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OTRAS DERIVADAS

OTRAS DERIVADAS. Bloque III * Tema 126. Derivadas Potenciales. f (x) = x n  f ‘ (x) = n. x n – 1 Sea y = x 7  y’=7. x 6 Sea y = 4x 27  y’=4.27. x 26 = 108.x 26 Sea y = 1 / x  y=x -1  y’=-1.x -2 = -1 / x 2

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OTRAS DERIVADAS

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  1. OTRAS DERIVADAS Bloque III * Tema 126 Matemáticas Accso a CFGS

  2. Derivadas Potenciales • f (x) = x n f ‘ (x) = n. x n – 1 • Sea y = x7 y’=7. x6 • Sea y = 4x27 y’=4.27. x26 = 108.x26 • Sea y = 1 / x  y=x-1  y’=-1.x -2 = -1 / x2 • Sea y = 2 / x5 y=2.x-5  y’=-10.x -6 = -10 / x6 • Sea y = - 3 / x11 y=- 3.x-11  y’= 33.x -12 = 33 / x12 • 3 • Sea y = √x7  y=x7/3 y’=7/3. x7/3 – 1 = 7/3.x4/3 • 5 • Sea y = 3 √4x3  y=3.41/5.x3/5 y’=3.41/5.3/5. x3/5 – 1 Matemáticas Accso a CFGS

  3. Derivadas Exponenciales • Sea y = ex la llamada función exponencial. • Aplicando la definición de derivada: • y’ = ex • La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial. • Sea y = ax , para a > 0 y a <> 1. • Haciendo un cambio de base: • y = ax ln y = x. lna  y = ex.lna • Aplicando la Regla de la cadena: • y’ = ln a. ax • Sea y = af(x) , para a > 0 y a <> 1. • Haciendo un cambio de base: • y = ef(x).lna • Aplicando la Regla de la cadena: • y’ = ln a. f’(x) . af(x) Matemáticas Accso a CFGS

  4. EJEMPLOS Matemáticas Accso a CFGS

  5. EJEMPLOS Matemáticas Accso a CFGS

  6. Derivadas Logarítmicas • Sea y = ln x • Aplicando la definición de derivada: • f ’(x) = 1 / x • Sea f(x) = log x • Se procede a un cambio de base: • 10y = x  ln10y = lnx  y ln10 = Ln x  y = ln x / ln 10 • Queda: 1 • f ‘(x) = ---------- • x.ln10 • Sea f(x) = loga x • Se procede a un cambio de base: • ay = x  ln ay = ln x  y.lna = Ln x  y = ln x / ln a • Derivando: 1 • y ' = --------- • x. ln a Matemáticas Accso a CFGS

  7. Sea f(x) = log x • Se procede a un cambio de base: y = ln x / ln 10 • Derivando queda: 1 • f ‘(x) = ---------- • x.ln10 • Sea f(x) = loga x • Mediante un cambio de base y posteriormente derivando, queda: • 1 • y ' = --------- • x. ln a • Sea f(x) = ln g(x) • Aplicando la regla de la cadena: 1 g‘(x) • f ‘(x) = ------ . g ’(x) = ---------- • g(x) g(x) • Sea f(x) = log g(x) o f(x) = loga g(x) • Mediante un cambio de base y posteriormente derivando, queda: • 1 g‘(x) 1 g‘(x) • y ' = -------- . ----------- o y ‘ = -------- . ---------- • ln 10 g(x) ln a g(x) Matemáticas Accso a CFGS

