PERMUTASI

1. PERMUTASI Merupakan suatu himpunan bilangan bulat {1,2,…,n} yang disusun dalam suatu urutan tanpa penghilangan atau pengulangan. Contoh : {1,2,3} ada 6 permutasi / susunan yang berbeda karena tempat pertama dapat diisi oleh 3 bilangan yaitu 1,2,3. Kemudian tempat kedua dapat diisi 2 bilangan dan tempat ketiga dapat diisi dengan 1 bilangan. Sehingga jumlah permutasi ada 3.2.1= 6 permutasi. Bagaimana dengan {1,2,3,4} berapa jumlah permutasinya?

2. Sebuah inversi dapat terjadi dalam sebuah permutasi (j1,j2,..,jk) bila sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil. • Jumlah inversi dapat dicari : pertama: cari banyak bilangan bulat yang < j1 dan yang mengikuti j1 didalam permutasi tersebut. Kedua : carilah banyaknya bilangan bulat yang < j2 dan yang mengikuti j2 didalam permutasi tersebut. teruskan untuk Jk yang ada. • Jumlah invers = jumlah bilangan - bilangan

3. Contoh : • (6,1,3,4,5,2) Banyak invers = 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8 disebut permutasi genap • (1,2,3,4) Banyak invers = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 tidak ada invers, dikatakan permutasi genap • (2,4,1,3) Benyak invers = 1+2+0 =3, dikatakan permutasi ganjil Berapa invers dari {1,2,3} klasifikasikan permutasinya?

4. Hasil Perkalian elementer bertanda • Jika permutasi genap maka gunakan tanda (+) • Jika permutasi ganjil maka gunakan tanda (-) Hasil Perkalian elementer Permutasi yg diasosiasikan Genap atau Ganjil Hasil perkalian elementer yg bertanda a11a22a33 (1,2,3) Genap + a11a22a33 a11a23a32 (1,3,2) Ganjil - a11a23a32 a12a21a33 (2,1,3) Ganjil - a12a21a33 a12a23a31 (2,3,1) Genap + a12a23a31 a13a21a32 (3,1,2) Genap + a13a21a32 a13a22a31 (3,2,1) Ganjil - a13a22a31

5. DETERMINAN Definisi Determinan : Determinan merupakan suatu bilangan real yang diperoleh dari Hasil Perkalian Elementer dari suatu matriks bujur sangkar, dimana setiap hasil perkalian n entri dari suatu matriks tidak boleh berasal dari baris dan kolom yg sama. Nilai dari bilangan ini akan menunjukkan apakah matriks yang bersangkutan singular atau tak singular.

6. FUNGSI dan NOTASI • Fungsi determinan di A, disebut atau ditulis det A adalah jumlah semua perkalian elementer dari A. • Notasi | simbol lainnya yang banyak dipakai untuk menyatakan determinan dari A, selain det A adalah A. • Contoh :

7. Perhatikan!! a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 -a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31 PERTANYAAN!! Berapakah Det (B)= ?

8. Cara MencariDeterminan : • Dengan Aturan Sarrus • Ekspansi Kofaktor / Uraian Laplace • Dengan Reduksi Baris (OBE)

9. MenghitungDeterminandenganReduksiBaris : • Caranya : mereduksi matriks ke bentuk eselon baris. Dapat berupa matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah • Dengan nilai determinannya : • Misal : A matriks segitiga yang berukuran • n x n maka det(A) adalah hasil perkalian elemen-elemen pada diagonal utama.

10. SIFAT-SIFAT DETERMINANAnggap A adalah matriks n x n Teorema 1. Jika unsur dalam suatu baris atau suatu kolom dari suatu matriks adalah nol, maka nilai determinannya sama dengan noldet(A) = 0 Contoh:

11. Teorema 2 (Perkalian oleh konstanta ) Jika semua unsur dari satu baris atau kolom dari suatu matrik dikalikan oleh faktor k yang sama, maka nilai dari determinan yang baru, sama dengan k kali nilai determinan yang diketahui. • Teorema 3 ( Transposisi ) : Nilai suatu determinan tidak berubah jika baris-barisnya ditulis sebagai kolom-kolomnya, dalam urutan yang sama.

12. Teorema 4(Penukaran Baris atau Kolom) Jika sembarang dua baris atau kolom suatu matriks dipertukarkan, maka nilai determinan yang baru adalah nilai determinan yang lama dikali dengan –1. Contoh : Jika matriks B diperoleh dari pertukaran dua baris atau kolom matriks A, maka det(B) = - det(A)

13. Teorema 5 Jika setiap unsur dalam suatu baris atau kolom dari suatu determinan dinyatakan sebagai suatu binomial, maka determinan itu dapat ditulis sebagai jumlah dari dua determinan • Teorema 6 (Baris-baris atau Kolom-kolom yang sebanding ) Jika unsur-unsur yang berkaitan dari dua baris atau kolom suatu determinan adalah sebanding, maka nilai determinan itu sama dengan nol. 

14. Teorema 7 ( Penambahan baris atau kolom ) • Nilai suatu determinan tidak berubah jika unsur-unsur dari suatu baris atau kolom diubah dengan menambahkan pada unsur-unsur tadi sembarang konstanta kali unsur-unsur yang berpadanan dari sembarang baris ( atau kolom secara berturut-turut) lainnya. Contoh : Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari penggandaan suatu baris A ditambahkan pada kolom lainnya, maka det(B) = det(A)

15. Teorema 8 (Determinan dari hasil kali matriks) Untuk sembarang matriks A dan B yang berukuran n x n Det (AB) = det (BA) = det A det B • Teorema 9 (Determinan dari inverse matriks) Jika matriks A dapat dibalik (mempunyai inverse) maka A taksingular jika dan hanya jika det(A) ≠ 0, sedangkan Jika matriks A tidak dapat dibalik (tidak mempunyai inverse) maka A singular jika dan hanya jika det(A) = 0

16. Teorema 10 (Determinan dari matriks segitiga atas / bawah) • Jika A adalah suatu matriks segitiga n x n (segitiga atas,segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali anggota diagonal utamanya sehingga det(A) = a11a22a33…ann • Contoh : Carilah det(A)?

