Permutasi adalah

1. Teori PeluangRuang Sampel : himpunan dr semua kemungkinan yg terjadi dari suatu prcobaan , dinotasikan dg lambang “S” , sedangkan tiap hasilnya disebut titik sampel/unsurContoh .a) Tentukan ruang sampel pd dadu dilempar sekali B) tentukan ruang sampel uang logam dilempar 3 kaliKejadian: himpunan bagian dari rung sampel#ada dua macam kejadian yaitu kejadian sederhana dan kejadian majemukoperasi kejadianirisan, gabungan, dan komplemenkaidah perkalian:bila percobaan 1ada p kemungkinan dan percobaan 2 ada q kemungkinan maka bila percob. 1 dan percob. 2 dilakukan (bersama sama) maka terdapat ( qXp) kemungkinan. Analog unt n percobaan. Cont?kaidah penjumlahan: perkalian:bila percobaan 1 ada p kemungkinan dan percobaan 2 ada q kemungkinan maka bila hanya satu percob. Saja (percob.1 atau percob. 2/sendiri sendiri) maka terdapat (p+q) kemungkinan. Analog unt n percob. Contoh?

2. Jumlah urutan/susunan yg berbeda dari pengaturan obyek-0byek. Rumus #Permutasi r obyek dari n obyek adl P(n,r)= Jika n=r maka P(n,r)=n! Catatan dlm permutasi perulangan tdk diperbolehkan (bedakan dg elemennya ada yang sama) #Permutasi beberapa unsur sama, P(n;n1,........,nk)= sebanyak k sekat Dimana n= n1+ n2+.......... nk # Permutasi siklis P(n,n)=(n-1)! Contoh1 Tiga buah ujian dilakukan dlm suatu periode enam hari . Berapa banyak jadwal yg mungkin dilakukan sehingga tdk ada dua ujian atau lebih dilakukan dalam hari yg sama. Jawab P(6,3)= = =120 cara (120 jadwal) Permutasi adalah

3. Berapa banyak permutasi yg berlainan yg dapat dibuat dari huruf kata “MISSISSIPPI” Jawab M=1 buah (n1 ) I =4 buah (n2 ) S=4 buah (n3 ) P= 2 buah (n4 ), maka didapat n=11 Jadi banyak permutasi adl P( 11; 1,4, 4, 2) = = 34650 cara (buah) Contoh 3 a) Berapa macam penyusunan berbeda yg dapat dilakukan pada huruf huruf a,a,b,c b) Ada berapa macam cara agar 23 buku yg berbeda dapat diberikan pada 5 mahasiswa sedemikian hingga 2 mahasiswa memperoleh 4 buku dan 3 mahasiswa memperoleh 5 buku. Jawab b) Banyak cara 5 mhs diambil 2 dpt 4bukudan 3dpt 5buku adl P(5:2,3)== banyak cara 23 buku diberikan pada 5 mahasiswa adl P(23:4,4,5,5,5)= Jadi banyak cara adl =. Contoh 2

4. Kombinasi Banyaknya susunan r obyek diambil dari n obyek tanpa memperdulikan urutannya Rumus combinasi r obyek dari n obyek adl C(n,r)= spt ada dua sekat Contoh Berapa banyak cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ? Jawab. C(7;3)= = = 35 cara Bila ada 4 kimiawan dan 3 programer , carilah banyak panitia 3 orang yg dapat dibuat yg beranggotakan 2 kimiawan dan 1 programer. Jawab banyak macam panitia yg mungkin adl C(4;2).C(3;1)= . = 6. 3 =18 lankutan

5. Mengingat penomena alam banyak yg bersifat tdk pasti, berdasarkan inilah unt menyelesaikan masalah digunakan ilmu probabilitas #Rumus Peluang Kejadian P(A)= ,dimana n( A)= banyaknya obyek suatu kejadian n(S)=banyaknya unsur hasil percobaan 0( A) A Contoh Jumlah mhs STIKOM yg mengambil matakuliah statistik probabilitas 40 orang, terdiri 15 mhs putri, akan dipilih 3 orang prestasi terbaik . Tentukan peluang agar terpilih semua putri Jawab n(s) = banyak cara diambil 3 orang dari 40 orang = C(40;3)= =(38)(13)(20) n(3putri)= banyak cara 3 putri dari 15 putri =C(15;3)= =(13)(7)(5) jadi P(A)= Peluang suatu kejadian

