1 / 58

Elementarne funkcije

Elementarne funkcije. Napisala B o r k a J a d r i j e v i ć. Ponovimo:. Svaka strogo monotona funkcija je injekcija . Za svaku funkciju f : X   , suženje f : X  f( X ) je surjekcija .

kasie
Download Presentation

Elementarne funkcije

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Elementarnefunkcije NapisalaBorkaJadrijević

  2. Ponovimo: • Svaka strogomonotona funkcija je injekcija. • Za svaku funkcijuf: X, suženje f : X f(X)je surjekcija. • Ako jef : Xstrogomonotona na nekom intervaluI X, onda je suženje f : I f(I)bijekcija.

  3. Ako jef : XYbijekcija onda vrijedi: • Postoji funkcijag : YXtako davrijedig  f = iXi f  g = iY. Funkcijag : YXje jedinstvena, označavamo jeg = f -1i nazivamo inverznafunkcija funkcije f. • Graf inverzne funkcije f -1je simetričan grafufunkcije f s obzirom na pravacy=x.

  4. Osnovne elementarne funkcije: • Konstantna funkcija • Opća potencija • Eksponencijalna funkcija iv) Logaritamska funkcija v) Trigonometrijske funkcije vi) Ciklometrijske funkcije

  5. Konstantna funkcija f(x) = c,c y y = c c x f:   f()={c}

  6. Opća potencija f(x) = xr, r  \ {0} • Razlikujemo slučajeve: • r =n  • 2. r =-n \  • 3. r =m/n \  • 4. r  \  Napomena: ako je r = 0, onda je x0 = 1, za x  0, pa dobivamo suženje konstantne funkcije f(x) = 1.

  7. Potencije s prirodnim eksponentom f(x) =xn, n y y = x y = x2 x y = x3 f : ,f()=za n neparan, f()=[0, )za n paran

  8. Budući jex-n =,onda je f:  \{0}  ivrijedi: f(  \{0})= \{0},za n neparan, f(  \{0}) = (0,),za n paran. Potencije s cijelobrojnim eksponentom oblikaf(x) =x-n, n y y= 1/x y= 1/x2 x y= 1/x3

  9. Budući jex1/n =onda je: f :  i f() =  za n neparan, f: [0, ) i f([0, ))= [0, )za n paran. Nadalje, vrijedi: za svaki x D(f) je (x1/n )n= ( )n=x, te za svaki y  f(D(f) )je (yn)1/n ==y. Potencije s racionalnim eksponentom oblikaf(x) =x1/n, n \ {1}.

  10. Neka je funkcijag1:[0, )[0, )suženje funkcije g(x) =x2. Funkcja g1je bijekcija. Primjeri: 1. n =2 y=x2 y y=x Definirajmo funkciju f1:[0, )[0, )tako da je f1(x) =x1/2. Za svaki x  [0, )vrijedi f1(g1(x)) =(x2)1/2=|x| =x, te za svakiy [0, )vrijedi g1(f1(y)) =(y1/2)2=y. y=x1/2 x f(x) =x1/2 f: [0, ) f( [0, ))=[0, ) Dakle,f1 =g1-1

  11. Uočimo: Suženjeg2:(-,0][0, ) funkcije g(x) =x2je bijekcija. Definirajmo funkciju f2:[0, ) (-,0]tako da je f2(x) =-x1/2 Za svaki x  (-,0]vrijedi f2 (g2(x)) =-(x2)1/2= -|x| =x, te za svakiy [0, )vrijedi g2(f2(y)) =(-y1/2)2=y. y=x2 y=x y x y=-x1/2 f(x) =-x1/2 f: [0, ) f( [0, ))=(-,0] Dakle,f2 =g2-1

  12. Promatrajmo funkciju g(x) =x3 . Funkcija g:  jebijekcija. 2. n=3 y y=x3 y=x y=x1/3 x Ako je f:  tako da je f(x) =x1/3 onda za svaki x  vrijedi f (g(x)) =(x3)1/3=x, te za svakiy vrijedi g(f(y)) =(y1/3)3=y. f(x) =x1/3 f:  f() =  Dakle,f= g-1

