Sistemų, specifikuotų PLA metodu, skaitmeninių modelių sudarymas

1. Sistemų, specifikuotų PLA metodu, skaitmeninių modelių sudarymas Paruošė dokt. Kęstutis Lukšys

2. PLA specifikacija • PLA – Atkarpomis tiesiniai agregatai (angl. Piece Linear Aggregates). • PLA aprašomi naudojant būsenų aibę S, įėjimo signalų aibę X, išėjimo signalų aibęY bei perėjimo operatorių H ir išėjimo formavimo operatorių G. • Agregato būsenos struktūra z(t) = (v(t), zv(t)) • v(t) = (v1(t), v2(t), ..., vm(t)) - Diskrečioji būsenos dedamoji • zv(t) = (zv1(t), zv2(t), ..., zvk(t)) – Tolydžioji būsenos dedamoji

3. Agregato būsenos kitimas • Agregato būsena gali pakisti tik dviem atvejais: • kai į agregatą siunčiamas įėjimo signalas; • kai viena iš tolydžiosios dedamosios koordinačių įgyja tam tikrą reikšmę. • Kai neįvyksta joks įvykis diskrečioji būsenos dedamoji išlieka pastovi, o tolydžioji kinta tiesiškai: v(t) = const, , čia αv = (αv1, αv2, ..., αvk) – pastovus vektorius, kurio komponentės nusako tolydžiosios būsenos komponentės kitimo greitį.

4. Formali PLA specifikacija • Įėjimo signalų aibė Xi. • Išėjimo signalų aibė Yi. • Išorinių įvykių aibė E‘i, kurią sudaro išoriniai įvykiai e‘(x) susieti su įėjimo signalais xXi. • Vidinių įvykių aibė E“i. • Valdymo sekos, kurios apibūdina agregato Ai vidinių įvykių trukmes. Jos gali būti išreikštos tiesiogine laiko trukme, arba intensyvumu. • Diskrečioji agregato Ai būsenos dedamoji vi(t).

5. Formali PLA specifikacija (2) • Tolydžioji agregato Ai būsenos dedamoji zvi(t) = (e“j, t ), kur w(e“j, t ) yra tolydusis kintamasis, susietas su vidiniu įvykiu e“jE“i, o r – vidinių įvykių skaičius aibėje E“i. • Agregato būseną zi(t) sudaro diskrečioji komponentė vi(t) ir tolydžioji komponentė zvi(t): zi(t) = (vi(t), zvi(t)). • Kiekvienas vidinis ir išorinis įvykis turi du operatorius: H ir G. Operatorius H keičia diskrečiųjų ir tolydžiųjų agregato kintamųjų reikšmes, o G – formuoja išėjimo signalus Yi.

6. Sistemos būsenų grafo sudarymas • Agregatų sistemą, specifikuotą PLA, galima apibrėžti grafu G= (V, ). Čia V – grafo viršūnių aibė,  – grafo briaunų aibė. • Imama ši formalios PLA specifikacijos informacija: • Vidinių įvykių aibė E. • Pradinė sistemos būsena z(0). • Sistemos būsenų aibė Z, kuri pradiniu momentu turi tik vieną elementą – z(0): Z= {z(0)}. • Išnagrinėtų sistemos būsenų aibė Zisn, kuri pradiniu momentu yra tuščia: Zisn = ø.

7. Sistemos būsenų grafo sudarymo algoritmas • Imama nenagrinėta būsena zZ \ Zisn: • Kiekvienam galimam įvykiui e būsenoje z – eE: w(e) ≠ 0: • Apskaičiuojama būsenų, į kurias sistemas gali pereiti, aibė: Z+= (z, e). • Visiems z+Z+: • z+ pridedama prie sistemos būsenų aibės Z: Z= Z {z+}; • Perėjimas iš būsenos z į z+ pridedamas prie perėjimų aibės :  =  {zz+}. • Būsena z pridedama prie išnagrinėtų būsenų aibės Zisn: Zisn = Zisn {z}. • Antras žingsnis kartojamas tol, kol aibėje Z nelieka nenagrinėtų būsenų, t.y. Z sutampa su Zisn. • Grafo viršūnių aibė V sukuriama pagal sistemos būsenų aibę Z: V = {z: Z • f–1(z)}.

