VI. ESTIMASI PARAMETER

1. VI. ESTIMASI PARAMETER Estimasi Parameter :Metodestatistika yang berfungsiuntukmengestimasi/menduga/memperkirakannilaikarakteristikdaripopulasiatau parameter populasiberdasarkannilaikarakteristiksampelataustatistiksampel. Syarat : sampelharusdapatmewakilipopulasi sampling dilakukan secaraacak. Contoh : Hasilpemiludihitungsecaracepat (Quickcount) dengansampeluntuktiapwilayahpemilihan, valid jikapengambilansampeldilakukansecaraacak. Cara estimasi : EstimasiTitik Parameter populasidiestimasidengankarakteristiksampel (Statistik) Mean populasi =  = Variansipopulasi = 2 = s2 standardeviasi =  = s

2. 2. Estimasi Interval Nilai parameter populasidiestimasipadakisarantertentu. Misal X1,X2,X3,…Xnadalahsampelacakdarisuatupopulasidengan adalah parameter populasimakaestimasi interval untuk  adalah : P(B≤  ≤A)=1- Disebutdengan Interval konfidensi/kepercayaanuntuk  dari B sampai A yang dihitungpadaprobabilitas 1-. Bila parameter yang diestimasiadalah H dandistribusipopulasi yang digunakan  (misaldistribusi Z, t-student, chi-kuadrat, atau F), galat (error)=  danstatistikdari data sampeladalah k, makakisaran parameter H padasuatu interval kepercayaan (1-) dapatdiestimasidenganpersamaanprobabilitas: P(h-  ≤ H ≤ h  )= 1- …….(1) Dengan : h-  = titik minimum (limit kepercayaanbawah) h   = titikmaksimum (limit kepercayaanatas) 1- = koefisienkepercayaan (1-) 100% = interval kepercayaan  = tingkatkesalahan yang masihditolerirataupersentasenilai yang tidakdapatdiestimasi.

3. Parameter yang umumdiestimasi: Ukuranpemusatan : mean=, Selisih mean = 1 - 2 =  Estimasi mean danselisih mean dapatdilakukandengan : Distribusi Z : Jikasampel yang diamatiberasaldaripopulasi yang variansinya (2) danstandardeviasinya () diketahui. Jikasampel yang berasaldaripopulasi yang variansinya (2) danstandardeviasinya () tidakdiketahuiukuransampelbesar (n30). Distribusi t-student (Distribusi t) Jikasampelberasaldaripopulasi yang tidakdiketahuivariansinya (2) danstandardeviasinya () ukuransampelkecil (n30). 2. Ukuranpenyebaran : Variansi = 2, Rasiovariansiduapopulasi = F Estimasinilaivariansidilakukandengandistribusi chi-kuadrat (X2), sedangkanestimasinilai ratio variansiduapopulasidengandistribusi Fisher (F).

4. A. Estimasi Mean Populasi Estimasi mean populasisampelbesardengandistribusi Z Misal x1,x2,x3….xnadalahsampelacakdarisuatupopulasidengan mean  tidakdiketahuidanvariasi 2, dan = mean sampelmaka : Mean ( )= Var (( )=2/n Menurutteorama limit pusatjika n besarvariabel random mendekatidistribusi normal Makarumus 1 akanberubahmenjadi : Jikanilai Z digantimenjadi : Biasanya 2 tidakdiketahui, tetapikarena n besarmaka 2 dapatdiasumsikansamadengan s2.

5. Sehingga: Contoh : Suatusampelprodukikandalamkalengsebanyak 400 buahmempunyai rata-rata umursimpan 23,4 bulandanstandardeviasi s=6,2 bulan. Berapakahkisaranumursimpanprodukikandalamkalengtersebutpada interval kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui : n besarmakadigunakandistribusi Z dengan=s =23,4 bulandan s=6,2 1-=95%=0,95  = 0,05 /2 = 0,025 Z0,025 = 1,96. Maka: Kesimpulan: padatingkatkepercayaan 95% makaumursimpasprodukikandalamkalengadalahantara 22,79 – 24,01 bulan.

6. 2. Estimasi mean populasi dengan sampel kecil. Digunakan untuk data sampel dengan variansinya (2) dan standar deviasinya () tidak diketahui dan ukuran sampel kecil (n<30). Jika adalah transformasi t dari sampel x1X1,X2,X3,…Xn. Jika sampel diambil dari populasi berdistribusi t dengan derajat bebas (n-1) ditulis t(n-1). Distribusi ini tidak tergantung pada µ dan  populasi. Grafik distribusi t lebih memencar dibanding distribusi Z jika n semakin besar semakin mendekati distribusi Z. P(-tα/2(v) ≤T ≤ t α/2(v))=1-α Jika nilai t diganti menjadi :

7. B. Estimasi interval proporsi p suatu populasi Jika X adalah variabel random binomial (n;p) maka variabel random X/n mempunyai mean = p dan variasi untuk n besar harga Mendekati distribusi normal. Pada interval konfidensi 1-α untuk p adalah: Untuk estimasi proporsi jumlah sampel harus besar. C. Estimasi Variansi populasi normal Transformasi S2 dihitung dari suatu sampel random x1X1,X2,X3,…Xn yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan variansi 2 berdistribusi X2 dengan derajat bebas = n-1.

8. Tabel V : harga X2(k;α) sehingga P(X2 >X2(k;α) =α Untuk 0<α<1 maka : Untuk estimasi standar deviasi  digunakan :

9. Contoh : Ingin diteliti interval variansi (2) dan standar deviasinya () dari panjang buncis yang akan dikalengkan. Sampel acak sebanyak 20 buah dan diperoleh S2=0,01 inch dan S = 0,1 inch. Hitunglah interval variansi (2) dan standar deviasinya () yang sebenarnya dari buncis tersebut pada tingkat kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui n=20 1-α=95% s2=0,01 α=5% s=0,1 α/2=0,025 Dari tabel V diperoleh : X2(19;0,025)=32,85 dan X2(19;0,975) =8,91 maka : P(0,0058≤2≤0,0213)=95% Atau P(0,076≤≤0,146)=95% Kesimpulan : Pada tingkat kepercayaan 95% variansi panjang buncis adalah 0,0058 sampai dengan 0,0213 inch sedangkan standar deviasinya berkisar antara 0,076 sampai 0,146 inch.