6. #Frekwensi Harapan ( fh) fh kejadian A adl f(A) = P(A). N dimana: N=banyak percobaab Contoh Melempar 2 dadu sebanyak 180 kali, Tentukan frekwensi harapan jumlah mata dadu yg muncul paling sedikit 8 Jawab N=180 n( S)=36 n(A)=15 didapat P(A)= Jadi frekwensi harapan untuk 180 kali pelemparan adl f(A) = .180 =75 #Beberapa Hukum Peluang P(AB)=P(A) + P(B) – P(A. Dimana A,B dua kejadian sembarang P(AB)=P(A) + P(B) . bila A dan B terpisah didapat # Bila A dan A’ kejadian saling berkomplemenmaka P(A’)= 1-P(A) lanjutan

7. Contoh Suatu mata uang dilempar 6 kali . Berapa peluang paling sedikit sekali muncul muka ? Jawab n(S)= 26=64 , misal kejadian A adalahkejadian paling sedikit 1 muncul muka P(A)=? padahal kita tau bahwa kejadian A’ (tidak ada muka yg muncul) hanya ada 1 cara didapat yaitu berbentuk “bbbbbb” saja P(A’)= 1/64 jadi P(A)= 1- 1/64 = 63/64 lanjutan

8. PELUANG BERSYARAT dan ATURAN BAYES Peluang B,diketahu A ditulis P(B/A) Rumus P(B/A)=, bila P(A)0 Contoh Diketahui ruang sampel 900 orang disuatu daerah, mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sbb: Tentukan peluang lelaki yg bekerja, Jawab Misal A= orang yg bekerja maka P(A)= B= lelaki, BA=460 maka P(BA)= jadi peluang lelaki yg bekerja adl P(B/A)= =23/30 lanjutan

9. #kejadian A dan B dapat terjadi pd suatu percobaan maka P(AB)=P(A).P(B|A) analog P(A1A2A3........)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P........ #Kejadian A dan B bebas adalah, jika dan hanya jika P(AB)=P(A).P(B) Contoh Dua dadu dilempar dua kali, berapa peluang mendapat jumlah 7 dan 11 dalam dua lantunan Jawab Lantunan pertama jumalah 7 dan 11 Lantunan kedua jumlah 7 dan 11 Misal A1 adl jumlah 7 pd lantunan pertama shg didapat 6 elemen B1 adl jumlah 11 pd lantunan kedua shg didapat 2 elemen A2 adl jumlah 7 pd lantunan kedua shg didapat 6 elemen B2 adl jumlah 11 pd lantunan kedua shg didapat 2 elemen P[(A1)(B1A2)]=P(A1B2) + P(B1A2) (rumus dua kejadian terpisah) = P(A1)P(B2) + P(B1).P(A2) (rumus dua kejadian bebas) =(6/36).(2/36) +(2/36).(6/36)=1/54 lnjutan Kejadian bebas

10. #Aturan Bayes Rumus P(Bk|A)= = dimana P(Bi ) lanjutan

11. 1. Tuliskan anggota ruang sampel berikut a) himpunan hasil bila sebuah dadu dan uang logam dilempar sekali b) himpunan bilangan bulat antara 1 dan 50 yg habis dibagi 7 2 Dua dadu dilempar satu warna merah yg lain warna hijau, hasil dicatat a) tulislah anggota rung sampel b) tulislah anggota S yg berkaitan dg kejadian A bahwa jumlah kurang dari 5 c) tulislah anggota S yg berkaitan dg kejadian B bahw a bil 2 muncul pd dadu hijau 3 Suatu percobaan terdiri atas lantunan suatu mata uang dan kemudian mata uang tersebut dilantunkan untuk kedua kalinya bila muka yang muncul pada lantunan pertama.Bila belakang yg muncul pada lantunan pertama,maka sebuah dadu dilantunkan sekali. a) tulislah anggota ruang sampel S b) tulislah anggota S yg berkaitan dg kejadian A bahwa yg muncul bilangan yg lebih kecil dari 4 pada dadu c) tulislah anggota S yg berkaitan dg kejadian B bahwa belakang muncul dua kali Latihan halaman 27-33