8. Markovo procesai ir Markovo grandinės • Markovo procesai – tai procesai, kurie „neturi atminties“. • Visos Markovo proceso {X(t), tT} tikimybinės charakteristikos ateityje priklauso tik nuo to, kokioje būsenoje šis procesas yra dabartiniu laiko momentu ir nepriklauso nuo proceso praeities. • Kai laiko aibė T yra suskaičiuojama arba baigtinė procesai vadinami Markovo grandinėmis.

9. Markovo proceso būsenų tikimybės • Atkarpomis tiesinis Markovo procesas, aprašantis atkarpomis tiesinį agregatą, tampa Markovo procesu su diskrečiąją būsenų aibe ir tolydžiuoju laiku, kai sistemos operacijų trukmės yra pasiskirsčiusios pagal eksponentinį dėsnį. • Stacionarios sistemos būsenų tikimybės yra apskaičiuojamos iš lygčių sistemos:

10. Įdėtos Markovo grandinės • Dažniausiai sistemos funkcionavimas yra nagrinėjamas tam tikrais laiko momentais. • Jeigu šiais laiko momentais sistemos funkcionavimas aprašomas Markovo grandine, tai ji vadinama įdėta Markovo grandine į Markovo procesą. • Įdėtos Markovo grandinės perėjimo tikimybes galima apsiskaičiuoti turint būsenų perėjimo intensyvumus

11. Stacionarių sistemos būsenų tikimybių skaičiavimas • Markovo grandinių įdėjimo etapas – sistemos lygčių skaičiaus sumažinimas. • Stacionarių tikimybių skaičiavimo etapas.

12. Markovo grandinių įdėjimo etapas • Sudaroma būsenų aibių seka SN, SN–1, ..., S1, kuri gaunama nuosekliai „išmetant po vieną būseną“: • Pagal gautą būsenų aibių seką, sudaroma Markovo grandinių seka

13. Markovo grandinės apibrėžimas • Markovo grandinė pilnai apibrėžiama perėjimų matrica λn ir būsenų aibe Sn. • Tam, kad galėtume aprašyti Markovo grandinių seką, būtina sudaryti perėjimų matricų λN, λN–1, ..., λ1 seką.

14. Stacionarių tikimybių skaičiavimo etapas • Turint pilnai apibrėžtų Markovo grandinių seką Markovo proceso stacionariosioms tikimybės apskaičiuoti naudojamos šios formulės

15. Skaitmeninių modelių automatizuoto sudarymo principai • Aprašyti tiriamą sistemą specialia specifikavimo kalba. • Sukurti programinį modulį, kuris pagal duotą specifikaciją sudarytų sistemos būsenų grafą. • Sukurti programinį modulį, kuris sudarytų lygčių sistemą. • Sukurti programinį modulį, kuris apskaičiuotų sistemos būsenų stacionarias tikimybes. • Sukurti programinį modulį, kuris apskaičiuotų sistemos tikimybines charakteristikas pagal gautas stacionariąsias būsenų tikimybes.

16. Aptarnavimo sistemos pavyzdys • Du Puasono srautai: • Dokumentai, siunčiami tiesiogiai per kompiuterį su intensyvumu λ1 • Dokumentai, siunčiami per tinklą su intensyvumu λ2 • Dvi baigtinio ilgio eilės: • Prie kompiuterio (maksimalus ilgis Nk) • Dokumentų eilė spausdintuve (maksimalus ilgis Nsp) Kompiuteris λ1 Spausdintuvas μ1 λ2 Tinklas

17. PLA specifikacija • Įėjimo signalų aibė X = ø. • Išėjimo signalų aibė Y = ø. • Išorinių įvykių aibė E‘ = ø. • Vidinių įvykių aibė E“i= {e“1, e“2, e“3}, • e“1 – kliento/dokumento atvykimas prie kompiuterio; • e“2 – dokumento atvykimas per tinklą; • e“3 – dokumento spausdinimo pabaiga.

18. PLA specifikacija (2) • Valdymo sekos – perėjimo tarp sistemos būsenų intensyvumai: . • Diskrečioji agregato būsenos dedamoji v(t) = {nk(t), nsp(t), K(t), SP(t), LK(t)}, • kur nk(t) – eilės ilgis prie kompiuterio laiko momentu t; • nsp(t) – vidinės spausdintuvo eilės ilgis laiko momentu t; • K(t) = 0 jei kompiuteris laiko momentu t yra laisvas, ir K(t) = 1, jei užimtas; • SP(t) = 0 jei spausdintus laiko momentu t yra laisvas, ir SP(t) = 1, jei užimtas; • LK(t) = 0 jei laiko momentu t kompiuterio atmintyje nelaukia dokumentas, ir K(t) = 1, jei laukia.