  13. Napomena:xm/n := Potencije s racionalnim eksponentom oblikaf(x) =xm/n, m/n \ . • n neparanim > 0,onda jeD(f)= , • n neparanim < 0,onda jeD(f)= \ {0}, • n paranim > 0,onda jeD(f)=[0, ), • n paranim < 0,onda jeD(f)=(0, ). Uz pretpostavkum ,n ,teM(m,n) = 1 razlikujemoslučajeve:

  14. Graf odf1(x) =x2/3 se naziva “galeb”. Primjeri: y y y =x3/2 y=x-3/2 y =x 2/3 y = x-2/3 x x f1(x) =x2/3, D(f1) = , f1() =[0,). f2(x) =x-2/3, D(f2) =  \ {0}, f2() =(0,). f3(x) =x3/2, D(f3) = [0,), f3([0,))= [0,). f4(x) =x-3/2, D(f4)= (0,), f4((0,)) = (0,).

  15. r = r = - r = Potencije s realnim eksponentom oblikaf(x) =xr, r  \ . Vrijedi: • zar > 0jeD(f) =[0,), • zar < 0je D(f) =(0,). y x

  16. Vrijedi općenito: Inverzna funkcija (suženja) opće potencije je opet opća potencija. Preciznije, ako je f(x) = xr onda je f–1 (y) = y1/r, “kad god ti izrazi imaju smisla”. y y = x1/r y = x y = xr x

  17. Eksponencijalna funkcija 1 < a 0 < a < 1 y y y = ax y = ax x x f(x) = ax, a > 0 i a  1, f:  , f() = (0, ).

  18. Funkcija f(x) = ax , f:  je strogo monotona if()=(0, ).Dakle, suženjef1:  (0, )je bijekcija. y y a > 1 0 < a < 1 y = ax y = ax y = x y = x y = logax x x y = logax Definirajmo funkciju: g  loga :(0, ),tako da vrijedi: g(f1(x))= loga(ax)= x,za svakix , f1(g(y)) =aloga(y)=y, za svakiy(0,). Dakle,f1-1 =g.

  19. Logaritamska funkcija 1 < a 0 < a < 1 y y y = logax x x y = logax f(x) = logax, a > 0 i a  1, f: (0, ) . f ((0, )) = .

  20. U primjeni su važne eksponencialne funkcije s bazom 10 - dekadskai s bazom e – prirodna, gdje je e  2.71828...transcendentan broj, te logaritamske po bazi 10, tzv. dekadski iliBriggsovlogaritam i po bazi e, tzv. prirodni logaritam. Definiramo:log10x := log x i logex := ln x . Uočimo:10, e> 1 (graf!!)

  21. Trigonometrijske funkcije • sinus • kosinus • tangens • kotangens Trigonometrijske funkcije su:

  22. Namatanje pravca na kružnicu 1 T’ x T 1 x 0 O’ O O’ T T’

  23. Namatanje pravca na kružnicu Uočimo: sve točke oblika x+2k , k , se namatanjem preslikaju u istu točku. O O’ T T’ S S’ 1 T’ =S’ O’ 1 x x+2π 0 T S

  24. Trigonometrijska kružnica 1 (cosx,sinx) T sinx x cosx 1 pT

  25. Trigonometrijske funkcije sinus kosinus y y 1 1 /2 x -  -/2 2 2 x -1 -1 f(x) = cosx, f:  f() = [-1,1] f(x) = sinx, f:  f() = [-1,1]

  26. Definiramo: tg x := f(x) = tg x, f: X,f(X) =,gdje je X = D(f) =  \{ x  |cos (x) = 0}, tj.X =  \{ x  |x = + kπ, k }. tangens y x - /2 -/2 3π/2  -3π/2 2 y = tgx

  27. Definiramo: ctg x := kotangens y x - /2 -/2 3π/2  -3π/2 2 y = ctgx f(x) = ctg x, f: X,f(X) =, gdje je X = D(f) =  \{ x   |sin (x) = 0}, tj. X = \{ x   |x = kπ, k }.

