1 / 37

4. Solusi Persamaan Non Linier

4. Solusi Persamaan Non Linier. Metode Tertutup & Metode Terbuka. Rumusan Masalah. Mencari solusi persamaan nonlinier Menemukan akar-akar persamaan : f ( x ) = 0. Metode Pencarian Akar. Metode Tertutup Diberikan selang yang sudah diketahui memiliki akar

amma
Download Presentation

4. Solusi Persamaan Non Linier

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 4. Solusi Persamaan Non Linier Metode Tertutup & Metode Terbuka

  2. Rumusan Masalah • Mencari solusi persamaan nonlinier • Menemukan akar-akar persamaan : f(x) = 0

  3. Metode Pencarian Akar • Metode Tertutup • Diberikan selang yang sudah diketahui memiliki akar • Iterasi yang dilakukan dalam selang ini dipastikan konvergen menuju akar • Metode Terbuka • Diperlukan tebakkan awal akar untuk memulai iterasi pencarian akar • Hasil suatu hampiran akar akan digunakan untuk mencari hampiran selanjutnya • Tebakkan awal akar yang tidak baik dapat menyebabkan iterasinya divergen

  4. Metode Tertutup (Brackecting Methode) • Strategi yang dipakai adalah : mengurangi lebar selang secara sistematis sehingga dengan selang yang menyempit akan mendekatkan pada akar sejati.

  5. Syarat Cukup Keberadaan Akar

  6. Syarat Cukup Keberadaan Akar (Cont.) • Jika f(a)*f(b)< 0 dan f(x) kontinu dalam selang [a,b], maka paling sedikit terdapat satu buah akar persamaan f(x) = 0 di dalam selang [a,b] • Yang termasuk dalam metode tertutup : • Metode Bisection (Bagi Dua) • Metode Regula False

  7. Konsep Metode Bisection • Membagi dua sama besar suatu selang yang diketahui mengandung akar • Memilih salah satu selang yang mengandung akar • Mengulangi dua hal di atas sampai lebar selang mencapai batas tertentu

  8. Prosedur Metode Bisection

  9. Kasus yang mungkin • Jumlah akar lebih dari satu • Hanya satu akar saja yang dapat ditemukan • Akar Kembar • Metode ini tidak bisa menemukan akar ganda • Singularitas • Titik singular, titik yang nilai fungsinya tidak terdefinisi • Menyebabkan iterasi yang tidak bisa berhenti • Cara memeriksa jika |f(a) – f(b)| menuju ke nol, berarti mendekati nilai sejati.

  10. Teorema : Jika f(x) kontinu di dalam selang [a,b] dengan f(a)f(b)<0 dan s elemen [a,b] sehingga f(s) = 0 dan cr = (ar+br)/2, maka selalu berlaku : • | s - cr | < | br – ar | /2 dan • | s – cr | < | b – a | / 2r+1 , r = 0, 1, 2, …

  11. Contoh Kasus • Hitunglah akar f(x) = ex-5x2 dalam selang [0,1] dan ε = 0.00001

  12. Contoh Kasus • Hitunglah akar f(x) = x2-2x+1 dalam selang [0,1] dan ε = 0.00001

  13. Contoh Kasus • Hitunglah akar f(x) = x3-4x2-10 dalam selang [1,2] dan ε = 0.00001

  14. Metode Regula False • Mempercepat konvergensi dengan melibatkan nilai f(a) dan nilai f(b) • Dibuat garis lurus yang menghubungkan titik-titik (a,f(a)) dengan (b, f(b)). • Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x menghasilkan hampiran akar.

  15. Gradien AB = gradien BC 

  16. akar a0 = a1 c0 = b1 b0 c1

  17. Prosedur Metode Regula False

  18. Contoh Kasus • Hitunglah akar f(x) = ex-5x2 dalam selang [0,1] dan ε = 0.00001

  19. Metode Terbuka • Metode Iterasi Titik Tetap • Metode Newton • Metode Secant

  20. Metode Iterasi Titik Tetap • Bentuk persamaan x = g(x) dari persamaan f(x) = 0. • Buat prosedur iterasi xr+1 = g(xr) • Berilah suatu nilai tebakan akar • Hitung hampiran akar per iterasi • Mendapatkan akar sejati s, jika f(s) = 0 atau s = g(s). • Kondisi berhenti |xr+1 – xr| < ε atau |(xr+1 – xr)/xr+1| < δ dengan ε dan δ sudah ditetapkan nilainya

  21. Prosedur Iterasi Titik Tetap

  22. Contoh Kasus • Hitung akar f(x) = x2 -2x -3 dengan epsilon 0.000001

  23. Hitung akar f(x) = ex-5x2 dengan epsilon 0.00001

  24. Kriteria Konvergensi • Teorema : Misalkan g(x) dan g’(x) kontinu dalam selang [a,b] = [s-h, s+h] yang mengandung titik tetap s dan nilai awal x0 dipilih dalam selang tersebut. Jika |g’(x)|<1 untuk semua x elemen [a,b] maka iterasi xr+1 = g(xr) akan konvergen ke s. Pada kasus ini s disebut juga titik atraktif Jika |g’(x)|>1 untuk semua x elemen [a,b] maka iterasi xr+1 = g(xr) akan divergen dari s

  25. Kriteria Konvergensi (Cont.) • Resume : Dalam selang I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x elemen I Iterasi konvergen monoton Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x elemen I Iterasi konvergen berosilasi Jika g’(x)>1 untuk setiap x elemen I Iterasi divergen monoton Jika g’(x)<-1 untuk setiap x elemen I Iterasi divergen berosilasi

  26. y =g(x) y =g(x) y = x y y y = x x x s x0 s x0 y =g(x) y = x y x s x0 Gambar konvergensi y =g(x) y = x y x s x0

  27. Newton Raphson Akar xr+1 xr+3 xr+2 xr

  28. Metode Newton Raphson • Prosedur pencarian akar mirip dengan iterasi titik tetap • Prosedur iterasi yang digunakan didapatkan melalui suatu penurunan rumus : xr+1 = xr – f(xr)/f’(xr) • Kondisi berhenti yang digunakan sama dengan pada iterasi titik tetap

  29. Prosedur Newton Raphson

  30. NR untuk menghitung akar ? • Bagaimana mencari √c ? • Bagaimana menghitung 1/c ?

  31. Konvergensi Metode NR • Untuk tebakkan akar x, nilai |f(x)f’’(x)/(f’(x)) 2|<1,dimana f’(x) <> 0

  32. Contoh Kasus

  33. Metode Secant • Tidak semua fungsi dapat dihitung dengan mudah turunannya. • Merupakan modifikasi metode NR • Prosedur iterasinya menjadi : xr +1 = xr – (f(xr)(xr-xr-1)/(f(xr)-f(xr-1))) • Kondisi berhenti menggunakan ketentuan yang sama dengan NR

  34. Metode Secant Cont. AKAR xr+2 xr+1 xr-1 xr

  35. Procedure Metode Secant

  36. Contoh Kasus

More Related