12. 4. Tiga wanita dipilih secra acak untuk ditanya apakah mereka mencuci pakaiannya dg sabun merek X a) tulislah anggota ruang sampel S dg menggunakan huruf Y untuk ‘ya’ dan T untuk ‘tidak’ b) tulislah anggota S yg berkaitan dg kejadian E bahwa paling sedikit dua wanita menggunakan sabun X c) tentukan kejadian yg beranggotakan titik { YYY, TYT, YYT , YYT } 5. Empat murid dipilih secara acak dari suatu kelas dan dikelompokkan atas pria atau wanita.Tulislah anggota ruang sampel S1 dg menggunakan huruf P untuk ‘pria’ dan W untuk ‘wanita’.Tentukanlah ruang sampel S2 yg anggotanya menyatakan jumlah wanita yg terpilih. 6. Surat lamaran dua orang pria untuk jabatan di suatu perusahaan diletakkan dalam suatu map yg sama dg surat lamaran dua orang wanita.Ada dua jabatan yg lowong,yg pertama jabatan direktur dipilih secara acak dari keempat pelamar.Jabatan kedua, wakil direktur , dipilih secara acak dari ketiga sisanya. a) tulislah anggota ruang sampel S. b) tulislah anggota S yg berkaitan dg kejadian A bahwa lowongan direktur diisi oleh pelamar pria c) tulislah anggota S yg berkaitan dg kejadian B bahwa tepat satu dari lowongan diisi oleh pelamar pria d) tulislah anggota S yg berkaitan dg kejadian C bahwa tidak ada lowongan yg diisi oleh pelamar pria e) buatlah diagram Venn yg memperlihatkan hubungan antara kejadian A, B, C dan S 7. Tulislah anggota S yg berkaitan dg kejadian A ∩ C pada soal 2. 8. Tulislah anggota S pada soal 6 yg berkaitan dg kejadian A ∩ B dan A U C Lanjutan

13. 9. Bila S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } dan A = { 0, 2, 4, 6, 8 }, B = { 1, 3, 5, 7, 9 } , C = { 2, 3, 4, 5 }, dan D = { 1, 6, 7 }, tuliskanlah anggota himpunan yang berkaitan dg kejadian A U B A ∩ B C’ ( C’ ∩ D) U B A ∩ C ∩ D’ 10. Pandanglah ruang sampel S = { tembaga, natrium, nitrogen, kalium, uranium, oksigen, seng } dan kejadian A = { tembaga, natrium, seng } B = { natrium, nitrogen, kalium } C = { oksigen } Tuliskanlah anggota himpunan yang berkaitan dg kejadian berikut: A’ A U C ( A ∩ B’ ) U C’ ( B’ ∩ C’ ) A ∩ B ∩ C ( A’ U B’ ) ∩ ( A’ ∩ C ) 11. Bila P = { x|1 < x < 9 } dan Q = { y|y <5}, hitunglah P U Q dan P ∩ Q 12. Misalkan A, B, dan C kejadian nisbi terhadap ruang sampel S. Denga menggunakan diagram Venn, arsirlah daerah yg menyatakan kejadian berikut: ( A ∩ B )’ ( A U B )’ ( A ∩ C) U B 13. a) Berapa carakah dapat dibuat antrian masuk ke bis yang terdiri atas lima orang? b) Bila dua orang tidak saling mengikuti, ada berapa cara antrian yang dapat terjadi? 14. Tiap mahasiswa baru harus mengambil mata kuliah fisika, kimia, dan matematika. Bila seorang mahasiswa dapat memilih satu dari tiga kuliah fisika, satu dari empat kuliah kimia, dan satu dari dua kuliah matematika, dg berapa banyak cara dia dapat menyusun programnya? lanjutan