19. PLA specifikacija (3) • Tolydžioji agregato būsenos dedamoji zv(t) = . • Pradinė agregato būsena z(t0) = {v(t0), z(t0)} = {{0, 0, 0, 0, 0}, {λ1, λ2, 0}}.

20. PLA specifikacija (4) • H(e“1): /Atvyko klientas/dokumentas prie kompiuterio/

21. PLA specifikacija (5)

22. PLA specifikacija (6) H(e“2): /Atvyko dokumentas per tinklą/ nk(t + 0) = nk(t) K(t + 0) = K(t) LK(t + 0) = LK(t)

23. PLA specifikacija (7) H(e“3): /Baigtas spausdinti dokumentas/

24. PLA specifikacija (8)

25. Būsenų grafo sudarymas • Pradinė būsena s0 = {0, 0, 0, 0, 0}. • Būsenų aibė S = {s0}. • Išnagrinėtų būsenų aibė Sisn tuščia. s0: nk = 0 nsp = 0 K = 0 SP = 0 LK = 0 λ2 s2: nk = 0 nsp = 0 K = 0 SP = 1 LK = 0 λ1 s1: nk = 0 nsp = 0 K = 1 SP = 1 LK = 0

26. Būsenų grafo sudarymas (2) s0: nk = 0 nsp = 0 K = 0 SP = 0 LK = 0 λ2 s2: nk = 0 nsp = 0 K = 0 SP = 1 LK = 0 • S = {s0, s1, s2 , s3, s4}. • Sisn = {s0, s1}. λ1 μ1 s1: nk = 0 nsp = 0 K = 1 SP = 1 LK = 0 λ2 s4: nk = 0 nsp = 1 K = 1 SP = 1 LK = 0 λ1 s3: nk = 1 nsp = 0 K = 1 SP = 1 LK = 0

27. Būsenų grafo sudarymas (3) s0: nk = 0 nsp = 0 K = 0 SP = 0 LK = 0 λ2 s2: nk = 0 nsp = 0 K = 0 SP = 1 LK = 0 λ2 s5: nk = 0 nsp = 1 K = 0 SP = 1 LK = 0 • S = {s0, s1, s2 , s3, s4 , s5}. • Sisn = {s0, s1 , s2}. μ1 λ1 λ1 μ1 s1: nk = 0 nsp = 0 K = 1 SP = 1 LK = 0 λ2 s4: nk = 0 nsp = 1 K = 1 SP = 1 LK = 0 λ1 s3: nk = 1 nsp = 0 K = 1 SP = 1 LK = 0

28. Būsenų grafo sudarymas (4) s0: nk = 0 nsp = 0 K = 0 SP = 0 LK = 0 λ2 s2: nk = 0 nsp = 0 K = 0 SP = 1 LK = 0 λ2 s5: nk = 0 nsp = 1 K = 0 SP = 1 LK = 0 λ2 μ1 μ1 λ1 λ1 λ1 μ1 s1: nk = 0 nsp = 0 K = 1 SP = 1 LK = 0 λ2 s4: nk = 0 nsp = 1 K = 1 SP = 1 LK = 0 s7: nk = 0 nsp = 1 K = 1 SP = 1 LK = 1 λ2 λ2 μ1 μ1 λ1 λ1 λ1 μ1 s3: nk = 1 nsp = 0 K = 1 SP = 1 LK = 0 λ2 s6: nk = 1 nsp = 1 K = 1 SP = 1 LK = 0 s8: nk = 1 nsp = 1 K = 1 SP = 1 LK = 1 λ2 λ2 μ1 μ1 λ1 λ1 λ1

29. Perėjimų intensyvumų matrica

30. Sistemos srautų intensyvumai • Stacionariosios sistemos būsenų tikimybės buvo apskaičiuotos kai: • Klientų prie kompiuterio srautointensyvumas λ1 = 0,2; • Dokumentų per tinklą srauto intensyvumas λ2 = 0,5; • Dokumentų spausdinimo intensyvumas μ1 = 1. 30

31. Sistemos būsenų stacionariosios tikimybės 31

32. Sistemos srautų intensyvumai (2) • Stacionariosios sistemos būsenų tikimybės buvo apskaičiuotos ir su • λ1 = 0,5; • λ2 = 0,5; • μ1 = 0,5. 32

33. Sistemos būsenų stacionariosios tikimybės (2) 33

34. Dėkui už dėmesį.