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UNIDAD II

UNIDAD II. Vectores en. p(a 1 ,a 2 ,a 3 ). z. a 3. a 2. y. a 1. x. VECTOR EN R 3. vector a = (a 1 ,a 2 ,a 3 ) de R 3. módulo de a :. Vector Tridimensional Operaciones básicas. Producto de un escalar con un vector. Suma de dos vectores.

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  1. UNIDAD II Vectores en

  2. p(a1,a2,a3) z a3 a2 y a1 x VECTOR EN R3 vector a = (a1,a2,a3) de R3 módulo de a :

  3. Vector Tridimensional Operaciones básicas Producto de un escalar con un vector Suma de dos vectores Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido

  4. Vectoresen 3 Dimensiones

  5. Ejemplo 1 Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0). Solución

  6. Formula de Distancia (1)

  7. Ejemplo 2 Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4) Solución

  8. Formula del Punto Medio (2)

  9. Ejemplo 2 Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4) SoluciónDe (2), tenemos

  10. Vectores en 3 Dimensiones

  11. Vectores unitarios: Son aquellos cuya norma es igual a la unidad. Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por

  12. z k j y i x VECTORES UNITARIOS i, j, k Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.

  13. PRODUCTO ESCALAR Donde: o

  14. OBSERVACIONES: 1. El producto escalar de dos vectores es un número real. 2.Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa. 3.a . a = a 2

  15. DEFINICIÓN 1 Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3(i) a + b = <a1+ b1, a2 + b2, a3 + b3>(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>(iii) a = b si y sólo si a1= b1, a2= b2, a3= b3 (iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>(v) a – b = <a1− b1, a2− b2, a3− b3>(vi) 0 = <0, 0, 0>(vi) Definiciones en 3 Dimensiones

  16. Ejemplo4 Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3) Solución

  17. Ejemplo 5 • De la Definición 7.2, tenemos

  18. Los vectores i, j, k • i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j+ a3j

  19. Ejemplo6a = <7, −5, 13> = 7i − 5j+ 13j Ejemplo7(a) a = 5i + 3kestá en el planoxz(b) Ejemplo8Si a = 3i − 4j+ 8k, b = i − 4k, hallar5a − 2b Solución5a − 2b = 13i − 20j + 48k

  20. 7.3 Producto Escalar DEFINICIÓN 2 El producto escalar de a y b es el escalar (1)donde  es el ángulo que forman los vectores 0    . Producto Escalar de Dos Vectores

  21. Ejemplo 1 • De (1) obtenemosi  i = 1, j  j = 1, k  k = 1 (2)

  22. Producto Escalar en Forma de Componentes (3) (4)

  23. Ejemplo 2 • Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces

  24. Propiedades • (i) a  b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0(ii) a  b = b  a(iii) a (b + c)= a  b +a  c (iv) a (kb)= (ka) b = k(a  b)(v) a  a  0(vi) a  a = ||a||2

  25. TEOREMA 1 Dos vectores no nulosa yb son ortogonalessi y sólosi a  b = 0. Criterio de Vectores Ortogonales Orthogonal Vectors • (i) a  b > 0 si y sólosiesagudo(ii) a  b < 0 si y sólosiesobtuso(iii) a  b = 0 si y sólosicos = 0,  = /2 • Observación: Como 0  b = 0, decimosque el vector nuloesortogonal a todos los vectores.

  26. Ejemplo 3i, j, k son vectores ortogonales.i j = j  i = 0, j k = k  j = 0, k i = i  k = 0 (5) Ejemplo 4Si a = −3i −j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entoncesa  b = –6 – 14 + 20 = 0Son ortogonales.

  27. Ángulo que Forman Dos Vectores (6)

  28. Ejemplo 5 Hallar el ángulo entrea = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k. Solución

  29. Cosenos Directores Observando la Fig 7.34, los ángulos, ,  se llamanángulosdirectores. Ahorapor (6) decimosquecos, cos, cos son cosenosdirectores, y cos2 + cos2 + cos2= 1

  30. Fig 7.34

  31. Ejemplo 6 Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k. Solución

  32. Componentes de a en b • Como a = a1i + a2j + a3k, entonces (7)Escribimos los componentes de acomo (8)Observe la Fig 7.35. El componente de aen cualquier vector bes compba= ||a|| cos (9)escribiendo(9) como (10)

  33. Fig 7.35

  34. Ejemplo 7 Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar compba y compab. SoluciónDe (10), a  b = −3

  35. Interpretación Física • Observe la Fig 7.36. Si F produce un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es W = F  d(11)

  36. Fig 7.36

  37. Ejemplo 8 Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a(4, 6), hallar el trabajo realizado por F. Soluciónd = 3i + 5jW = F  d = 26 N-m

  38. Proyección de a sobre b • Observe la Fig 7.37. La proyección de a sobre i es • Observe la Fig 7.38. La proyección de a sobre b es(12)

  39. Ejemplo 9 Hallar la proyección de a = 4i +j sobre b = 2i + 3j. Solución

  40. DEFINICIÓN 4 El producto vectorial de dos vectores a y b es (1)donde  es el ángulo entre ellos, 0   , y n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b Con la dirección que viene dada por la regla de la mano derecha. Producto Vectorial de Dos Vectores

  41. En R2, sean: Se define: • En R3, sean: Se define: Producto escalar en términos de componentes.

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