  28. Trigonometrijska kružnica tgx 1 Os kotangensa x 1 ctgx Os tangensa pT Uočimo: Za x = /2 os tangensa ipravac pT nemaju presjek, što znači da tanges nije definiran! Slično za kotanges u x = 0.

  29. Svojstva trigonometrijskih funkcija

  30. Neke važnije veze između trigonometrijskih funkcija sin2x + cos2 x = 1, sin2x = 2 sinx cosx, cos2x = sin2x - cos2 x , sin2x = 1/2·(1 - cos2x), cos2x = 1/2·(1 + cos2x), ctgx = 1/tgx tg2x = 2tgx/(1-tg2x), ctg2x = (ctg2x-1)/2ctgx sin2x = tg2x/(tg2x+1), cos2x = ctg2x/(ctg2x+1).

  31. Ciklometrijske ili arkus funkcije Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne funkcije suženja trigonometrijskih funkcija. Ciklometrijske funkcije su : • arkus-sinus • arkus-kosinus • arkus-tangens • arkus-kotangens

  32. Neka jeSin: [-π/2, π /2] [-1,1]suženje funkcije sin. Dakle,za svaki x є [-π /2, π /2], vrijedi sin x= Sin x. FunkcijaSinjebijekcija. Definirajmo:Arcsin: [-1,1] [- π /2, π/2], y y = x -/2 /2 x y = sinx tako da vrijedi: x є [-π /2, π /2], Arcsin(Sin x) = x,y є [-1,1], Sin(Arcsin y) = y. Dakle,Sin-1 =Arcsin.

  33. Neka jeCos: [0, π ] [-1,1]suženje funkcije cos. Dakle,za svaki x є [0, π], vrijedi cos x= Cos x. FunkcijaCosjebijekcija. y = x y  x y = cosx Definirajmo:Arccos: [-1,1] [0, π], tako da vrijedi: x є [0, π], Arccos(Cos x) = x,y є [-1,1], Cos(Arccos y) = y. Dakle,Cos-1=Arccos.

  34. arcsin arccos y y π /2 π x π /2 x -π /2 arcsin: [-1,1] , arcsin x = Arcsin x, arcsin([-1,1]) = [-π /2, π /2]. arccos: [-1,1] , arccos x = Arccos x, arcos([-1,1]) = [0, π].

  35. Vrijedi: y f1(x) = sin(arcsin x), f1:[-1,1] , f1([-1,1]) = [-1,1], sin(arcsin x) = x. y = sin(arcsin x) x f2(x) = arcsin(sin x), f2: , f2() = [-π /2, π /2]. Za x є [-π /2, π /2] je arcsin(sin x) = x. y π /2 x -π /2 π /2 -π /2 y = arcsin(sin x)

  36. Vrijedi: y f1(x) = cos(arccos x), f1:[-1,1] , f1([-1,1]) = [-1,1], cos(arccos x) = x. y = cos(arccos x) x f2(x) = arccos(cos x), f2: , f2() = [0, π]. Za x є [0, π] je arccos(cos x) = x. y π x π y = arccos(cos x)

  37. Neka jeTg : (-π/2, π /2) suženje funkcije tg. Dakle,za svaki x є (-π /2, π /2), vrijedi tg x= Tg x. FunkcijaTgjebijekcija. y y = x π /2 x -π /2 π /2 -π /2 y = tg x Definirajmo:Arctg: (-π/2, π /2) , tako da vrijedi: x є (-π /2, π /2), Arctg(Tg x) = x,y є ,Tg(Arctg y) = y Dakle,Tg-1=Arctg.

