Lógica Proposicional

1. Lógica Proposicional Dedução Natural

2. Conseqüência lógica • Definição informal: • Uma fórmula é uma conseqüência lógicade um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira. • Definição formal: • Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b, H é conseqüência lógica de b num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de b

3. Notação de Conseqüência Lógica e Teorema • Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, diz-se que: • b├ H ou • {H1,H2,...Hn}├ H • Uma fórmula H é um teorema se existe uma prova de H que não usa hipóteses • ├ H

4. Cálculo Proposicional • Cálculo = Lógica + Sistema de Prova (ou dedução) • Um sistema de prova serve para analisar e raciocinar sobre argumentos de uma lógica, de maneira a prová-los válidos ou inválidos.

5. Sistema de dedução natural • Alfabeto da Lógica Proposicional • Conjunto de fórmulas da Lógica Proposicional • Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

6. Regras de inferência de dedução natural • Servem para inserção e retirada de conectivos lógicos, criando derivações • Regras de Introdução • Regras de Eliminação • Chama-se dedução natural por estar próxima da maneira como nós raciocinamos quando queremos (informalmente) provar um argumento.

7. Regras de inferência - conjunção • Introdução da conjunção (^I): • H G -> derivação H^G • Eliminação da conjunção (^E): • H^GH^G H G

8. Prova • Dados H uma fórmula e b um conjunto de fórmulas (hipóteses) • Uma prova de H a partir de b é uma derivação onde • As regras de inferência são aplicadas tendo como premissas fórmulas de b • A última fórmula da derivação é H

9. Exemplo de prova • P ^ Q, R |- Q ^ R • P ^ Q (Premissa) Q (^E) R(Premissa) Q^R (^I) • Exercícios: • (P^Q) ^ R, S^T |- Q^S • P^Q |- Q^P • (P^Q) ^ R |- P ^ (Q^R)

10. Regras da Dedução Natural - implicação • Eliminação da implicação - modus ponens (E) • H H  G G • Introdução da implicação (I) • [H] (hipótese eliminada) | G . H  G

11. Exemplo de eliminação da implicação • P^Q, (P (Q R)) ├ (Q R) • P^Q P (^E) P (Q R) (premissa) (Q R) (E)

12. Exemplo de introdução da implicação • ├ (P ((PQ)Q) • Supor os antecedentes • Eles não poderão ser usados depois • [P] [(PQ)] (hipóteses) Q (E) (PQ)Q) (I) (P ((PQ)Q) (I)

13. Exercício • ├ (P(Q P)) • ├ (P(Q R)) ((P^Q)R))

14. Exercícios • 1. {P^Q, (P^Q)(R^P)} |- R^P • 2. {P  (Q R), PQ, P} |- R • 3. {P (P  Q), P} |- Q

15. Regras da Dedução Natural- disjunção • Introdução da disjunção (vI) • H G . HvG HvG • Eliminação da disjunção (vE) • [H] [G] (hipóteses) D1 D2 HvG E E E

16. Exemplo de Eliminação da disjunção • {PvQ,Q,P} |- false • PvQ . [P] P (prem.) [Q] Q (prem.) false false false

17. Regras da Dedução Natural- negação • De uma derivação de uma contradição (false) a partir de uma hipótese H, pode-se descartar a hipótese e inferir H e vice-versa • [H] (I) [H] (E ou RAA) | | falsefalse reductio ad H H absurdum • Exercícios: HH e H H

18. Exercício • Mostre que o seguintes argumento é válido: • Se este argumento for incorreto e válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

19. Solução • Identificando as Sentenças: • P: as premissas deste argumento são verdadeiras. • S: este argumento é correto. • V: este argumento é válido. • Formalizando: {(S ^ V) P, P, V} ├ S

20. Exercício • Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. Prove isso!

21. Quando tudo o mais falhar • EFQ: ex falso quodlibet ou regra da contradição • Podemos estar loucos, então qualquer literal é aceitável! • false H

22. Prova de EFQ • {P, P} ├ Q • Q . P P(prem.) false Q (E)

23. Exemplo • Prove o Silogismo Disjuntivo, usando EFQ: {P v Q, P} ├ Q

24. Lógicas clássicas • Lógica minimal: {^v} x {IE} • Lógica intuicionista = Lógica minimal U EFQ

25. Exercícios • {P (QR), P, Q} |= R • {P Q, P} |= Q • {P  (Q ^ R), P} |= P ^ Q • {(P ^ Q)  (R ^ S), P, Q} |= S • {AB, C(DvE), DC, AE} |= (C B) • {Cv(B  A), A  R, (B  R)  S} |= (C  S)