple la condición de ser mayores que 23. Existe una figura que tiene tres lados. • Universales o absolutos : se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una condición o propiedad determinada. Además de “todos”, se puede utilizar “cualquiera o “cada. Es verdadero cuando todos los elementos de conjunto universo con la condición establecida. Ejemplo: 5 es falso porque no todos los números naturales son mayores a 25. Todos los humanos tienen cerebro.