14. 15. Dalam berapa macam cara yang berbedakah suatu ujian yg terdiri atas delapan soal dg jawaban betul-salah dpt dijawab? 16. Berapa macam permutasi yg berlainankah dpt dibuat dari huruf kata ‘statistika’? 17. Berapa macam carakah dpt diisi kelima tempat pertama dlm tim bola basket yg diambil dari 9 pria ? 17. a) Berapa banyak bilangan yg terdiri atas tiga angka(digit) dpt dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 bila tiap angka hanya dpt digunaknan sekali? b) Berapa banyak daripadanya yg merupakan bilangan ganjil? c) Berapa banyak yg lebih besar dari 330? 18. Seorang pemborong hendak membangun lima rumah dg rancangan yg berbeda. Dg berapa carakah dia dpt menempatkan rumah tsb di suatu jalan bila tersedia tiga kapling pd satu pihak jalan dan dua kapling pd pihak yang lain? 19. Dengan berapa carakah empat pria dan tiga wanita dpt duduk dlm satu baris bila pria dan wanita harus duduk berselingan? 20. Dengan berapa carakah enam pohon dpt ditanam pd suatu lingkaran? 21. Dengan berapa carakah dpt ditanam dua pohon akasia, tiga bungur, dan dua cemara dlm satu garis lurus bila pohon yg sejenis tak dibedakan? 22. Suatu kesebelasan universitas memainkan delapan pertandingan sepak bola dlm satu triwulan. Dengan berapa carakah kesebelasan itu dpt memainkannya bila menang empat kali, kalah tiga kali, dan seri sekali? 23. Sembilan orang pergi ke gunung dg tiga mobil, masing-masing dpt membawa 2, 4, dan 5 penumpang. Berapa carakah dpt dibuat untuk membawa kesembilan orang tsb ke gunung? 24. Dari kelompok yg terdiri atas lima pria dan tiga wanita, berapa banyak panitia yg beranggota tiga orang dpt dibuat? a) Tanpa pembatasan? b) Dengan dua pria dan seorang wanita? c) Dengan seorang pria dan dua wanita bila seorang wanita tertentu harus ikut dalam panitia? LANJUTAN

15. 25. Berapa tangan kartu bridge dpt mengandung lima spade, tiga diamond, tiga club, dan dua heart? 26. Dari tiga apel merah, empat hijau, dan lima kuning, berapa pilihankah dpt dibuat yg berisi enam apel, bila dua dari tiap warna harus ikut? 27. Suatu pengiriman 10 pesawat televisi mengandung 3 yg cacat. Dengan berapa carakah suatu hotel dpt membeli 4 pesawat tsb dan diantaranya tersebut 2 yg cacat? 28. Tiga orang memperebutkan suatu hadiah. Si A dan si B mempunyai peluang menang yg sama sedang si C dua kali lebih besar dari si A atau B. Berapakah peluang C menang? 29. Carilah peluang kejadian A pada soal 2. 30. Suatu kotak berisi 500 amplop, 50 diantaranya berisi uang Rp100, 100 berisi Rp25, dan 350 berisi Rp10. sebuah amplop dijual seharga Rp25. tuliskanlah ruang sampel untuk ketiga macam jumlah uang dan berilah bobot pada tiap titik sampel,kemudian hitunglah peluang bahwa amplop pertama berisi uang kurang dari Rp 100. 31. Dua dadu dilantunkan.Berapakah peluang mendapatkan jumlah 5?Paling banyak jumlahnya 4? 32. Dalam permainan poker,suatu tangan berisi lima kartu.Berapakah peluangnya mengandung : a) dua as dan dua king ? b) lima spade ? lanjutan

16. 33. Bila tiga buku diambil secara acak dari suatu rak yg berisi empat novel, tiga buku syair, dan sebuah kamus, berapakah peluangnya bahwa a) kamus terpilih b) dua novel dan sebuah buku syair yg terpilih? 34. Dua kartu diambil secara berurutan tanpa dikembalikan dari suatu kotak bridge. Gunakan aturan kombinasi menentukan peluang bahwa kedua kartu tersebut lebih besar dari 2 tapi lebih kecil dari 9. 35. Bila A dan B dua kejadian yg terpisah dg P(A) = 0,4 dan P (B) = 0,5 hitunglah a) P(A U B) b) P(A’) c) P(A’∩ B) 36. Sebuah kota mempunyai dua mobil pemadam kebakaran yg bekerja saling bebas.Peluang suatu mobil tertentu tersedia bila diperlukan adalah 0,99. (a) berapakah peluang keduanya tidak tersedia bila diperlukan ? (b) berapakah peluang suatu mobil tersedia bila diperlukan ? Dua dadu dilantunkan.Bila diketahui bahwa satu dadu memunculkan 4 berapakah peluang bahwa (a) yg keedua muncul 5 ? (b) jumlah keduanya lebih besar dari 7 ? 38. Ulangi soal 34 dg menggunakan teorema 1.12. 39. Bagi Umar peluang bahwa ia masih akan hidup selama 20 tahun adalah 0,6 dan bagi Joni peluang itu adalah 0,9.Berapakah peluang peluang keduanya akan meninggal dalam 20 tahun. LANJUTAN