17. Sifat-sifat Determinan • det(A) = det(AT) • det(kA) = kndet(A) Misalkan A dan B matriks bujur sangkar, maka • det(A+B) ≠ det(A)+det(B) • det(AB) = det(A)det(B) Jika A dapat dibalik, maka det(A) ≠ 0 • Det(A-1) = 1/det(A) • Det((kA)-1) = 1/(kn.det(A))

18. Pertanyaan? Buktikan semua sifat determinan semuanya adalah benar

19. Kerjakan!! Cari determinan A,A1, A2, A3

20. Carilah det(A)=? (ubah dalam bentuk matriks segitiga atau diagonal)

21. Hitunglah det(A) dimana Pertukarkan R1 dengan R2  det(B)=-det(A) Faktor bersama 3*R1 diambil  det(B)=k.det(A)

22. R3: -2*R1+R3 sehingga det(B)=det(A) R3:-10*R2+R3 faktor bersama –55 *R3 diambil

23. Minor dan Kofaktor Definisi: jika A adalah matriks bujursangkar, maka minor anggota aijdinyatakan oleh Mij dan didefinisikan sebagai determinan sub matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A, kemudian Cij=(-1)I+jMij yang disebut kofaktor anggota aijdengan Mij adalah minor.

24. Carilah Minor danKofaktordarimatriks A!

25. PerluasanKofaktor Teorema : Determinan suatu matriks An x n bisa dihitung dengan mengalikan anggota2 pada sebarang baris (atau kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang diperoleh yaitu untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n Terhadap baris tertentu :

26. Bentukperluasanmenjadi Terhadap kolom tertentu : det(A) = a11C11+a12C12+a13C13 = a11C11+a21C21+a31C31 = a21C21+a22C22+a23C23 = a12C12+a22C22+a32C32 = a31C31+a32C32+a33C33 = a13C13+a23C23+a33C33

27. Bentukperluasanmenjadi det(A) = a11C11+a12C12+a13C13 = a11C11+a21C21+a31C31 = a21C21+a22C22+a23C23 = a12C12+a22C22+a32C32 = a31C31+a32C32+a33C33 = a13C13+a23C23+a33C33

28. PERHATIAN!!! • Untuk ordo matriks yang lebih tinggi >(3x3), perluasan kofaktor dan operasi baris kadang-kadang bisa digunakan secara bersama-sama yang disebut dengan cara penghilangan baris dan kolom untuk menghitung determinan

29. Contoh : Carilah determinan dari matriks berikut

30. Kerjakan!!! Cari determinan dengan cara penghilangan baris dan kolom

31. Adjoin suatu Matriks • Jika A adalah sebarang matriks nxn dan Cij adalah kofaktor dari aij maka matriks Disebut matriks kofaktor dari A.

32. Transpose dari matriks ini disebut Adjoin A dan dinyatakan dengan Adj(A) Contoh :

33. Kofaktor dari A adalah C11=12 C12=6 C13=-16 C21=4 C22=2 C23=16 C31=12 C32=-10 C33=16 Membentuk matriks kofaktornya adalah

34. Teorema : Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka

35. EKSPANSI KOFAKTOR DAN MENENTUKAN INVERS • A matriks bujur sangkar. • Matriks Aij = matriks yang didapat dengan membuang baris ke i dan kolom ke j dari matriks A. • Mij = det Aij , • .Mij disebut minor ke ij dari A • Bilangan kij = (-1)i+j mij, disebut kofaktor ke ij dari A

36. Apakah matriks A dapat dibalik?

37. Aturan Cramer • Untuk mencari solusi dari SPL tertentu (matriks nxn) • Teorema :Jika Ax=b merupakan suatu sistem n persamaan linier dalam n peubah sedemikian sehingga (A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang unik. Penyelesaian ini adalah

38. … Dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota kolom ke j dari A dengan anggota matriks b

39. CONTOH: • TENTUKAN PENYELESAIAN DARI SPL BERIKUT DENGAN MENGGUNAKAN ATURAN CRAMER • X1 + 2X3 = 6 • -3X1 + 4X2 + 6X3 = 30 • -X1 – 2X2 + 3 X3 = 8

40. Carilah Solusi dari SPL berikut (gunakan aturan Cramer)!! x- 4y+ z =6 4x- y+2z =-1 2x+2y -3z =-20

41. AplikasiDeterminan : MencariPenyelesaian SPL denganAturan Cramer • Contoh Soal : • 2x + 8y +6z = 20 • 4x + 2y – 2z = -2 • 3x – y + z = 11

42. Sistem Linear Berbentuk Ax = x • Sistem linier ini merupakan sistem linier homogen tersamar, karena x - Ax = 0 • Untuk menentukan nilai-nilai  di mana sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian tak trivial, nilai  yang seperti ini disebut suatu nilai karakteristik atau nilai eigen. • Jika  adalah suatu nilai eigen dari A, maka penyelesaian tak trivial disebut vektor eigen dari A yang berpadanan dengan . • Sistem ini mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika det (I – A) = 0