360 likes | 1.58k Views
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER. ORDE N. PENDAHULUAN. Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linier Orde n : a n (x)y (n) + a n-1 (x)y (n-1) + … + a 1 (x)y’ + a 0 (x)y = q(x ) Bentuk Umum PD Linier Orde Kedua : a 2 y” + a 1 y’ + a 0 y = q(x) dimana a 2 , a 1 , a 0 adalah konstanta .
E N D
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE N
PENDAHULUAN Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linier Orde n : an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) + … + a1(x)y’ + a0(x)y = q(x) Bentuk Umum PD Linier Orde Kedua : a2y” + a1y’ + a0y = q(x) dimana a2, a1, a0 adalah konstanta. Jika q(x) = 0 maka dikatakan PD orde kedua homogen, dan bila q(x) ≠ 0 maka dikatakan PD linier orde kedua tidak homogen.
SOLUSI PD LINIER ORDE 2 Untukmemudahkanpenyelesaian PD linier ordekeduadapatdigunakan operator D, Yaitu : D = sehinggaDy= Cara lain untukmemperolehpenyelesaianumum PD homogenordeduadengankoefisienkonstantaadalahsbb : Pandang persamaanygberbentuk : a0y” + a1y’ + a2y = 0 dengan a0, a1, a2adalahkonstantasebarang. Jikaandaikanm adalahakarpersamaankarakteristiknyayaitu : a0m2 + a1m + a2 = 0
Makaakar-akarkarakteristiknyadapatdiselesaikandenganrumusabcpadapersamaankuadratyaitu:Makaakar-akarkarakteristiknyadapatdiselesaikandenganrumusabcpadapersamaankuadratyaitu: Karena a0, a1, a2adalahbilangan real sehinggaakar-akarkarakteristiknyamempunyai 3 (tiga) kasusyakni : 1.Dua akar real ygberbeda. 2.Dua akar real ygsama. 3.Dua akarkomplekkonjugat.
Kasus 1 (Duaakar real ygberbeda) : Diskriminan (D) = a12 – 4a0a2 > 0 Sehinggaakar-akarkuadratnyaadalahbil. real JadipenyelesaianumumPDnya: y = c1em1x + c2em2x dengan c1dan c2adalahkonstantaygsesuai.
Kasus 2 (Duaakarygsama) : Diskriminan (D) = a12 – 4a0a2 = 0 Sehinggaakar-akarkuadratnyaadalah m1 = m2 = m Jadi, penyelesaianumumPDnyaadalah : y = (c1 + c2x) emx dgn c1dan c2adalahkonstantaygsesuai danm1 = m2 = m.
Kasus 3 (Duaakarkomplekkonjugat) : • Diskriminan (D) = a12 – 4a0a2 < 0 • Sehinggaakar-akarkuadratnyaadalahkomplekskonjugatyaitu
DengandemikiandiperolehpenyelesaianumumdariPDnyaadalah : • Denganc1dan c2adalahkonstanta.
Soal- soalLatihan : Carilahpenyelesaianumumdari PD berikutini: • y” + y’ - 2y = 0 • y” – y’ - 6y = 0 • y” -14y’ + 49y = 0 • y” + 4y’ +4y = 0 • y” – 2y’ + 10y = 0
PD LINIER ORDE N HOMOGEN Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linier Orde n : an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) + … + a1(x)y’ + a0(x)y = q(x) Solusi PD Linier Orde n Homogen : Untuk PD Linier Orde n HomogendenganKoefisien-koefisienkonstanta : • Andaikan m1 ≠ m2 ≠ m3 ≠ … ≠ mn-1 ≠ mn. PenyelesaianUmumnya : y = c1em1x + c2em2x + c3em3x + … + cnemnx • Andaikan m1 = m2 = m3 = … = mn-1=mn=m. PenyelesaianUmumnya : y = (c1 + c2x + c3x2 + c4x3 + … + cnxn-1) emx • Andaikanadaygberbentukkomplekkonjugat, penyelesaianumumnyamiripdgn PD linier Orde 2 homogendgnkoefisienkonstanta.
Soal-soalLatihan: • Carilahpenyelesaianumumdari PD berikutini: • yIV – 7y” + 6y’ = 0 • yIV + 2y”’ -3y” – 4y’ + 4y = 0 • y(7) + 18y(5) + 81y’” = 0