Beskonačnost

1. Beskonačnost Franka Miriam Brückler za SS HKD-a 9.6.2009. Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit.

2. Što znači da nečega imabeskonačno mnogo? • Očito: da ga nema konačno mnogo  • Ali, što onda znači da nečeg ima konačno mnogo?

3. Malo povijesti matematike beskonačnosti • Zenon iz Eleje 5. st. pr. Kr. njegovi paradoksi – prvi pokušaji matematičkog pristupa beskonačnosti • Aristotel – potencijalna vs. aktualna beskonačnost • Bhaskara II 11. st. • Galileo 17. st. • znak : John Wallis 1655. • taj simbol ne označava nikakvu određenu veličinu – smisao je više: neograničenost

4. Što to razlikuje beskonačan skup od konačnog? • možemo izvaditi neke elemente iz beskonačnog skupa bez da se pritom smanji njegova veličina – Bernhard Bolzano 1840-ih • drugim riječima: beskonačan skup se može staviti u bijekciju s nekim svojim pravim podskupom, a konačan ne

5. U hotelu s beskonačno soba uvijek ima mjesta za još jednoga! • sobe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... • dođe novi gost... • 1 ode u 2, 2 ode u 3, 3 ode u 4 itd. • novi gost stane u sobu 1! • zapravo, ima mjesta za bilo koji konačan broj gostiju! • da ste portir u takvom hotelu, što biste učinili da dođe 243 novih gostiju?

6. A što s beskonačno mnogo novih gostiju? • svi gosti iz jednog takvog hotela poslani u drugi • imate li prijedlog za jadnog portira? • a što ako se zatvori beskonačno mnogo takvih hotela?

7. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3.3.1845. St. Petersburg – 6.1.1918.Halle

8. Bijekcije • bijekcija je funkcija sa svojstvom: svaki element kodomene pridružen je točno jednom elementu domene • אבגדהוזחטיכל •            

9. A ima jednako mnogo elemenata kao i B ako postoji bijekcija među njima!

10. Jesu li sve beskonačnosti jednako velike? • skupovi prirodnih brojeva, cijelih brojeva i racionalnih brojeva imaju jednako mnogo elemenata • ne vjerujete? • skup ima jednako mnogo elemenata kao skup prirodnih brojeva ako se njegove elemente može nabrojati u nizu

11. N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .... Z: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, .... Q+: ?!

12. 0 1 - + Realnih brojeva ima više! r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ... r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ... r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ... r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ... ... Pretpostavimo: 0,1= {r1,r2,r3, ... } r=0.4555554...

13. Kardinalni brojevi • konačno – prebrojivo – neprebrojivo • kardinalni broj • zbroj kardinalnih brojeva a i b je kardinalni broj unije dva skupa od kojih jedan ima kardinalni broj a, a drugi ima kardinalni broj b i nemaju zajedničkih elemenata • konačni kardinalni brojevi = prirodni brojevi s nulom • koliko ima prirodnih brojeva? א0 (najmanji beskonačni kardinalni broj) • koliko ima realnih brojeva? c • n + א0 = א0+ א0= א0 • א0·א0= א0 • א0<c

14. Kronecker kontra Cantora Leopold Kronecker, 7.12.1823. Liegnitz, Pruska – 29.12.1891. Berlin Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. konstruktivizam: postoje samo oni matematički objekti za koje postoji konačan postupak njihove konstrukcije What good your beautiful proof on [the transcendence of] π? Why investigate such problems, given that irrational numbers do not even exist?

15. Dužina ima točaka koliko i kvadrat! 0,1] ima elemenata kao i 0,1]×0,1] x = 0 ,| 5 | 1 | 0 5 | 1 |01 | 002 | ... x = 0 ,|k1|k2|k3|... x  (y,z) y = 0 ,|k2|k4|k6|... = 0, 11002 ... z = 0 ,|k1|k3|k5|... = 0, 50501 ... Je le vois, mais je ne le crois pas!

16. Partitivni skup • skup svih podskupova nekog skupa S • oznaka P(S) • prazan skup je podskup svakog skupa pa i samog sebe  prazan skup je u P(S) za svaki skup S • ako xS, onda { x }  P(S)

17. 

18. Osnovni teorem teorije skupova • skup uvijek ima (strogo) manje elemenata nego njegov partitivni skup • za konačne skupove očito, ali vrijedi i za beskonačne • lako: skup ne može imati više elemenata od svog partitivnog skupa • S = { ♠, ♣, ♥, ♦, ...} • P(S) = { , {♠}, {♣}, {♥}, {♦}, ...} • formalno pišemo • npr.

19. Aritmetika kardinalnih brojeva • produkt kardinalnih brojeva se definira preko Cartesiusovog produkta skupova • zbroj ili produkt dva beskonačna broja jednak je većem od njih • oduzimanje i dijeljenje nije smisleno, npr. • 2 + א0 = 19 + א0 • potenciranje se definira preko skupova funkcija

20. Alefi i betovi • najmanji beskonačni broj je א0 • sljedeći veći se označava s א1 , sljedeći veći od njega s א2 itd. • s druge strane: ב0 = א0 , ב1 = 2ב0, ב2 = 2ב1, ... • imamo dakle dva beskonačna rastuća “niza” beskonačnih brojeva – alefi i betovi • budući je א1 najmanji koji je veći od א0, a po Cantorovom teoremu je ב1 veći od א0, zaključujemo: א1 ≤ ב1

21. Hipoteza kontinuuma • realnih brojeva ima više nego prirodnih • postoji li skup koji ima više elemenata nego skup prirodnih, a manje nego skup realnih brojeva? • hipoteza (Cantor): ne! • dokaz: nemoguć! (Cohen, 1963.) • dokaz da nema takvog skupa: isto nemoguć! (Gödel, 1939.)

22. Paradoksi • skup svih skupova ?! (Cantor, 1899.) • brijač koji brije sviju koji ne briju sami sebe – Russell 1902. • {x : x x} ne postoji • što sad? je li Kronecker bio u pravu? • odgovor: aksiomatizacija! A stupid man's report of what a clever man says can never be accurate, because he unconsciously translates what he hears into something he can understand. A Proctor without a WigGeorge Moutard Woodward  (ca. 1760-1809)

23. 2 + 3 = 5 • 0 = kardinalni broj praznog skupa • 1 = kardinalni broj skupa {0} • 2 = kardinalni broj skupa {0,1} = 1  {1} • 3 = kardinalni broj skupa {0,1,2} = 2  {2} • 4 = kardinalni broj skupa {0,1,2,3} = 3  {3} • 5 = kardinalni broj skupa {0,1,2,3,4} = 4  {4} • itd. n + 1 = n {n} • 2 + 3 = kardinalni broj unije disjunktnih skupova kardinalnog broja 2 i kardinalnog broja 3

24. { , , } { , } { , , , , } 2 = {0,1} 3 = {0,1,2}  = 5 = {0,1,2,3,4}

25. Par zadataka za kraj • što mislite, koliko ima kompleksnih brojeva? a kvadrata prirodnih brojeva? a prostih brojeva? • koliko je c + א0 ? a 2א0 ? • koliko ima svih mogućih (ne nužno smislenih) kemijskih formula? • koliko ima decimalnih brojeva s konačno mnogo znamenaka? • možete li smisliti neki geometrijski objekt koji sadrži beskonačno mnogo točaka, ali ima konačnu (nenul) duljinu/površinu/volumen! a možete li izmisliti skup s konačno mnogo točaka koji ima duljinu/površinu/volumen različitu od nule?