  38. Neka jeCtg : (0, π) suženje funkcije ctg. Dakle,za svaki x є (0, π), vrijedi ctg x= Ctg x. FunkcijaCtgjebijekcija. y y = x π y = ctg x π x Definirajmo:Arcctg: (0, π) , tako da vrijedi: x є (0, π), Arcctg(Ctg x) = x,y є ,Ctg(Arcctg y) = y. Dakle,Ctg-1=Arcctg.

  39. arctg arcctg y y π /2 π x -π /2 x arctg:   , arctg x = Arctg x, arctg () = (-π /2, π /2). arcctg: , arcctg x = Arcctg x, arcctg () = (0, π).

  40. Uočimo:Svako suženjeSink: [-/2 + k, /2 + k] [-1,1] , kє, funkcije sinje bijekcija, pa ima inveznu funkciju. y y = x 1 -1 1 x -1 y = sinx Oprez:“Okomita zmijica” nije funkcija!

  41. Slično, budući su funkcije cos, tg, ctgpo djelovima strogo monotone, postoje suženja tih funkcija koja su bijekcije, pa postoje inverzne funkcije tih suženja. y y = x Primjer: x y = ctgx

  42. Definicija: Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju koja se može konstruirati od osnovnih elementarnih funkcija i njihovih suženja primijenjujući (konačno puta) zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.

  43. Osnovna podjela elementarnih funkcija: • Polinomi • Racionalne funkcije • Algebarske funkcije • Transcendentne funkcije

  44. 1. Polinomi Polinom n-tog stupnja, n  {0}, je funkcija Pn: ,Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0, pri čemu su an, an-1, . . . , a1, a0  ian 0 za n . Napomena: Ako je n = 0, onda jeP0(x) =a0 konstantna funkcija.

  45. Racionalna funkcija je funkcija oblika R(x) = gdje su Pn(x) i Qm(x) polinomi n-tog, odnosno m-tog stupnja, redom. 2. Racionalne funkcije Dakle, R : X ,gdje je X = D(R) =  \{ x  |Qm(x) = 0}. Napomena: Polinome još nazivamo cijele racionalne funkcije ( Qm(x) = 1 ), a sve ostale racionalne, razlomljene racionalne funkcije.

  46. Ako oba polinomaPn(x) i Qm(x) imaju koeficijente iz skupa racionalnih brojevaonda kažemo da jeR = Pn/Qmracionalna funkcija s racionalnim koeficijentima. • Ako je Pn polinom n-tog stupnja, a Qm polinom m-tog stupnja i ako je n < m, onda kažemo da je R = Pn/Qmprava racionalna funkcija, a ako je m  n onda kažemo da jeneprava racionalna funkcija. U ovom slučaju se R(x) može prikazati kao R(x) = St(x) + Tk(x)/Qm(x), gdje su St i Tk polinomi t-tog, odnosno k-tog stupnja, redom, tako da je k < m.

  47. f(x) = to nije. g(x) = je prava racionalna funkcija. f1(x) = je neprava racionalna funkcija. f2(x) = f2(x) = Primjeri: 1. je racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima, dok racionalna funkcija 2. Dijeljenjem dobivamo:

  48. f(x) = je algebarska funkcija. g(x) = nije algebarska funkcija. 3. Algebarske funkcije Algebarske funkcije su elementarne funkcije koje se mogu dobiti komponiranjem općihpotencija s racionalnim koeficijentima i racionalnih funkcija s racionalnim koeficijentima. Primjeri:

  49. 4. Transcendentne funkcije Elementarne funkcije koje nisu algebarske nazivamo transcendentne. Dakle, među ove funkcije ubrajamo eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijskei ciklometrijske, kao i većinu racionalnih (sve one koje imaju neki koeficijent iracionalan). Važne transcendentne funkcije su i tzv. hiperbolne funkcije i area-funkcije.

  50. Definiramo:ch x := Definiramo: sh x := Hiperbolne funkcije sinus hiperbolni kosinus hiperbolni y y y = shx y = chx x x Napomena: Graff(x) = chx nazivamo “lančanica”. f(x) = ch x, f: ,f() = [1,]. f(x) = sh x, f: ,f() =.

More Related