  8. Ejemplos • y = ln (x – 2.x3)  y’ = (1 – 6.x2) / ( x – 2.x3) • y = ln (x3 + ex) y’ = (3.x2 + ex) / (x3 + ex) • y = log (x . e-x)  y’ = [e-x + x .(- e-x)] / (x . e-x).ln10 • y = ln (x2.(3x – 2))  y’ = (2x.(3x – 2) + x2.3) / (x2.(3x – 2)) • y = log5 (x3.3x)  y’ = (3x2.3x + x3.3x.ln3) / (x3.3x).ln5 • y = ln [(x2 – 3) / x ]  y’ = [2x.x – (x2 – 3)] / x2. [(x2 – 3) / x ] • = [x2 + 3] / [(x4 – 3x2) / x] = (x3+3x)/(x4 – 3x2) = (x2 + 3) / (x3 – 3.x) • y = (x – 1). ln x  y’ = ln x + (x – 1) / x Matemáticas Accso a CFGS

  9. Derivadas mixtas • g(x) • Sea y = f (x) , función POTENCIAL-EXPONENCIAL • Tomando logaritmos neperianos: • ln y = g(x). ln f(x) • Derivamos ambos lados de la igualdad: • y ‘ / y = [ g ‘ (x). ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  • y ‘ = y . [ … ]  • g(x) • y ‘ = f (x) . [ g ‘ (x). ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ] • Nota: Dada la dificultad de memorizar la expresión parece más práctico aprender el método, teniendo éste la ventaja de poder ser utilizado en todo tipo de expresiones exponenciales. Matemáticas Accso a CFGS

  10. Ejemplos • y = x3 – x ln y = (3 – x).ln x  •  y’ / y = [ (– 1).ln x + (3 – x).1/x ]  y’ = y.[…] • y = (ln x)x ln y = x.ln(ln x)  •  y’ / y = [ 1.ln(ln x) + x.(1/x)/ln x ]  y’ = y.[…] • y = (x2 – 3.x) 2.x – 1  ln y = (2.x – 1).ln (x2 – 3.x)  •  y’ / y = [ 2. ln (x2 – 3.x) + (2.x – 3)/(x2 – 3.x) ]  y’ = y.[…] • y = (x – 1) ln x ln y = ln x . ln (x – 1)  •  y’ / y = [ (1/x).ln (x – 1) + ln x.(1/(x – 1) ]  y’ = y.[…] • y = (√x) 3x + 5  ln y = (3.x + 5).ln √x  •  y’ / y = [ 3. ln √x + (3.x + 5).(1 / 2√x) / √x]  y’ = y.[…] Matemáticas Accso a CFGS

  11. Derivadas Trigonométricas • Sea f(x) = sen x • f ‘ (x) = cos x • Sea f(x) = cos x • f ‘ (x) = - sen x • Sea f(x) = tg x • f ‘ (x) = 1 / cos2 x • Sea f(x) = arcsen x • f ’(x) = 1 / √(1 - x2) • Sea f(x) = arccos x • f ’(x) = – 1 / √(1 - x2) • Sea f(x) = arctg x • f ’(x) = 1 / (x2 + 1) • Sea f(x) = sen g(x), f(x) = cos g(x), f(x) = tg g(x), etc. • Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas. Matemáticas Accso a CFGS

  12. Ejemplos • y = sen x2 y ‘ = cos x2 . 2x • y = cos x3 y ‘ = - sen x3 . 3x2 • y = ln sen x  y ‘ = cos x / sen x = cotg x • y = log cos x  y ‘ = (- sen x / cos x) / ln 10 • y = sen ln x  y ‘ = cos ln x . (1 / x) • y = sen3 x  y ‘ = 3. sen2 x . cos x • y = cos5 x3 y ‘ = 5. cos4 x3 . (– sen x3). 3x2 • y = √sen x  y ‘ = (1/2) (sen x)-1/2 . cos x Matemáticas Accso a CFGS

  13. Ejercicios propuestos • Aplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de: • y = arcsen x2 y ‘ = • y = arccos x3 y ‘ = • y = ln arcsen x  y ‘ = • y = log arctg x  y ‘ = • y = arctg ex y ‘ = • y = arcsen3 x  y ‘ = • y = arccos5 x3 y ‘ = • y = √arcsen ex y ‘ = Matemáticas Accso a CFGS

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