Taller “ Lógica Modal ” - Eduardo Barrio GAF - Grupo de Acción Filosófica

1. Taller “Lógica Modal” - Eduardo Barrio GAF - Grupo de Acción Filosófica http://www.accionfilosofica.com Segundo Cuatrimestre de 2008

2. w2 w1 p q q p L(p q ) (Lp Lq) p q w0 Un modelo es una estructura <W, R, V> q p w3 E (Lp, w0): 1 ssi E le asigna 1 a p en w0 y en todo mundo accesible desde w0. E (Mp, w0): 1 ssi E le asigna 1 a p en w0 y en algún mundo accesible desde w0.  es válida universalmente ssi es verdadera en todo mundo de toda estructura

3. w2 w1 p p Mp p p w0 Modelo <W, R, V> p w3 Relación de Accesibilidad entre mundos: Reflexividad: w Rww Transitividad: w x y (Rwx  RxyRwy) Simetría w x (Rwx  Rxw)

4. Propiedades de las relaciones binarias Reflexividad: x Rxx Simetría: x y (Rxy Ryx) Transitividad: x y z ((Rxy  Ryz)  Rxz) Lineal: x y z ((Rxy  Ryz)  (Ryz v y  z v Rzy)) Serial: x y Rxy Funcional x y (Rxy  z (Rxz  y  z)) Euclidea x y z ((Rxy  Rxz)  Ryz) Determinista: x y z ((Rxy  Ryz)  y  z) Reflexividad: Lp  p (T) Simetría: p  LMp (B) Transitividad: Lp  LLp (S4) Lineal: Serial: Lp  Mp (D) Fucional: Lp  Mp Euclidea: Lp LMp (S5) Determinista: Mp Lp Las propiedades impuestas sobre las relaciones de accesibilidad definen familias de estructuras.

5. Modelo T La relación de accesibilidad es: reflexiva Todos los mundos son accesibles desde sí mismos El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito. W, R VT Axiomas de T (A4) LA  A (reflexividad) (A5) L(AB)  (LA  LB) Regla de Necesariedad: Si  es teorema, L es teorema p r w0 r p p ¬r ¬q w1 w2

6. Modelo S4 La relación de accesibilidad es: reflexiva y transitiva. El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito S4 tiene leyes de reducción - Axiomas de S4 (A1) (B  (A  B)) (A2) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) (A3) (( B  A)  ((B  A)  A)) (A4) LA  A (A5) L(AB)  (LA  LB) (A6) LA  LLA (Transitividad) p w0 p p w1 w3 p p w2 w4

7. Modelo S5 La relación de accesibilidad es: reflexiva, simétrica y transitiva. Todos los elementos del conjunto W están relacionados con todos. La relación de accesibilidad es una relación de equivalencia. El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito. S5 tiene leyes de reducción Axiomas de S5 (A1) (B  (A  B)) (A2) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) (A3) (( B  A)  ((B  A)  A)) (A4) LA  A (A5) L(AB)  (LA  LB) (A6) LA  LLA (A7) MA  LMA w0 q q q w1 w2

8. Modelo S5 La relación de accesibilidad es: reflexiva, simétrica y transitiva. Todos los elementos del conjunto W están relacionados con todos. La relación de accesibilidad es una relación de equivalencia. El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito. S5 tiene leyes de reducción Axiomas de S5 (A1) (B  (A  B)) (A2) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) (A3) (( B  A)  ((B  A)  A)) (A4) LA  A (A5) L(AB)  (LA  LB) (A6) LA  LLA (A7) MA  LMA Una  es válida-S5  En todos los modelos-S5  W,R ,VS5, V ( , w1)  1 para todo w1  W Para cualquier variable proposicional p y cualquier mundo w  W, o bien V (p, w)  1 o bien V (p, w)  0 V , w1  1 si V , w1  0 V (  ), w1  1 si V  , w1  1 o V  , w1  1 V L, w1  1 si  w2 , tal que w1 R w2 V , w2  1 q q