17. 40. Dari 100 siswa yg wisuda, 42 pelajar matematika, 68 belajar psikologi, 54 belajar sejarah, 22 belajar matematika dan sejarah, 25 belajar matematika dan psikologi, 7 belajar dan tidak belajar matematika maupun psikologi, 10 belajar ketiga mata pelajaran, dan 8 tidak belajar satu pun dari ketiga mata pelajaran.Bila seorang siswa dipilih secara acak,hitunglah ! (a) peluang dia belajar sejarah dan psikologi tapi tidak matematika ; (b) peluang bahwa bila dia belajar sejarah, dia belajar ketiga mata pelajaran ; (c) peluang dia hanya belajar matematika 41. Peluang seorang laki-laki kawqin menonton suatu film seri di t.v. adalah 0,4 dan peluang seorang wanita yg telah kawin menonton film yg sama 0,5.Peluang seorang laki-laki menonton film tersebut bila istrinya tersebut menonton adalah 0,7. Hitunglah ! (a) peluang sepasang suami istri menonton film tersebut ; (b) peluang seorsng istri menonton film tersebut bila suaminya menonton ; (c) peluang paling sedikit seorang dari pasangan suami istri menonton film tersebut. 42. Peluang seorang pemain bola basket memasukkan bola adalah 50%.Berapakah peluangnya memasukkan tiga dari empat tembakan bola ? 43. Sebuah mata uang dibuat bias sehingga pelang mendapatkan muka dua kali lebih besar daripada beakang.Bila uang itu dilantunkan tiga kali,berapakah peluang mendapatkan tepat dua belakang ? Lanjutan

18. 44. Sebuah mata uang dibuat bias sehingga peluang mendapatkan muka dua kali lebih besar daripada belakang.Bila uang itu dilantunkan tiga kali,berapakah peluang mendapatkan tepat dua belakang ? 45. Suatu kantung berisi empat bola putih dan tiga bola hitam sedangkan kantung kedua berisi tiga bola putih dan lima bola hitam.Satu bola diambil dari kantung pertama tanpa melihatnya dan dimasukkan ke kantung kedua.Berapakah sekarang peluang mengambil sebuah bola hitam dari kantung kedua ? 46. Sebuah kotak berisi lima bola hitam dan tiga bola hijau.Tiga bola diambil secara berturutan,tiap bola dikembalikan ke kotak sebelum bola berikutnya di ambil. Berapakah peluang ketiga bola itu berwarna sama?Berapakah peluang kedua warna terambil? 47. Seorang pengusaha perumahan (real state) mempunyai delapan kunci induk untuk membuka beberapa rumah baru.Suatu rumah hanya akan dapat dibuka dg satu kunci induk tertentu.Bila 40% dari rumah biasanya tak terkunci,berapakah peluang pengusaha tersebut dapat masuk ke sebuah rumah tertentu bila dia mengambil tiga kunci secara acak sebelum meninggalkan kantornya? LANJUTAN

19. 48.Misalkan bola berwarna terbagi dalam tiga kotak yg sma sebagi berikut : Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Merah2 4 3 Putih 3 1 4 Hitam5 5 5 Satu kotak dipilih secara acak dan dari dalamnya diambil sebuah bola secara acak dan ternyata berwarna merah.Berapakah peluang kotak 3 yg terambil? 49. Seorang pegawai mempunyai dua mobil,satu sedan dan satu lagi toyota kijang. Untuk pergi bekerja dia menggunakn sedan 75% dan kijang 25%.Bila dia menggunakan sedan biasanya dia tiba kembali di rumah pukul 17.30 sebanyak 75% (75 dari 100 kali) sedangkan bila menggunakan kijang dia tiba pukul 17.30 kira-kira 60% (tapi dia merasa lebih tenang memakai kijang karena tidak terlalu khawatir dissempret mobil lain).Bila dia tiba di rumah pukul 17.30,berapakah peluangnya dia memakai sedan? LANJUTAN

20. 50. Suatu serum kejujuran yg diberikan kepada tertuduh diketahui 90% terandalkan bila orang tersebut bersalah,dan 99% terandalkan bila ia tidak bersalah.Dengan perkataan lain,10% dari yg bersalah diketemukan tidak bersalah oleh serum dan 1% dari yg tidak bersalah.Bila si tertuduh dipilih dari sekelompok tertuduh yg hanya 5% yg pernah melakukan kejahatan dan serum menyatakan bahwa dia bersalah,berapakah peluang orang itu tak bersalah? LANJUTAN